2022年新北师大版初一数学平方差和完全平方公式 .pdf

1 平方差和完全平方公式及其应用一、知识梳理1. 平方差公式：公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即：22()()ab abab特征：左边：两个二项式的积，其中一项相同，另一项互为相反数右边：相同一项的平方减去互为相反数一项的平方。注意： A找符合公式特征的才能运用公式 B 公式中a、 b 具有广泛性 C 公式的逆用：22()()abab ab D 注意公式的变形。添括号：括号前面是“+”，括到括号内的各项不变号，括号前面是“- ”，括到括号内的各项全部变号。即：()abcabc；()abcabc2. 完全平方公式：公式：两个数的和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的二倍。即 ：222()2()abaabb完全平方和公式222()2()abaabb 完全平方差公式特征：左边：两个数和或差的平方右边：是一个三项式，其中两项为两数的平方且符号相同，另一项为这两数积的二倍，且符号与左边相同。完全平方式：一个多项式能改写成平方的形式。3. 乘法公式的运用： 1正向运用：22()()ab abab；222()2abaabb 2逆向运用：22()()abab ab；2222()aabbab 3乘法公式的变式应用：2222()244()4abaabbabababab22()()4ababab2222()()2()ababab；22()()4ababab2222()()2()2ababababab22()()22ababab；2222111()()2()2aaaaaa2222()222abcabcabbcac2222221()()() 2abcabbcacabbcac2222221()()() 2abcabbcacabbcac 3完全平方公式的非负性：非负性:2222()0aabbab最值定理:a 、 b 同号，则：222()abab，当且仅当时ab时，取等。 4乘法公式的变式应用拓展：33223()33abaa babb； 33223()33abaa babb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2 3322()()abab aabb；3322()()abab aabb二、典例剖析专题一：平方差公式例 1：计算以下各整式乘法。位置变化(73 )(37 )xyyx符号变化( 27 )(27 )mnmn数字变化98 102系数变化(4)(2)24nnmm项数变化(32 )(32 )xyzxyz公式变化2(2)(2)(4)mmm变式拓展训练【变式1】2244()()()()yxxyxyxy【变式2】22(2)(4 )33bbaa【变式3】22222210099989721专题二：平方差公式的应用例 2：计算22004200420052003的值为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页3 变式拓展训练【变式1】22()()xyzxyz【变式2】2301 (3021) (3021)【变式3】(25)(25)xyzxyz【变式4】已知 a、b 为自然数，且40ab， 1求22ab的最大值； 2求ab的最大值。专题三：完全平方公式例 3：计算以下各整式乘法。位置变化：22()()xyyx符号变化：2( 32 )ab数字变化：2197方向变化：2( 32 )a：项数变化：2(1)xy：公式变化22(23 )(46 )(23 ) (23 )xyxyxyxy变式拓展训练【变式1】224,2abaabb则的值为（）【变式2】江苏中考已知221()4.,()_2ababab则【变式3】云南中考已知225.6,xyxyxy则的值为（）【变式4】烟台中考已知222(1)()32x xxyxyxy，求的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页4 专题四：完全平方公式的运用例 4：已知：4,2xyxy，求：22xy； 44xy； 2()xy变式拓展训练【变式1】2242411310,;xxxxxx已知求【变式2】225,2,4xyx yxyxyxy已知满足求的值。三、创新探究名校、名书、名题、中考、培优、竞赛1杭州市中考题babbaba,0524a22则2. “祖冲之杯”邀请赛试题26(1)xx展开后得1211121110a xa xa xa，则121086420_aaaaaaa3. 江苏省竞赛题(1)(2)(3)(4)Pxxxx，(1)(2)(3)(4)Qxxxx，则QP的结果为4. 杭州如果41224|11|abacb，那么cb32a 5. (2014七中 ) 如果，则；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 6. “祖冲之杯”邀请赛试题n4321143211321121117北京市竞赛题19971997199719972222,bayxbayxbayx求证：且若8. 2014 培优方数。，则证明是一个完全平若22221996199619951995?a9. 安徽竞赛精选已知a=123456789，b=123456785，c=123456783，求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页