2022年有理数知识点梳理 .pdf
- 1 - / 4 第一章有理数一、有理数的意义1、正数和负数知识点 1 负数的引入我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的。习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。知识点 2 正数和负数的概念（1）像 3、1.5 、12、58 等大于0 的数，叫做正数，在小学学过的数，除0 以外都是正数，正数比0大。（2）像 3、 1.5 、12、 584 等在正数前面加“”(读作负 ) 号的数，叫做负数。负数比0 小。（3）零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。注意：（ 1）为了强调，正数前面有时也可以加上“”号，例如：3、1.5 、12可以写作 3、 1.5 、12。（2）带“”号的数不一定是正数，带“”号的数不一定是负数。知识点 3 有理数的有关概念（1）有理数：整数和分数统称为有理数。注：（ 1）有时整数也可以看作是分母为1 的数。但是本讲中的分数不包括分母是1 的分数。（ 2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。（ 3）“ 0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。（2）整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、 3、0、 1、 2、 3 等等。（3）分数包括正分数和负分数，例如：12、334、0.6 、12、334、 0.6 等等。知识点 4 有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0 的关系分类：注：通常把正数和0 统称为非负数，负数和0 统称为非正数，正整数和0 称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0 统称为非正整数。如果用字母表示数，则a0 表明 a 是正数； a0 表明 a 是负数； a0表明 a 是非负数； a0 表明 a 是非正数。2、数轴知识点 1 数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴正整数整数0负整数有理数正分数分数负分数正整数正有理数正分数有理数0负整数负有理数负分数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页- 2 - / 4 -5-4-3-2-154321O数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）；四，注意下标单位，上标数。知识点 2 数轴的画法（1）画一条直线（一般画成水平的直线）。（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。（3）确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点。注 （1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；（ 2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个( 或更多的 ) 单位长度取一点。知识点 3 数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。知识点 4 利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。知识点 5 数形结合思想解决问题数轴是将有理数具体化的工具，主要用于研究距离问题。3、相反数知识点 1 相反数的概念（ 1）相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。（ 2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0 的相反数是0。知识点 2 相反数的表示方法一般地，数a 的相反数是 a。这里 a 表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。知识点 3 多重符号的化简（1）在一个数的前面添上一个“”号，仍然与原数相同。（2）在一个数的前面添上一个“”号，就成为原数的相反数。4、绝对值知识点 1 绝对值的概念（1）绝对值的几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作“a”；有aa。（ 2）绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0。即,0)00, (0)0-(0)aaaaaaaaaaa（，（）或 。（）。知识点 2 两个负数大小的比较两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。知识点 3 有理数大小的比较法则正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页- 3 - / 4 知识点 4 ab的几何意义ab是表示数a 的点与表示数b 的点的距离，因此有abba。二、有理数的运算1、有理数的加法知识点 1 有理数的加法把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。相加的两个有理数有以下几种情况：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（ 5）一个是负数，一个是0；（ 6）两个都是0。知识点 2 有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（ 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。（3）一个数同0 相加，仍得这个数。知识点 3 有理数加法的运算定律（1）加法交换律：abba。（ 2）加法结合律：()()abcabc。2、有理数的减法知识点 1 有理数减法的意义有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。知识点 2 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即()abab3、有理数的加减混合运算知识点 1 有理数加减法统一成加法的意义对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。知识点 2 有理数加减混合运算的方法一、运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。二、运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。4、有理数的乘法知识点 1 有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0 相乘，都得0。知识点 2 有理数乘法法则的推广（1）几个不等于0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。（2）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。知识点 3 有理数乘法的运算定律（1）乘法交换律：abba。（ 2）乘法结合律：()()ab ca bc。（ 3）分配律：()a bcabac。5、有理数的除法知识点 1 倒数的概念乘积是 1 的两个数互为倒数。由于11aa(0)a，所以当a 是不为 0 的有理数时，a 的倒数是1a。若 a、b 互为倒数，则ab1。知识点 2 有理数除法法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页- 4 - / 4 一、除以一个数等于乘以这个数的倒数。即1(0)ababb。二、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于0 的数，都得0。6、有理数的乘方知识点 1 有理数乘方的意义求 n 个相同因数的积的运算，叫乘方。naaaaa个记作“na”。乘方的结果叫做幂。在na中，a叫做底数， n 叫做指数，na读作a的 n 次方，()mnmnaa。知识点 2 乘方运算的符号法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。知识点 3 科学计数法把一个大于10 的数记成“10na”的形式，其中a 是整数数位中只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。如42,000,000 4.2 710。7、有理数的混合运算知识点 1 有理数混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。8、近似数与有效数字知识点 1 研究近似数的意义在生产实践和实际生活中，不仅存在着大量的准确数，同时也存在着大量的近似数。近似数就是与实际接近的数。出现近似数的原因有两点：一是有时候不能得到完全准确的数，如太阳的半径大约是696 000千 M ；二是有时也没有必要弄得完全准确，如买10 千克大 M ，有时可能多一点，有时也可能少一点。知识点 2 精确度一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。知识点 3 有效数字四舍五入后的近似数，从左边第一个不为0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。方法技巧1：在只含有乘、除法的算式中，可以由“负”号的个数确定结果的符号。“负”号有奇数个时，结果为负；“负”号有偶数个时，结果为正。方法技巧2：分数、小数乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化为假分数。当把乘除都化成乘积的形式时，应先确定积和符号。含有多重括号，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外到内。在进行混合运算时，要注意两点：一是运算顺序，二是运算符号。方法技巧3：灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
