2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ).doc

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Ax|x10，B0，1，2，则AB（）A0B1C1，2D0，1，22（5分）（1+i）（2i）（）A3iB3+iC3iD3+i3（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）ABCD4（5分）若sin，则cos2（）ABCD5（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A10B20C40D806（5分）直线x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x2）2+y22上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6B4，8C，3D2，37（5分）函数yx4+x2+2的图象大致为（）ABCD8（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，P（X4）P（X6），则p（）A0.7B0.6C0.4D0.39（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若ABC的面积为，则C（）ABCD10（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A12B18C24D5411（5分）设F1，F2是双曲线C：1（a0b0）的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|OP|，则C的离心率为（）AB2CD12（5分）设alog0.20.3，blog20.3，则（）Aa+bab0Baba+b0Ca+b0abDab0a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知向量（1，2），（2，2），（1，）若（2+），则 14（5分）曲线y（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a 15（5分）函数f（x）cos（3x+）在0，的零点个数为 16（5分）已知点M（1，1）和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）等比数列an中，a11，a54a3（1）求an的通项公式；（2）记Sn为an的前n项和若Sm63，求m18（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2，P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值20（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且+证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差21（12分）已知函数f（x）（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若a0，证明：当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；（2）若x0是f（x）的极大值点，求a（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为，（为参数），过点（0，）且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点（1）求的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程选修4-5：不等式选讲（10分）23设函数f（x）|2x+1|+|x1|（1）画出yf（x）的图象；（2）当x0，+）时，f（x）ax+b，求a+b的最小值2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Ax|x10，B0，1，2，则AB（）A0B1C1，2D0，1，2【解答】解：Ax|x10x|x1，B0，1，2，ABx|x10，1，21，2故选：C2（5分）（1+i）（2i）（）A3iB3+iC3iD3+i【解答】解：（1+i）（2i）3+i故选：D3（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）ABCD【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A故选：A4（5分）若sin，则cos2（）ABCD【解答】解：sin，cos212sin212故选：B5（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A10B20C40D80【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1（x2）5r（）r，由103r4，解得r2，（x2+）5的展开式中x4的系数为40故选：C6（5分）直线x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x2）2+y22上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6B4，8C，3D2，3【解答】解：直线x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，令x0，得y2，令y0，得x2，A（2，0），B（0，2），|AB|2，点P在圆（x2）2+y22上，设P（2+，），点P到直线x+y+20的距离：d，sin（）1，1，d，ABP面积的取值范围是：，2，6故选：A7（5分）函数yx4+x2+2的图象大致为（）ABCD【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B函数的导数f（x）4x3+2x2x（2x21），由f（x）0得2x（2x21）0，得x或0x，此时函数单调递增，由f（x）0得2x（2x21）0，得x或x0，此时函数单调递减，排除C，也可以利用f（1）1+1+220，排除A，B，故选：D8（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，P（X4）P（X6），则p（）A0.7B0.6C0.4D0.3【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足XB（10，p），P（x4）P（X6），可得，可得12p0即p因为DX2.4，可得10p（1p）2.4，解得p0.6或p0.4（舍去）故选：B9（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若ABC的面积为，则C（）ABCD【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，cABC的面积为，SABC，sinCcosC，0C，C故选：C10（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A12B18C24D54【解答】解：ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB6，球心为O，三角形ABC 的外心为O，显然D在OO的延长线与球的交点如图：OC，OO2，则三棱锥DABC高的最大值为：6，则三棱锥DABC体积的最大值为：18故选：B11（5分）设F1，F2是双曲线C：1（a0b0）的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|OP|，则C的离心率为（）AB2CD【解答】解：双曲线C：1（a0b0）的一条渐近线方程为yx，点F2到渐近线的距离db，即|PF2|b，|OP|a，cosPF2O，|PF1|OP|，|PF1|a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COSPF2O，6a2b2+4c22b2c4c23b24c23（c2a2），即3a2c2，即ac，e，故选：C12（5分）设alog0.20.3，blog20.3，则（）Aa+bab0Baba+b0Ca+b0abDab0a+b【解答】解：alog0.20.3，blog20.3，aba+b0故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知向量（1，2），（2，2），（1，）若（2+），则【解答】解：向量（1，2），（2，2），（4，2），（1，），（2+），解得故答案为：14（5分）曲线y（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a3【解答】解：曲线y（ax+1）ex，可得yaex+（ax+1）ex，曲线y（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+12，解得a3故答案为：315（5分）函数f（x）cos（3x+）在0，的零点个数为3【解答】解：f（x）cos（3x+）0，3x+k，kZ，x+k，kZ，当k0时，x，当k1时，x，当k2时，x，当k3时，x，x0，x，或x，或x，故零点的个数为3，故答案为：316（5分）已知点M（1，1）和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k2【解答】解：抛物线C：y24x的焦点F（1，0），过A，B两点的直线方程为yk（x1），联立可得，k2x22（2+k2）x+k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2，x1x21，y1+y2k（x1+x22），y1y2k2（x11）（x21）k2x1x2（x1+x2）+14，M（1，1），（x1+1，y11），（x2+1，y21），AMB90，0（x1+1）（x2+1）+（y11）（y21）0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2（y1+y2）+20，1+2+4+20，即k24k+40，k2故答案为：2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）等比数列an中，a11，a54a3（1）求an的通项公式；（2）记Sn为an的前n项和若Sm63，求m【解答】解：（1）等比数列an中，a11，a54a31q44（1q2），解得q2，当q2时，an2n1，当q2时，an（2）n1，an的通项公式为，an2n1，或an（2）n1（2）记Sn为an的前n项和当a11，q2时，Sn，由Sm63，得Sm63，mN，无解；当a11，q2时，Sn2n1，由Sm63，得Sm2m163，mN，解得m618（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2，P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在7292之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在6585之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m80；由此填写列联表如下； 超过m不超过m总计第一种生产方式15520第二种生产方式51520总计202040（3）根据（2）中的列联表，计算K2106.635，能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异19（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值【解答】解：（1）证明：在半圆中，DMMC，正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，AD平面DCM，则ADMC，ADDMD，MC平面ADM，MC平面MBC，平面AMD平面BMC（2）ABC的面积为定值，要使三棱锥MABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点，建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形ABCD的边长为2，A（2，1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），则平面MCD的法向量（1，0，0），设平面MAB的法向量为（x，y，z）则（0，2，0），（2，1，1），由2y0，2x+y+z0，令x1，则y0，z2，即（1，0，2），则cos，则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sin20（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且+证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（1，m），x1+x22，y1+y22m将A，B代入椭圆C：+1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）0，即6（x1x2）+8m（y1y2）0，k点M（1，m）在椭圆内，即，解得0m（2）由题意得F（1，0），设P（x3，y3），则x11+x21+x310，y1+y2+y30，由（1）及题设得x33（x1+x2）1，y3（y1+y2）2m0又点P在C上，所以m，从而P（1，），于是2同理2所以|+|4，故|+|2|，即|，|，|成等差数列设改数列的公差为d，则2|d|x1x2|将m代入得k1所以l的方程为yx+，代入C的方程，并整理得70故x1+x22，x1x2，代入解得|d|所以该数列的公差为或21（12分）已知函数f（x）（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若a0，证明：当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；（2）若x0是f（x）的极大值点，求a【解答】（1）证明：当a0时，f（x）（2+x）ln（1+x）2x，（x1），可得x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）0，f（x）（2+x）ln（1+x）2x在（1，+）上单调递增，又f（0）0当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0（2）解：由f（x）（2+x+ax2）ln（1+x）2x，得f（x）（1+2ax）ln（1+x）+2，令h（x）ax2x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h（x）4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）当a0，x0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）0，即f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，故x0不是f（x）的极大值点，不符合题意当a0时，h（x）8a+4aln（x+1）+，显然h（x）单调递减，令h（0）0，解得a当1x0时，h（x）0，当x0时，h（x）0，h（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，h（x）h（0）0，h（x）单调递减，又h（0）0，当1x0时，h（x）0，即f（x）0，当x0时，h（x）0，即f（x）0，f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，x0是f（x）的极大值点，符合题意；若a0，则h（0）1+6a0，h（1）（2a1）（1）0，h（x）0在（0，+）上有唯一一个零点，设为x0，当0xx0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）0，即f（x）0，f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；若a，则h（0）1+6a0，h（1）（12a）e20，h（x）0在（1，0）上有唯一一个零点，设为x1，当x1x0时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）h（0）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）0，即f（x）0，f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意综上，a（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为，（为参数），过点（0，）且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点（1）求的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程【解答】解：（1）O的参数方程为（为参数），O的普通方程为x2+y21，圆心为O（0，0），半径r1，当时，过点（0，）且倾斜角为的直线l的方程为x0，成立；当时，过点（0，）且倾斜角为的直线l的方程为ytanx，倾斜角为的直线l与O交于A，B两点，圆心O（0，0）到直线l的距离d1，tan21，tan1或tan1，或，综上的取值范围是（，）（2）l的参数方程为，（t为参数，），设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则，且tA，tB满足，P（x，y）满足，AB中点P的轨迹的参数方程为：，（为参数，）选修4-5：不等式选讲（10分）23设函数f（x）|2x+1|+|x1|（1）画出yf（x）的图象；（2）当x0，+）时，f（x）ax+b，求a+b的最小值【解答】解：（1）当x时，f（x）（2x+1）（x1）3x，当x1，f（x）（2x+1）（x1）x+2，当x1时，f（x）（2x+1）+（x1）3x，则f（x）对应的图象为：画出yf（x）的图象；（2）当x0，+）时，f（x）ax+b，当x0时，f（0）20a+b，b2，当x0时，要使f（x）ax+b恒成立，则函数f（x）的图象都在直线yax+b的下方或在直线上，f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，不等式f（x）ax+b在0，+）上成立，即a+b的最小值为5第21页（共21页）