2022年新人教版八年级下数学教案第十七章反比例函数 .pdf

学习必备欢迎下载第十七章反比例函数1711 反比例函数的意义一、教学目标1使学生理解并掌握反比例函数的概念2能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式3能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想二、重、难点1重点： 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式2难点： 理解反比例函数的概念三、例题的意图分析教材第 39 页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。教材第 40 页的例 1 是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。补充例 1、例 2 都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题， 此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。四、课堂引入1回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？2体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？五、例习题分析例 1见教材 P40 分析： 因为 y 是 x 的反比例函数， 所以先设xky，再把 x2 和 y6 代入上式求出常数 k，即利用了待定系数法确定函数解析式。例 1（补充）下列等式中，哪些是反比例函数（1）3xy（ 2）xy2（3） xy21 （4）25xy（5）xy23（6）31xy（7）yx4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成xky（k 为常数， k0）的形式， 这里（1）、 （7）是整式， （4）的分母不是只单独含x， （6）改写后是xxy31，分子不是常数，只有（2）、（ 3）、（ 5）能写成定义的形式例 2（补充）当m 取什么值时，函数23)2(mxmy是反比例函数？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载分析：反比例函数xky（k0）的另一种表达式是1kxy（k0），后一种写法中x 的次数是 1，因此 m 的取值必须满足两个条件，即m2 0 且 3m2 1，特别注意不要遗漏k0 这一条件，也要防止出现3m21 的错误。解得 m 2 例 3 （补充）已知函数y y1y2，y1与 x 成正比例， y2与 x 成反比例，且当x1 时，y4；当 x2 时， y5 （1）求 y 与 x 的函数关系式（2）当 x 2时，求函数y 的值分析：此题函数y 是由 y1和 y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、 y2与 x 的函数关系式， 再代入数值， 通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与 x 和 y2与 x 的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示。略解：设y1k1x（k10），xky22（ k20），则xkxky21，代入数值求得k12，k22，则xxy22，当 x 2 时， y 5 六、随堂练习1苹果每千克x 元，花 10 元钱可买y 千克的苹果，则y 与 x 之间的函数关系式为2若函数28)3(mxmy是反比例函数，则m 的取值是3矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则 y 与 x 的函数解析式为4 已知 y 与 x 成反比例，且当 x 2时， y3， 则 y 与 x 之间的函数关系式是，当 x 3 时， y5函数21xy中自变量x 的取值范围是七、课后练习已知函数yy1y2， y1与 x1 成正比例， y2与 x 成反比例，且当x1 时， y0；当 x4 时， y9，求当 x 1 时 y 的值答案： y4 课后反思：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载1712 反比例函数的图象和性质（1）一、教学目标1会用描点法画反比例函数的图象2结合图象分析并掌握反比例函数的性质3体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法二、重点、难点1重点： 理解并掌握反比例函数的图象和性质2难点： 正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质三、例题的意图分析教材第 41 页的例 2 是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。补充例 1 的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。补充例 2 是一道典型题， 是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让学生理解并掌握反比例函数解析式xky（k0）中k的几何意义。四、课堂引入提出问题：1一次函数ykxb（k、b 是常数， k0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数 ykx（k0）呢？2画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？3反比例函数的图象是什么样呢? 五、例习题分析例 2见教材 P41，用描点法画图，注意强调：（1）列表取值时， x0，因为 x0 函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于 x0，k0，所以 y0，函数图象永远不会与x 轴、 y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴例 1（补充）已知反比例函数32)1(mxmy的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随 x 的变化情况？分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即1kxy（ k0）自变量x的指数是 1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k 0，则m10，不要忽视这个条件略解：32)1(mxmy是反比例函数m23 1，且 m1 0 又图象在第二、四象限m1 0 解得2m且 m1 则2m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载例 2（补充）如图，过反比例函数xy1（x0）的图象上任意两点A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为C、D，连接 OA 、OB，设 AOC 和 BOD 的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（）（A）S1 S2（B）S1S2 （C）S1S2（D）大小关系不能确定分析：从反比例函数xky（k0）的图象上任一点P（x，y）向 x 轴、 y 轴作垂线段，与 x 轴、 y 轴所围成的矩形面积kxyS，由此可得S1S2 21，故选 B 六、随堂练习1已知反比例函数xky3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围（1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y 随 x 的增大而增大2函数 y axa 与xay（a0）在同一坐标系中的图象可能是（）3在平面直角坐标系内，过反比例函数xky（k0）的图象上的一点分别作x 轴、y轴的垂线段，与x 轴、 y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为七、课后练习1若函数xmy)12(与xmy3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是2 反比例函数xy2， 当 x 2 时， y； 当 x 2 时； y 的取值范围是；当 x 2时； y 的取值范围是3 已知反比例函数yaxa()226，当x0时， y 随 x 的增大而增大，求函数关系式答案： 3xya25,5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载1712 反比例函数的图象和性质（2）一、教学目标1使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质2能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题3深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法二、重点、难点1重点： 理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题2难点： 学会从图象上分析、解决问题三、例题的意图分析教材第 44 页的例 3 一是让学生理解点在图象上的含义，掌握如何用待定系数法去求解析式，复习巩固反比例函数的意义；二是通过函数解析式去分析图象及性质，由 “数” 到 “形”，体会数形结合思想，加深学生对反比例函数图象和性质的理解。教材第 44 页的例 4 是已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的变化趋势分析函数值y 随 x 的变化情况，此过程是由“形”到“数”，目的是为了提高学生从函数图象中获取信息的能力，加深对函数图象及性质的理解。补充例 1 目的是引导学生在解有关函数问题时，要数形结合， 另外， 在分析反比例函数的增减性时，一定要注意强调在哪个象限内。补充例 2 是一道有关一次函数和反比例函数的综合题，目的是提高学生的识图能力，并能灵活运用所学知识解决一些较综合的问题。四、课堂引入复习上节课所学的内容1什么是反比例函数？2反比例函数的图象是什么？有什么性质？五、例习题分析例 3见教材 P44 分析：反比例函数xky的图象位置及y 随 x 的变化情况取决于常数k 的符号， 因此要先求常数k，而题中已知图象经过点A（2，6），即表明把A 点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k，这样解析式也就确定了。例 4见教材 P44 例 1（补充）若点A（ 2，a）、 B（ 1，b）、 C（3，c）在反比例函数xky（k0）图象上，则a、b、 c 的大小关系怎样？分析：由k0 可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，因为A、B 在第二象限，且1 2，故 ba0；又 C 在第四象限，则c0，所以ba0c 说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数 y 随 x 的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k0 时 y 随 x 的增大而增大，就会误认为 3 最大，则 c 最大，出现错误。此题还可以画草图，比较 a、b、c 的大小， 利用图象直观易懂，不易出错， 应学会使用。例 2 （补充）如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数xmy的图象交于A（ 2，1）、 B（1， n）两点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2） 根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围分析：因为A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式xy2，又 B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出n 的值，最后再由A、B 两点坐标求出一次函数解析式y x1，第（ 2）问根据图象可得x 的取值范围x 2 或 0 x1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。六、随堂练习1若直线ykxb 经过第一、二、四象限，则函数xkby的图象在（）（A）第一、三象限（B）第二、四象限（C）第三、四象限（D）第一、二象限2已知点（ 1，y1）、（ 2，y2）、（ ，y3）在双曲线xky12上，则下列关系式正确的是（）（A）y1y2 y3（B）y1y3y2（C）y2y1 y3（D）y3y1y2七、课后练习1 已知反比例函数xky12的图象在每个象限内函数值y 随自变量 x 的增大而减小，且 k 的值还满足) 12(29k2k1，若 k 为整数，求反比例函数的解析式2已知一次函数bkxy的图像与反比例函数xy8的图像交于A、B 两点，且点 A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2 ，求（ 1）一次函数的解析式；（ 2） AOB 的面积答案：1xy1或xy3或xy52（ 1）y x2，（ 2）面积为6 课后反思：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载172 实际问题与反比例函数（1）一、教学目标1利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力二、重点、难点1重点： 利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2难点： 分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式三、例题的意图分析教材第 50 页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。教材第 51 页的例 2 是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1 稍复杂些， 目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题四、课堂引入寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？五、例习题分析例 1见教材第50 页分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为 d，满足基本公式：圆柱的体积底面积高，由题意知S 是函数， d 是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（ 2）问实际上是已知函数S 的值，求自变量d 的取值，（3）问则是与（2）相反例 2见教材第51 页分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量工作速度工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v 和时间 t，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t 取最大值时，函数值v 取最小值是多少？例 1（补充）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8 立方米时， 气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144 千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？分析：题中已知变量P 与 V 是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P 与 V 的解析式，得VP96，（ 3）问中当P 大于 144 千帕时，气球会爆炸，即当 P 不超过 144 千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P 随 V 的增大而减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载小，可先求出气压P144 千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于32立方米六、随堂练习1京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（ km/h）之间的函数关系式为2 完成某项任务可获得500 元报酬， 考虑由 x 人完成这项任务， 试写出人均报酬y （元）与人数 x（人）之间的函数关系式3一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V10 时，1.43，（ 1）求与 V 的函数关系式；（2）求当 V2 时氧气的密度答案：V3.14，当 V2 时，7.15 七、课后练习1小林家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米 /分），所需时间为t（分）（1）则速度v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？（2）如果小林骑车的速度最快为300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位？答案：tv3600，v240，t 122学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6 吨计算，一学期（按150 天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x 吨，那么这批煤能维持y 天（1）则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？（2）画函数图象（3）若每天节约0.1 吨，则这批煤能维持多少天？课后反思：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载172 实际问题与反比例函数（2）一、教学目标1利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型二、重点、难点1重点： 利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2难点： 分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题三、例题的意图分析教材第 52 页的例 3 和例 4 都需要用到物理知识，教材在例题前已给出了相关的基本公式，其中的数量关系具有反比例关系，通过对这两个问题的分析和解决，不但能复习巩固反比例函数的有关知识，还能培养学生应用数学的意识补充例题是一道综合题，有一定难度， 需要学生有较强的识图、分析和归纳等方面的能力，此题既有一次函数的知识，又有反比例函数的知识，能进一步深化学生对一次函数和反比例函数知识的理解和掌握，体会数形结合思想的重要作用，同时提高学生灵活运用函数观点去分析和解决实际问题的能力四、课堂引入1小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？其原理是什么？2台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？五、例习题分析例 3见教材第52 页分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F 是自变量动力臂l的反比例函数，当l1.5 时，代入解析式中求F 的值；（ 2）问要利用反比例函数的性质，l越大 F越小，先求出当F200 时，其相应的l值的大小，从而得出结果。例 4见教材第53 页分析：根据物理公式PRU2，当电压U 一定时，输出功率P 是电阻 R 的反比例函数，则RP2220，（ 2）问中是已知自变量R 的取值范围，即110R220，求函数 P 的取值范围，根据反比例函数的性质，电阻越大则功率越小，得 220P440 例 1 （补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克 )与时间x(分钟 )成为正比例 ,药物燃烧后，y与 x 成反比例 (如图 )，现测得药物8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6 毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：(1)药物燃烧时， y 关于 x 的函数关系式为,自变量 x 的取值范为；药物燃烧后，y 关于 x 的函数关系式为. (2)研究表明， 当空气中每立方米的含药量低于1.6 毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，员工才能回到办公室；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么 ? 分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数y 是 x 的正比例函数，设xky1，将点（ 8，6）代人解析式，求得xy43，自变量 0 x8；药物燃烧后，由图象看出y 是 x 的反比例函数，设xky2，用待定系数法求得xy48（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量y1.6 代入xy48，求出 x30，根据反比例函数的图象与性质知药含量y 随时间 x 的增大而减小，求得时间至少要30 分钟（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y3 时，代入xy43中，得 x4，即当药物燃烧4 分钟时，药含量达到3 毫克；药物燃烧后，药含量由最高6 毫克逐渐减少，其间还能达到3 毫克，所以当y3 时，代入xy48，得 x16，持续时间为1641210，因此消毒有效六、随堂练习1某厂现有800 吨煤，这些煤能烧的天数y 与平均每天烧的吨数x 之间的函数关系是（）（A）xy300（x0）（B）xy300（x0）（C）y300 x（x0）（D）y 300 x（x0）2已知甲、乙两地相s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为 a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y（升）与汽车的行驶速度v（千米 /时）的函数图象大致是（）3 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示：（1）写出 y 与 S 的函数关系式；（2） 求当面条粗1.6mm2时， 面条的总长度是多少米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载七课后练习一场暴雨过后，一洼地存雨水20 米3，如果将雨水全部排完需t 分钟，排水量为a 米3/分，且排水时间为510 分钟（1）试写出t 与 a 的函数关系式，并指出a 的取值范围；（2）请画出函数图象（3）根据图象回答：当排水量为3 米3/分时，排水的时间需要多长？课后反思：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页