求椭圆及双曲线的离心率的方法.doc

求圆锥曲线离心率的专题求离心率问题有三种思路，一是求出三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出或或之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于的等量关系，再利用的关系消去，得到关于的等式，再转化为关于离心率的方程，解方程求出的值，最后根据椭圆或双曲线的离心率的取值范围,给出离心率的值.1.（2016全国丙卷理11）已知为坐标原点，是椭圆 的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）.A. B. C. D. 2.已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是_.【解析】 由题意，又因为，则，于是点在双曲线上，代入方程，得，再由得的离心率为.考点1.利用题设条件求出的值【例1】已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，,双曲线的右顶点为,，其双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【解析】由题意，易得，,所以，在中，【例2】已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的交点，若为正三角形，则双曲线的离心率是 【解析】根据已知条件画出图形（如右图），为正三角形，且抛物线的准线为在中，又点在双曲线上，解得，又，故双曲线离心率考点2.根据题设条件直接列出的等量关系【例3】已知双曲线的一条渐近线与圆相变于A.B两点，若，则该双曲线的离心率为（ ） A.8 B. C 3 D.4考点3.借助直角三角形的边角关系【例4】【2012全国新课标，理4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） 【解析】是底角为的等腰三角形， 则【例5】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【解析】由条件，则x轴，而，为等边三角形，而周长为4a， 等边三角形的边长为，焦点在直角三角形中， ，即，考点4. 借助与其它曲线的关系求离心率【例6】点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点（异于原点），若点A到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率等于（ ）A B2 C D4【解析】点A到抛物线C1的准线的距离为p，适合， 【例7】如图，已知抛物线y22px(p>0)的焦点恰好是椭圆1(a>b>0)的右焦点F，且这两条曲线交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为_【解析】如图，设F为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x轴上方的交点为A，连接AF，所以|FF|2c p，因为|AF|p，所以|AF|p.因为|AF|AF|2a，所以2app，所以e1.考点5. 利用椭圆或双曲线的定义求离心率【例8】椭圆上一点关于原点的对称点为，为其左焦点，若,设，则该椭圆的离心率为 （ ）A B C D【解析】取椭圆右焦点，连接，由椭圆对称性以及知四边形为矩形，由得，由椭圆定义知，.【例9】设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为_.【例10】 F1，F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率是（ ）A B C2 D【解析】画出图形，在中，根据题意可设， 为直角三角形设，由双曲线的定义知 ，即， 在中， ，故选D考点6. 借助双曲线的渐近线求离心率【例11】已知双曲线的两条渐近线分别为.则双曲线的离心率为_.【解析】因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2， 故ca，从而双曲线E的离心率e.【例12已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的余弦值为，该双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（ ）A B C D 【解析】双曲线的一条渐近线的倾斜角的余弦值为,所以，即， 故选C.考点7. 利用弦中点坐标，代点相减求离心率【例13】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为