2022年新北师大初三三角函数知识点总结及中考真题汇总有答案 .pdf

1 锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如以下图，在RtABC中， C为直角，则 A 的锐角三角函数为( A 可换成 B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A( A为锐角 ) BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A( A为锐角 ) 正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tan A( A为锐角 ) BAcottanBAtancotAAcot1tan( 倒数)1cottanAA余切的对边的邻边AAAcotabAcot0cot A( A为锐角 )3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0、30、45、 60、 90特殊角的三角函数值(重要 )三角函数030456090sin02122231 cos12322210tan0 331 3-cot-31 330 6、正弦、余弦的增减性：当 090时， sin随的增大而增大， cos随的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当 090时， tan随的增大而增大， cot随的增大而减小。)90cot(tanAA)90tan(cotAABAcottanBAtancot)90cos(sinAA)90sin(cosAABAcossinBAsincosA90B90得由BA对边邻边斜边A C B bacA90B90得由BA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页2 8、解直角三角形的定义：已知边和角两个，其中必有一边所有未知的边和角。依据： 边的关系：222cba；角的关系： A+B=90 ；边角关系： 三角函数的定义。(注意：尽量防止使用中间数据和除法) 9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做 坡度 (坡比 )。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1: m的形式，如1: 5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做 坡角 )，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。 如图 3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、 135、 225。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东30东北方向，南偏东 45东南方向 ，南偏西 60西南方向 ，北偏西 60西北方向 。:ihlhl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页3 要点一：锐角三角函数的基本概念一、选择题1. 2009漳州中考三角形在方格纸中的位置如下图，则tan的值是A35 B43 C34D45【解析】 选 C. tan43角的邻边角的对边. 2. 2008威海中考在 ABC 中， C90，tan A13，则 sin BA1010 B23 C34 D3 1010【解析】 选 D. 31tanABBCA, 设 BC=k,则 AC=3k,由勾股定理得,10)3(2222kkkBCACAB3 10sin10ACBAB3.2009 齐齐哈尔中考 如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，假设O的半径为32，2AC，则sin B的值是A23 B32 C34 D43【解析】 选 A.连接 CD,由O的半径为32.得 AD=3.sin B=.32sinADACD4. 2009湖州中考如图，在RtABC中，ACBRt，1BC，2AB，则以下结论正确的选项是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页4 A3sin2AB1tan2A C 3cos2BD tan3B【解析】 选 D在直角三角形 ABC中，1BC，2AB，所以 AC 3 ；所以1sin2A，3cos2A，3tan3A；3sin2B，1cos2B， tan3B；5.2008温州中考如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，已知2CD，3AC，则sin B的值是A23 B32 C34 D43【解析】CD是RtABC斜边AB上的中线，得 AB=2CD=4. sin B43ABAC6. 2007 泰安中考如图， 在ABC中，90ACB，CDAB于D， 假设2 3AC，3 2AB，则tanBCD的值为A2B22C63D33答案： B 二、填空题7. 2009梧州中考在 ABC 中， C90， BC6 cm，53sin A，则 ABA C B D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页5 的长是 cm【解析】,536sinABABBCA解得 AB=10cm答案： 10 8. 2009孝感中考如图，角的顶点为 O ，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边OA上有一点 P3，4 ，则sin【解析】 因为 P3，4 ，所以 OP 5，所以4sin5；答案：45；9. 2009庆阳中考如图，菱形ABCD 的边长为 10cm ，DE AB ，3sin5A，则这个菱形的面积 = cm2【解析】.5310sinDEADDEA解得 DE=6cm. 10660LINGSABDEcm2. 答案： 60 三、解答题10.(2009 河北中考 ) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径 AB是河底线，弦CD是水位线， CD AB ，且 CD = 24 m ，OE CD于点 E已测得 sinDOE =12131求半径 OD ；2根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，A OBE C D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页6 则经过多长时间才能将水排干？【解析】 1OE CD于点 E，CD =24m ，ED =12CD=12m 在 RtDOE 中， sin DOE =EDOD=1213，OD =13m 2OE =22ODED= 2213125=m 将水排干需： 50.5=10小时 11. 2009 綦江中考如图， 在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE1求证：ABEDFA；2如果10ADAB，=6，求sinEDF的值【解析】 1在矩形ABCD中，90BCADADBCB，DAFAEBDFAEAEBC，90AFDB=AEADABEDFA2由 1知ABEDFA6ABDF在直角ADF中，22221068AFADDF2EFAEAFADAF在直角DFE中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页7 2222622 10DEDFEF210sin102 10EFEDFDE12.2008 宁夏中考如图，在ABC中，C=90，sinA=54，AB=15， 求ABC的周长和 tanA的值【解析】 在Rt ABC中, C=90, AB=15 Asin=ABBC=54, 12BC912152222BCABAC周长为 36,BC124tanA.AC9313. 2008肇庆中考在 RtABC中， C = 90，a =3 ，c =5，求 sin A和tan A的值. 【解析】 在 Rt ABC中，c=5，a=322acb2235453sincaA43tanbaA14. 2007芜湖中考如图，在ABC 中，AD是 BC上的高，tancosBDAC，(1) 求证：AC=BD ；(2) 假设12sin13C，BC =12，求 AD的长【解析】 (1) AD是 BC上的高， AD BC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页8 ADB =90， ADC =90在 RtABD和 RtADC 中，tan B=ADBD，cosDAC=ADAC又已知tancosBDACADBD=ADACAC=BD (2) 在 RtADC 中，12sin13C，故可设 AD =12k，AC =13k22DCACAD5kADADBD13ktanBcosDACBC13k5k122k,AD8.3要点二、特殊角的三角函数值一、选择题1. 2009钦州中考 sin30 的值为A32B22C 12D33答案： C 2. 2009长春中考菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如下图，452AOCOC ，则点B的坐标为A( 21)， B (1 2)， C ( 211)，D(121)，答案： C 3.(2009 定西中考 ) 某人想沿着梯子爬上高4 米的房顶，梯子的倾斜角梯子与地面的夹角不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为A8 米B8 3 米 C8 33米 D4 33米答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页9 4. 2008宿迁中考已知为锐角，且23)10sin(，则等于50607080答案： 5.2008毕节中考 Acos60，tan30 关于原点对称的点A1的坐标是A1323， B3323， C1323，D 1322，答案： A 6. 2007襄樊中考计算：2cos 45tan60cos30等于A1B2C 2D3答案： C 二、填空7. 2009荆门中考104cos30 sin60( 2)( 20092008)=_【解析】104cos30 sin60( 2)( 20092008)3314()122213()1232答案：238. 2009百色中考如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点 C的距离为 4 米，钢缆与地面的夹角为60o，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离 AB是米 结果保留根号答案： 4 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页10 9. 2008江西中考计算：11sin60 cos302【解析】1sin 60 cos302.412143212323答案：1410. 2007济宁中考计算sin60tan45cos30的值是。答案： 0 三、解答题11. 2009黄石中考计算： 31+(21)033tan30tan45【解析】 31+(21)033tan30 tan45111133012. 2009崇左中考计算：0200912sin 603tan30( 1)3【解析】 原式=33231 123=013. 2008义乌中考计算：33sin602 cos458【解析】33sin602cos4583232222要点三、解直角三角形在实际问题中的运用一、选择题1. 2009白银中考某人想沿着梯子爬上高4 米的房顶，梯子的倾斜角梯子与地面的夹角不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为A8 米 B8 3 米 C8 33米 D4 33米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页11 【解析】 选 C. 梯子的长至少为33860sin40米 . 2.2009衢州中考为测量如下图上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据 ( 单位：米 ) ，则该坡道倾斜角的正切值是A14 B4 C117 D417答案： A 3. 2009益阳中考如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两树在坡面上的距离AB为A. cos5 B. cos5 C. sin5 D. sin5答案： B 4. 2009兰州中考如图，在平地上种植树木时，要求株距相邻两树间的水平距离为 4m 如果在坡度为的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为A5m B6m C7m D8m 【解析】选 A 由坡度为 0.75 知，相邻两树间的水平距离为4m ，相邻两树间5A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页12 的垂直距离为 h，则0.754h，则 h3m ，所以坡面距离为5m ；5.(2009 潍坊中考 ) 如图，小明要测量河内小岛B到河边公路 l 的距离，在 A点测得30BAD，在 C点测得60BCD，又测得50AC米，则小岛 B 到公路 l 的距离为米A25 B25 3 C10033 D 2525 3【解析】选 B 过点 B作 BE AD 于点 E，在直角三角形 BAE中，0tan30,BEAE则0,tan30BEAE在直角三角形 BCE中，0tan60,BECE则0tan60BECE。所以 AE-CE=AC=50, 即0050,tan30tan60BEBE解得 BE 25 3 ；二、填空题6. 2009沈阳中考如图，市政府准备修建一座高AB 6m的过街天桥，已知天桥的坡面 AC与地面 BC的夹角 ACB 的正弦值为 3 5， 则坡面 AC的长度为 m【解析】 因为 sin ACB =536ACACAB, 所以 AC=10 答案： 10. 7. 2009衡阳中考某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为 _. 答案： 1:2 8. 2009南宁中考如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40 2 海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为 _海里结果保留根号 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页13 【解析】 402224045sin0APPCAC, 340334030tan0PCBC40340ACBCAB答案：40 3409 (2009 安徽中考 ) 长为 4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角如下图，则梯子的顶端沿墙面升高了 m【解析】 当梯子与地面夹角为045时，梯子顶端高为04sin 452 2()m ；当梯子与地面夹角为060时，梯子顶端高为04sin602 3()m ，所以梯子顶端升高了 2( 32);m答案： 2( 32) ；10.(2008 庆阳中考 ) 如图，一架梯子斜靠在墙上，假设梯子底端到墙的距离AC=3米，3cos4BAC，则梯子长 AB = 米. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页14 答案： 4 11. 2007湖州中考小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为 75， 如果拖把的总长为1.80m， 则小明拓宽了行路通道 _m 结果保留三个有效数字，参考数据：sin15 26，cos150.97 答案：三、解答题12. 2009庆阳中考如图 1 ，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定如 2是如图 1中窗子开到一定位置时的平面图，假设AOB =45， OAB =30，OA =60cm ，求点 B到 OA边的距离31.7，结果精确到整数【解析】 如图，过点 B作 BC OA于点 C AOB =45， CBO =45，BC =OC 设 BC =OC =x， OAB =30， AC =BC tan60 =3xOC +CA =OA ，x+3x=60，x=316022cm 即点 B到 OA边的距离是 22 cm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页15 13. 2009郴州中考如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪 AB的高度为 1.5 米，测得仰角为30，点 B到电灯杆底端 N的距离 BN为 10 米，求路灯的高度MN是多少米？取2 =1.414，3 =1.732，结果保留两位小数【解析】 在直角三角形MPA中，30，10AP米MP=10 tan300 =1033因为1.5AB米所以 MN=1.5+5.77=7.27 米14.2009眉山中考海船以5 海里/ 小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60方向， 2 小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西 45 方向，求此时灯塔 B到 C处的距离。【解析】 如图，过 B点作 BD AC于 D DAB 906030， DCB 904545设 BD x，在 RtABD中，AD x tan303x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页16 在 RtBDC 中，BD DC x BC 2x又 AC 5210 310 xx，得5( 31)x，2 5( 31)5( 62)BC海里答：灯塔 B距 C处 5( 62) 海里15.2009常德中考如图，某人在D处测得山顶 C的仰角为 30o，向前走 200米来到山脚 A处，测得山坡 AC的坡度为 i=1 0.5 ，求山的高度不计测角仪的高度，31.73，结果保留整数【解析】 设山高 BC = x，则 AB =12x，tan3012002BCxBDx，得(231)400 x，解得400400(231)162112 31x米16. 2008广安中考如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由 45o降为 30o，已知原滑滑板 AB的长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上1改善后滑滑板会加长多少？精确到0.01 2假设滑滑板的正前方能有3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。 ( 参考数据：21.414, 31.732, 62.449 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页17 【解析】 1在RtABC中，5sin 452(m)2ACAB5cos452(m)2BCABRtADC中5 2(m)sin 30ACAD56(m)tan302ACCD2.07(m)ADAB 改善后的滑滑板会加长2.07m2这样改造能行因为2.59(m)CDBC ，而632.59精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页