2022年新课标三年高考数学试题分类解析三角函数与解三角形 .pdf

新课标三年高考数学试题分类解析三角函数与解三角形一、选择题1(2007 山东理 5)函数sin 2cos 263yxx的最小正周期和最大值分别为( ) A，1B，2C2，1D2，2答案： A 解析： 化成sin()yAx的形式进行判断即cos2yx。2(2007 山东文 4)要得到函数sinyx的图象，只需将函数cosyx的图象 ( ) A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位答案： A 解 析 ： 本 题 看 似 简 单 ， 必 须 注 意 到 余 弦 函 数 是 偶 函 数 。 注 意 题 中 给 出 的 函 数 不 同 名 ， 而c o sc o syxxs i n () si n ()2xx，故应选A。4(2007 广东理 3)若函数21( )sin()2f xxxR，则( )f x是( ) A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为2的偶函数D最小正周期为的偶函数答案： D 5(2007 广东文 9) 已知简谐运动( )2sin32f xx的图象经过点(0 1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为 () 6T，66T，36T，66T，3答案： A 解析： 依题意2sin1,结合|2可得6,易得6T,故选 (A). 6(2007 海南、宁夏理3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页函数sin23yx在区间2，的简图是 () 答案： A 7(2007 海南宁夏理9)若cos222sin4，则cossin的值为 () 72121272答案： C 8(2008 山东卷 )函数ln cos ()22yxx的图象是答案： A 解析： 本题考查复合函数的图象。ln cos22yxx是偶函数，可排除B,D; 由cos1ln cos0 xx排除 C,选 A。9(2008 山东卷 )已知4cos()sin365，则7sin()6的值是yx1123O6yx1123O6yx1123O6yx261O13精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页(A)-532(B)532(C)-54(D) 54答案： C 解析： 本题考查三角函数变换与求值。334cos()sincossin36225134cossin225，7314sin()sin()sincos.6622510(2008 广东文科卷 )已知函数2( )(1 cos2 )sin,f xxx xR，则( )f x是( ) A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为2的偶函数答案： D 解析：222211cos4( )(1cos2 )sin2cossinsin 224xf xxxxxx11 (2008 山东理科卷 )已知 a， b， c 为ABC 的三个内角A， B， C 的对边，向量 m(1,3)， n(cosA,sinA).若 mn，且 acosB+bcosA=csinC，则角 B6. 答案：6解析： 本题考查解三角形3cossin0AA，,3AsincossincossinsinABBACC，2sincossincossin()sinsinABBAABCC，.2C6B。12(2008 山东文科卷 )已知abc， ，为ABC的三个内角ABC， ，的对边，向量( 31)(cossin)AA，mn若mn，且coscossinaBbAcC，则角AB，的大小分别为( ) A 6 3，B2 36，C 3 6，D 3 3，答案： C 解析： 本小题主要考查解三角形问题。3cossin0AA，;3A2sincossincossin,ABBAC2sincossincossin()sinsinABBAABCC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页.2C6B.选 C. 本题在求角B 时,也可用验证法 . 13 (海南、宁夏理科卷 )已知函数2sin()(0)yx)在区间0 2，的图像如下：那么( ) A 1 B2 C21D31答案： B 解析： 由图象知函数的周期T，所以22T14(2008 海南、宁夏理科卷)23sin 702cos 10( ) A12B22C2D32答案： C 解析：22223sin 703cos203(2cos201)22cos 102cos 102cos 10，选 C。15(2008 海南、宁夏文科卷)函数( )cos22sinf xxx的最小值和最大值分别为( ) A. 3， 1 B. 2，2 C. 3，32D. 2，32答案： C 解析： 221312sin2sin2 sin22fxxxx当1sin2x时，max32fx，当sin1x时，min3fx；故选；16(2009 山东文理3)将函数sin 2yx的图象向左平移4个单位 , 再向上平移1 个单位 ,所得图象的函数解析式是 ( ). A. 22cosyxB. 22sinyxC.)42sin(1xyD. cos2yx答案 :A 解析：将函数sin 2yx的图象向左平移4个单位 ,得到函数sin2()4yx即sin(2)cos22yxx的图象 ,再向上平移1 个单位 ,所得图象的函数解析式为21 cos22cosyxx,故选 A. 【命题立意】 :本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能 ,学会公式的变形. 17(2009 福建文1)已知锐角ABC的面积为3 3，4,3BCCA，则角C的大小为y x 21 1 O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页A. 75 B. 60 B. 45 D.30 解析 ：由正弦定理得113 sin C3 343 sin Csin C222SBC CA，注意到其是锐角三角形，故 C=60 ，选 B 18(2009 辽宁文 8) 已知tan2，则22sinsincos2cos(A)43(B)54(C)34(D)45答案： D 解析：222222sinsincos2cossinsincos2cossincos22tantan2tan1422441519 (2009 天津文7)已知函数( )sin()(,0)4f xxxR的最小正周期为，为了得到函数( )cosg xx的图象，只要将( )yf x的图象A 向左平移8个单位长度B 向右平移8个单位长度C 向左平移4个单位长度D 向右平移4个单位长度答案： A 解析： 由于T，则2，( )sin(2)4f xx，又cos2sin(2)2xxsin2()sin(22)44xx，故8，向左平移8个单位长度20(2009 浙江文理8)已知a是实数，则函数( )1sinf xaax的图象不可能是( ) 答案： D 解析： 对于振幅大于1 时，三角函数的周期为2,1,2TaTa，而 D 不符合要求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页21 (2009 辽宁8)已知函数( )f x=Acos(x)的图象如图所示，2()23f，则(0)f= (A)23(B) 23(C)- 12(D) 12答案： C 解析：由图可知,22TT，2， ( )cos(2)f xAx，又7(,0)12是图像上的点，762k，23k，2()23f，22cos()33Ak，即22cos()33Ak，(0)f2cos()3Ak=23。22 (2009 天津理7)已知函数( )sin()(,0)4f xxxR的最小正周期为，为了得到函数( )cosg xx的图象，只要将( )yf x的图象A 向左平移8个单位长度B 向右平移8个单位长度C 向左平移4个单位长度D 向右平移4个单位长度答案： A 解析： 由于T，则2，( )sin(2)4f xx，又cos2sin(2)2xxsin2()sin(22)44xx，故8，向左平移8个单位长度二、填空题1(2008 江苏卷 )( )cos()6f xwx的最小正周期为5，其中0w，则w。解析： 本小题考查三角函数的周期公式。2105Tww。答案： 10 2(2008 广东理科卷 )已知函数( )(sincos )sinfxxxx，xR，则( )fx的最小正周期是解析：21cos21( )sinsincossin 222xf xxxxx, 所以函数的最小正周期22T。答案：3(2009 江苏 4)函数sin()( ,yAxA为常数，0,0)A在闭区间,0上的图象如图所示，则. 解析： 考查三角函数的周期知识。1 1 233O x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页32T，23T，所以3，4(2009 辽宁文 14)已知函数( )sin()(0)f xx的图象如图所示，则解析： 由图象可得最小正周期为43T243 23答案：235(2009 海南文 16)已知函数( )2sin()f xx的图像如图所示，则712f。答案： 0 解析： 由图象知最小正周期T32(445)322，故3，又x4时， f(x) 0，即243sin()0，可得4，所以，712f2)41273sin(0。6 (2009 海 南 理14) 已 知 函 数s i n()yx(0, ) 的 图 像 如 图 所 示 ， 则=_ 解析：由图可知，544,2 ,1255Tx把代入 y=sin有：89,5101=sin答案：910三、解答题1(2007 广东理 16) 已知ABC顶点的直角坐标分别为(3 4)A，(0 0)B，( 0)C c，(1)若5c，求sinA的值；(2)若A是钝角，求c的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页解析： (1)( 3, 4)AB，(3, 4)ACc， 若 c=5， 则(2, 4)AC， 6161coscos,52 55AAC AB，sinA255；2)若 A 为钝角，则391600cc解得253c， c 的取值范围是25(,)3；2(2007 海南宁夏理17) 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得BCDBDCCDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB解：在BCD中，CBD由正弦定理得sinsinBCCDBDCCBD所以sinsinsinsin()CDBDCsBCCBD在ABCRt中，tansintansin()sABBCACB3(2007 山东理 20)如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？解法一：如图，连结11A B，由已知2210 2A B，北1B2B1A2A120105乙甲北1B2B1A2A120105精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页122030 210 260A A，1221A AA B，又12218012060A A B，122A A B是等边三角形，121210 2ABA A，由已知，1120AB，1121056045B AB，在121AB B中，由余弦定理，22212111212122cos45B BABABABAB22220(10 2)22010 222001210 2B B因此，乙船的速度的大小为10 26030220(海里 /小时 )答：乙船每小时航行30 2海里解法二：如图，连结21A B，由已知1220AB，122030 210260A A，112105B A A，cos105cos(4560 )cos45 cos60sin 45 sin 602(13)4，sin105sin(4560 )sin 45 cos60cos45 sin 602(13)4在211A AB中，由余弦定理，22221221211122cos105A BA BA AAB A A222(13)(10 2)202 102204北1B2B1A2A120105乙甲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页100(42 3)1110(13)AB由正弦定理1112111222202(13)2sinsin4210(13)A BA A BB A AA B，12145A A B，即121604515B A B，2(13)cos15sin1054在112B AB中，由已知1210 2AB，由余弦定理，22212112221222cos15B BABA BA B A B2222(13)10 (13)(10 2)2 10(13)10 242001210 2B B，乙船的速度的大小为10 26030 220海里 /小时答：乙船每小时航行30 2海里5 (2007 山东文 17) 在ABC中，角ABC， ，的对边分别为tan3 7abcC， ， ，(1)求cosC；(2)若52CB CA，且9ab，求c解： (1)sintan3 73 7cosCCC，又22sincos1CC解得1cos8Ctan0C，C是锐角1cos8C(2)52CB CA，5cos2abC，20ab又9ab22281aabb2241ab2222cos36cababC6c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页6 (2008 山东卷 )已知函数f(x)0,0)(cos()sin(3xx为偶函数，且函数 yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2()求 f(8)的值；()将函数 yf(x)的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间. 【解析 】()f(x)cos()sin(3xx)cos(21)sin(232xx2sin(x-6) 因为 f(x)为偶函数，所以对 xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此 sin(-x-6)sin(x-6). 即-sinxcos(-6)+cosxsin(-6)=sinxcos(-6)+cosxsin(-6), 整理得sinxcos(-6)=0.因为0，且 xR,所以 cos(-6)0. 又因为 0 ，故-62.所以 f(x)2sin(x+2)=2cosx. 由题意得222，所以2故f(x)=2cos2x. 因为.24cos2)8(f()将 f(x)的图象向右平移个6个单位后， 得到)6(xf的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到)64(f的图象 . 所以( )()2cos 2()2cos().464623g xff当2223kk(kZ), 即 4k 32 x4 k+38(k Z)时， g(x)单调递减 . 因此 g(x)的单调递减区间为384,324kk(kZ) 7(2008 广东卷 )已知函数( )sin()(0 0 )f xAxA，xR的最大值是1，其图像经过点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页 13 2M，(1)求( )f x的解析式；(2)已知02，且3()5f，12()13f，求()f的值【解析 】(1)依题意有1A，则( )sin()f xx，将点1(,)3 2M代入得1sin()32，而0，536，2，故( )sin()cos2f xxx；(2)依题意有312cos,cos513，而,(0,)2，2234125sin1 ( ),sin1 ()551313，3124556()cos()coscossinsin51351365f。8(2008 江苏卷 )如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A，B 两点，已知A，B 的横坐标分别为2 2 5,105。（1）求tan()的值；(2) 求2的值。【解析】 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得22 5cos,cos105，为锐角，故72sin0sin10且。同理可得5sin5，因此1tan7,tan2。(1)17tantan2tan()11tantan1 72=-3。(2)132tan(2 )tan()11( 3)2=-1，0,0,223022，从而324。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页9(2009 广东文 16)已知向量(sin , 2)(1 ,cos )ab与互相垂直，其中(0,)2(1)求sincos和的值；(2)若10sin(),0102，求cos的值解： (1)a与b互相垂直，则0cos2sinba，即cos2sin，代入1cossin22得55cos,552sin，又(0,)2，55cos,552sin. (2)20，20， 22， 则10103)(sin1)cos(2，cos22)sin(sin)cos(cos)(cos. 10 (2009 浙江文 18)(本题满分 14分)在ABC中， 角,A B C所对的边分别为, ,a b c， 且满足2 5cos25A，3AB AC(I)求ABC的面积；(II) 若1c，求a的值解析： ( )531)552(212cos2cos22AA又),0(A，54cos1sin2AA，而353cos.bcAACABACAB，所以5bc，所以ABC的面积为：254521sin21Abc( )由( )知5bc，而1c，所以5b所以5232125cos222Abccba11(2009 安徽文理16)在 ABC 中， sin(C-A)=1,sinB=31. ()求 sinA 的值；()设 AC=6 ，求 ABC 的面积 . 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12 分解： ()由2CA，且CAB，42BA，2sinsin()(cossin )42222BBBA，211sin(1 sin)23AB，又sin0A，3sin3A()如图，由正弦定理得sinsinACBCBA36sin33 21sin3ACABCB，又sinsin()sincoscossinCABABABA B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页32 261633333116sin63 23 2223ABCSACBCC12(2009 海南文 17)(本小题满分12 分) 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C 三点进行测量， 已知50ABm，120BCm，于 A 处测得水深80ADm，于 B 处测得水深200BEm，于 C 处测得水深110CFm，求 DEF 的余弦值。解：作/DMAC交 BE 于 N，交 CF 于 M22223017010 198DFMFDM，222250120130DEDNEN，2222()90120150EFBEFCBC 6 分在DEF中，由余弦定理，2222221301501029816cos22 13015065DEEFDFDEFDEEF. 15.（2009 宁夏海南理15） （本小题满分12 分）为了测量两山顶M，N 间的距离，飞机沿水平方向在A，B 两点进行测量，A，B，M，N 在同一个铅垂平面内（如示意图） ，飞机能够测量的数据有俯角和A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N 间的距离的步骤。解：方案一：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角； B 点到 M，N 的俯角22,；A，B 的距离d （如图所示）. .3分11,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页第一步：计算AM . 由正弦定理212sinsin()dAM；第二步：计算AN . 由正弦定理221sinsin()dAN；第三步：计算MN. 由余弦定理22112cos()MNAMANAMAN. 方案二：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角1，1；B 点到 M ，N 点的府角2，2；A，B 的距离d （如图所示）. 第一步：计算BM . 由正弦定理112sinsin()dBM；第二步：计算BN . 由正弦定理121sinsin()dBN；第三步：计算MN . 由余弦定理22222cos()MNBMBNBMBN16(2009 天津文 18)(本小题满分12 分) 如图， A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得 B 点和 D 点的仰角分别为075，030，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为060，AC 0.1km。试探究图中B， D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求 B， D 的距离 (计算结果精确到0.01km，21.414，62.449) 解：在ACD中，DAC30 ，ADC60 DAC30 ，所以 CDAC 0.1 又BCD180 60 60 60 ，故 CB 是CAD底边 AD 的中垂线，所以BD BA 5 分在ABC中，ABCACBCAABsinsin，即 AB 2062351sin60sinAC因此，km33.020623BD故 B、D 的距离约为0.33km。12 分17.（2009 天津理）（本小题满分12 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页在 ABC 中， BC=5，AC=3 ，sinC=2sinA (I) 求 AB 的值：(II) 求 sin24A的值本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12 分。（）解：在ABC 中，根据正弦定理，ABCCABsinsin于是 AB=522sinsinBCBCAC（）解：在ABC 中，根据余弦定理，得cosA=5522222ACABBDACAB于是sinA=55cos12A从而 sin2A=2sinAcosA=54,cos2A=cos2A-sin2A=53所以sin(2A-4)=sin2Acos4-cos2Asin4=10218(2009 山东文 17)设函数 f(x)=2)0(sinsincos2cossin2xxx在x处取最小值 . (1)求.的值 ; (2)在ABC 中,cba,分别是角A,B,C 的对边 ,已知,2, 1 ba23)(Af,求角 C. 解: (1)1cos( )2sincossinsin2f xxxxsinsincoscossinsinxxxxsincoscos sinxxsin()x因为函数f(x) 在x处取最小值，所以sin()1,由诱导公式知sin1,因为0,所以2.所以( )sin()cos2f xxx(2)因为23)(Af,所以3cos2A,因为角 A 为ABC 的内角 ,所以6A.又因为,2, 1 ba所以由正弦定理 ,得sinsinabAB,也就是sin12sin222bABa, 因为ba,所以4B或43B. 当4B时 ,76412C;当43B时,36412C. 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 19(2009 山东理 17)设函数2cos(2)sin3fxxx。()求函数fx的最大值和最小正周期；()设 A，B，C 为ABC的三个内角，若11cos,()324cBf，且 C 为锐角，求sin A。解: (1)f(x)=cos(2x+3)+sin2x.=1cos213cos2 cossin2 sinsin 233222xxxx所以函数f(x)的最大值为132,最小正周期. (2)()2cf=13sin22C=41, 所以3sin2C, 因为 C 为锐角 , 所以3C, 又因为在ABC 中 , cosB=31, 所以2si n33B, 所以21132 23sinsin()sincoscossin232326ABCBCBC. 【命题立意】 :本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、 三角函数的性质以及三角形中的三角关系. 20(2009 广东理 16)已知向量(sin , 2)(1,cos )ab与互相垂直，其中(0,)2(1)求sincos和的值；(2)若10sin(),0102，求cos的值解： (1)a与b互相垂直，则0cos2sinba，即cos2sin，代入1cossin22得55cos,552sin，又(0,)2，55cos,552sin. (2)20，20， 22， 则10103)(sin1)cos(2，cos22)sin(sin)cos(cos)(cos21(2009 江苏 15) 设向量(4cos ,sin),a(sin,4cos),b(cos , 4sin)c(1)若a与2bc垂直，求tan()的值；(2)求|bc的最大值 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页(3)若tantan16，求证：ab. 解析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14 分。22(2009 浙江理 18)在ABC 中，角 A、B、C 所对应的边分别为a、b、c，且满足cos2A=2 55, ABAC=3. ()求ABC的面积；()若 b+c=6,求 a的值。解 析 ： (I) 因 为2 5cos25A，234cos2cos1,sin255AAA， 又 由3AB AC， 得c o s3 ,b cA5bc，1sin22ABCSbcA(II) 对于5bc，又6bc，5,1bc或1,5bc，由余弦定理得2222cos20abcbcA，2 5a19(2009 天津理 17)在 ABC 中， BC=5，AC=3 ，sinC=2sinA (I) 求 AB 的值：(II) 求 sin24A的值本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12 分。()解：在 ABC 中，根据正弦定理，ABCCABsinsin于是 AB=522sinsinBCBCAC()解：在 ABC 中，根据余弦定理，得cosA=5522222ACABBDACAB于是sinA=55cos12A从而 sin2A=2sinAcosA=54,cos2A=cos2A-sin2A=53所以sin(2A-4)=sin2Acos4-cos2Asin4=102精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页23.（2009 福建理）（本小题满分13 分）如图，某市拟在长为8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，23)；赛道的后一部分为折线段 MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120o（I）求 A , 的值和 M，P 两点间的距离；（II ）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一（）依题意，有23A，34T，又2T，6。2 3 sin6yx当4x是，22 3sin33y(4,3)M又(8,3)p22435MP（）在 MNP 中 MNP=120 ，MP=5，设 PMN=，则 0 60由正弦定理得00sinsin120sin(60)MPNPMN103sin3NP,010 3sin(60)3MN故010310310 313sinsin(60)(sincos)33323NPMN0103sin(60 )30 60 ，当=30 时，折线段赛道MNP 最长亦即，将 PMN 设计为 30 时，折线段道MNP 最长解法二：（）同解法一（）在 MNP 中， MNP=120 ，MP=5 ，由余弦定理得222cosMNNPMN NPMNP=2MP即2225MNNPMN NP故22()25()2MNNPMNNPMN NP从而23()254MNNP，即1033MNNP当且仅当 MNNP 时，折线段道MNP 最长注：本题第（）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：12394 3(26N，）；12394 3(26N，）；点 N 在线段 MP 的垂直平分线上等24.（2009 福建文）（本小题满分12 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页已知函数( )sin(),f xx其中0，|2（ I）若coscos,sinsin0,44求的值；（）在（ I）的条件下，若函数( )f x的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数( )f x的解析式；并求最小正实数m，使得函数( )f x的图像象左平移m个单位所对应的函数是偶函数。解法一：（I）由3coscossinsin044得coscossinsin044即cos()04又|,24（）由（ I）得，( )sin()4f xx依题意，23T又2,T故3,( )sin(3)4f xx函数( )f x的图像向左平移m个单位后所对应的函数为()s i n3 ()4gxxm( )g x是偶函数当且仅当3()42mkkZ即()312kmkZ从而，最小正实数12m解法二：（I）同解法一（）由（ I）得，( )sin()4f xx依题意，23T又2T，故3,( )sin(3)4f xx函数( )f x的图像向左平移m个单位后所对应的函数为( )sin 3()4g xxm( )g x是偶函数当且仅当()( )gxg x对xR恒成立亦即sin( 33)sin(33)44xmxm对xR恒成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页sin( 3 )cos(3)cos( 3 )sin(3)44xmxmsin 3 cos(3)cos3 sin(3)44xmxm即2sin 3 cos(3)04xm对xR恒成立。cos(3)04m故3()42mkkZ()312kmkZ从而，最小正实数12m25.（2009 辽宁文 18） （本小题满分12 分）如图， A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得 B 点和 D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为060，AC 0.1km。试探究图中B， D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求 B， D 的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）解：在ACD中，DAC30 ，ADC60 DAC30 ，所以 CDAC 0.1 又BCD180 60 60 60 ，故 CB 是CAD底边 AD 的中垂线，所以BD BA 5 分在ABC中，ABCACBCAABsinsin，即 AB 2062351sin60sinAC因此，km33.020623BD故 B、D 的距离约为0.33km。12 分26.（2009 辽宁理 14） （本小题满分12 分）如图， A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得 B 点和 D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为060，AC=0.1km 。试探究图中B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D 的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页解: 在ABC 中， DAC=30 , ADC=60 DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又 BCD=180 60 60 =60 ，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以BD=BA ，5 分在ABC 中，,ABCsinCBCAsinAAB即 AB=,2062315sinACsin60因此， BD=。km33. 020623故 B，D 的距离约为0.33km。12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页