高考立体几何专题训练.docx

高考立体几何专题训练一、解答题1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点 （1）求证：EF平面PAD； （2）求三棱锥B-EFC的体积； （3）求二面角P-EC-D的正切值 2.如图，三棱柱ABF-DCE中，ABC=120，BC=2CD，AD=AF，AF平面ABCD （）求证：BDEC； （）若AB=1，求四棱锥B-ADEF的体积 3.正方体ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点 （1）求证：B1D1AE； （2）求三棱锥A-BDE的体积 4.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD底面ABCD，且PAD是边长为2的等边三角形，PC=13，M在PC上，且PA面MBD （1）求证：M是PC的中点； （2）求多面体PABMD的体积 5.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，ABC=60，PAB是等边三角形，AB=2，PC=6，AB的中点为E. （1）证明：PE平面ABCD； （2）求三棱锥D-PBC的体积 6.一块边长为10cm的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器 （1）试把容器的容积V表示为x的函数. （2）若x=6，求图2的主视图的面积. 7.如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA平面ABCD，BEPA，BE=12PA，F为PA的中点 （1）求证：PC平面BDF （2）记四棱锥C-PABE的体积为V1，三棱锥P-ACD的体积为V2，求V1V2的值 8.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=22 （）证明：BC1平面A1CD； （）求锐二面角D-A1C-E的余弦值 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，DAB=60，PD平面ABCD，PD=AD=1，点E、F分别为AB和PC的中点，连接EF、BF （1）求证：直线EF平面PAD； （2）求三棱锥F-PBE的体积 10.如图，梯形FDCG，DCFG，过点D，C作DAFG，CBFG，垂足分别为A，B，且DA=AB=2现将DAF沿DA，CBG沿CB翻折，使得点F，G重合，记为E，且点B在面AEC的射影在线段EC上 （）求证：AEEB； （）设AFBG=，是否存在，使二面角B-AC-E的余弦值为33？若存在，求的值；若不存在，说明理由 11.在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3 将BCD沿BD折到BED的位置，使得二面角E-BD-A的大小为90（如图）已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且AP=2 （）证明：直线PQ平面ADE； （）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值 12.如图，四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PDBC，PD=1，PC=2 （）求证：PD面ABCD； （）求二面角A-PB-D的大小 13.如图在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=3，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形. （1）求证：ADBC； （2）求二面角B-AC-D的余弦值； （3）点E在直线AC上，当直线ED与平面BCD成30角若时，求点C到平面BDE的距离 14.如图所示，在边长为5+2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，ABC=BAD=90，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点，点N在线段AD上 （I）点N为线段AD的中点时，求证：直线PABMN； （II）若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45，求平面PBC与平面BMN所成角的余弦值 16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求证： （1）AC1BD； （2）AC1平面BDE 17.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）求证：AC平面B1D1DB； （2）求三棱锥B-CD1B1的体积 18.在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，APD=90，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点 （1）求证：PB平面AEC （2）求证：PBAC 19.如图，已知平面ADC平面A1B1C1，B为线段AD的中点，ABCA1B1C1，四边形ABB1A1为正方形，平面AA1C1C丄平面ADB1A1，A1C1=A1A，C1A1A=3，M为棱A1C1的中点 （I）若N为线段DC1上的点，且直线MN平面ADB1A1，试确定点N的位置； （）求平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值 20.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点 （1）求证：直线AE平面BDC1； （2）若三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值 21.如图所示，已知长方体ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点将ADM沿AM折起，使得ADBM （1）求证：平面ADM平面ABCM； （2）若点E为线段DB的中点，求点E到平面DMC的距离 22.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点 （1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B1-A1BE的体积； （2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F面A1BE？若存在，试确定点F的位置，并证明你的结论 23.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC平面AA1C1C，BC=CA=AA1=2，CAA1=60 （1）求证：AC1A1B； （2）求直线A1B与平面BAC1所成角的正弦值 24.在图所示的几何体中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点 （1）证明：NE平面PBD； （2）求四棱锥B-CEPD的体积 25.已知梯形ABCD中ADBC，ABC=BAD=2，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EFBC，AE=x沿EF将梯形AEFD翻折， 使平面AEFD平面EBCF（如图）G是BC的中点 （1）当x=2时，求证：BDEG； （2）当x变化时，求三棱锥D-BCF体积的最大值 26.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF与平面所成角的正弦值 27.在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，ABF为直角，AEBF，AB=12BF=1， 平面ABCD平面ABFE （1）求证：DBEC； （2）若AE=AB，求二面角C-EF-B的余弦值 28.如图，四棱锥P-ABCD中，AD平面PAB，APAB （1）求证：CDAP； （2）若CDPD，求证：CD平面PAB 29.如图所示，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是ABC=60的菱形，M为PC的中点，PC=6 （）求证：PCAD； （）求三棱锥M-PAB的体积 30.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ADC=45，AD=AC=2，O为AC的中点，PO平面ABCD且PO=6，M为BD的中点 （1）证明：AD平面PAC； （2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值 31.如图，多面体EF-ABCD中，ABCD是正方形，AC、BD相交于O，EFAC，点E在AC上的射影恰好是线段AO的中点 （）求证：BD平面ACF； （）若直线AE与平面ABCD所成的角为60，求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值 32.如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，BCA=90，且BC=CA=2，PC=PA （1）求证：PABC； （2）当PC的值为多少时，满足PA平面PBC？并求出此时该三棱锥P-ABC的体积 33.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，ABBC，且N是A1B的中点 （1）求证：直线AN平面A1BC； （2）若M在线段BC1上，且MN平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点 34.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点 （1）求证：直线BD1平面PAC （2）求证：平面PAC平面BDD1B1 35.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3 （1）求证：平面MQB平面PAD； （2）若二面角M-BQ-C大小的为60，求QM的长 36.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别为AB、BB1、B1C1的中点 （1）求证：A1DFG； （2）求二面角A1-DE-A的正切值 37.四棱锥P-ABCD的直观图与三视图如图，PC面ABCD （1）画出四棱锥P-ABCD的侧视图（标注长度） （2）求三棱锥A-PBD的体积 38.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为棱DD1上一点 （1）求证：平面PAC平面BDD1B1； （2）若P是棱DD1的中点，求CP与平面BDD1B1所成的角大小 39.如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABCD，AD=CD=1，BAD=120，PA=3，ACB=90，M是线段PD上的一点（不包括端点） （）求证：BC平面PAC； （）求二面角D-PC-A的正切值； （）试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角的正弦值为155 40.已知四棱锥P-ABCD中，AD=2BC，且ADBC，点M，N分别是PB，PD中点，平面MNC交PA于Q （1）证明：NC平面PAB （2）试确定Q点的位置，并证明你的结论 41.一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积 42.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PA底面ABCD，E是PA的中点 （）求证：PC平面BDE； （）证明：BDCE 43.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、G、H分别是BC、C1D1、AA1、的中点 （）求异面直线D1H与A1B所成角的余弦值 （）求证：EG平面BB1D1D 44.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，ABAD，AB=AD=AP=2CD=2，M是棱PB上一点 （）若BM=2MP，求证：PD平面MAC； （）若平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD，求证：PA平面ABCD； （）在（）的条件下，若二面角B-AC-M的余弦值为23，求PMPB的值 45.如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4点D是AB的中点 （1）求证：AC1平面B1DC； （2）求三棱锥A1-B1CD的体积 46.如图，以正四棱锥V-ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中OxBC，OyAB，E为VC中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cosBE，DE=-1549 （1）求ha的值； （2）求二面角B-VC-D的余弦值 47.如图1，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ADAB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，F为BE的中点，且DE=1，EC=2，现将梯形沿BE折叠（如图2），使平面BCEABED （1）求证：平面ACE平面BCE； （2）能否在边AB上找到一点P（端点除外）使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为63？若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由 48.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1侧面ABB1A1，B1A1A=C1A1A=60，AA1=AC=4，AB=1 （）求证：A1B1B1C1； （）求三棱锥ABC-A1B1C1的侧面积 49.在四棱锥中P-ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PA=PD=22AD、E、F，分别为PC、BD的中点 （1）求证：EF平面PAD； （2）若AB=2，求三棱锥E-DFC的体积 50.如图，四棱锥P-ABCD中，PAD为正三角形，ABCD，AB=2CD，BAD=90，PACD，E为棱PB的中点 （）求证：平面PAB平面CDE； （）若直线PC与平面PAD所成角为45，求二面角A-DE-C的余弦值 51.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P （）求证：平面PBD平面BFDE； （）求四棱锥P-BFDE的体积 【答案】 1.（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG， GF为PDC的中位线，GFCD且GF=12CD， 又AECD且AE=12CD，GFAE且GF=AE， EFGA是平行四边形，则EFAG， 又EF面PAD，AG面PAD， EF面PAD； （2）解：取AD中点O，连结PO， 面PAD面ABCD，PAD为正三角形，PO面ABCD，且PO=3， 又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，F到面ABCD距离d=PO2=32， 故VB-EFC=VF-BCE=13121232=36； （3）解：连OB交CE于M，可得RtEBCRtOAB， MEB=AOB，则MEB+MBE=90，即OMEC 连PM，又由（2）知POEC，可得EC平面POM，则PMEC， 即PMO是二面角P-EC-D的平面角， 在RtEBC中，BM=BEBCCE=255，OM=OB-BM=355， tanPMO=POOM=153，即二面角P-EC-D的正切值为153 2.（）证明：三棱柱ABF-DCE中，AF平面ABCDDEAF，ED平面ABCD， BD平面ABCD，EDBD， 又ABCD是平行四边形，ABC=120，故BCD=60 BC=2CD，故BDC=90故BDCD EDCD=D，BD平面ECD EC平面ECD， BDEC； （）解：由BC=2CD，可得AD=2AB，AB=1，AD=2，作BHAD于H， AF平面ABCD，BH平面ADEF，又ABC=120， BH=32， VB-ADEF=13(22)32=233 3. 解：（1）证明：连接BD，则BDB1D1， ABCD是正方形，ACBD CE面ABCD， CEBD 又ACCE=C， BD面ACE AE面ACE， BDAE， B1D1AE-（6分） （2）SABD=2 VA-BDE=VE-ABD=13SABDCE=23-（12分） 4.证明：（1）连AC交BD于E，连ME ABCD是矩形，E是AC中点 又PA面MBD，且ME是面PAC与面MDB的交线， PAME， M是PC的中点 解：（2）取AD中点O，连OC则POAD， 由平面PAD底面ABCD，得PO面ABCD， POOC，OC=13-3=10，CD=10-1=3， VP-ABCD=13233=23，VM-BCD=13122332=32， VPABMD=23-32=332 5.证明：（1）由题可知PEAB，CEAB AB=2，PE=CE=3 又PC=6，PE2+EC2=PC2， PEC=90，即PECE 又AB，CE平面ABCD， PE平面ABCD； 解：（2）SBCD=1222sin120=3，PE=3 由（1）知：PE平面ABCD， VP-BCD=13SBCDPE=1 VD-PBC=VP-BCD， 三棱锥D-PBC的体积为1 6.解：（1）设所截等腰三角形的底边边长为xcm 在RtEOF中，EF=5cm，OF=12xcm，所以EO=25-14x2 于是V=13x225-14x2（cm3） 依题意函数的定义域为x|0x10 （2）主视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长=AB=6， 底边上的高为四棱锥的高=EO=25-14x2=4， S=462=12（cm2） 7.（1）证明：连结BF，连接BD交AC与点O，连OF， 依题得O为AC中点，又F为PA的中点， 所以OF为PAC中位线，所以OFPC 因为OF平面BDF，PC平面BDF 所以PC平面BDF （2）解：设BE=a，则PA=2BE=2a， V1=13S梯形ABEPBC=1312（a+2a）12=a V2=13SPADCD=131222a1=2a3 V1V2=32 8.解：（）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以ODBC1，又因为OD平面A1CD，BC1平面A1CD，BC1平面A1CD（4分） （）由AA1=AC=CB=2，AB=22，可知ACBC，以C为坐标原点，CA方向为x轴正方向，CB方向为y轴正方向，CC1方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz， 则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），CD=(1，1，0)，CE=(0，2，1)，CA1=(2，0，2) 设n=(x，y，z)是平面A1CD的法向量，则nCA1=0nCD=0即2x+2z=0x+y=0 可取n=(1，-1，-1)（6分） 同理，设m是平面A1CE的法向量，则mCA1=0mCE=0， 可取m=(2，1，-2)（8分） 从而cosn，m=nm|n|m|=33（10分） 所以锐二面角D-A1C-E的余弦值为33（12分） 9.（1）证明：如图，取PD中点G，连接FG，AG， 则FGDC，FG=12DC， 底面ABCD为菱形，且E为AB中点， GF=AE，GFAE，则四边形AEFG为平行四边形， 则EFAG， EF平面PAD，AG平面PAD，则直线EF平面PAD； （2）解：连接DE，AD=1，AE=12，DAB=60， DE=32，AE2+DE2=AD2，即DEAB， 又PD平面ABCD，PDAB，则AB平面PDE，有平面PDE平面PAB， 过D作DHPE于H，DH平面PAB， 在RtPDE中，PD=1，DE=32，则PE=12+(32)2=72 DH=13272=217 C到平面PAB的距离为217，则F到平面PAB的距离为2114 VF-PBE=13121722114=324 10.（）证明：由已知，四边形ABCD是边长为2的正方形， DAAF，DAAE，AEAF=A， DA面ABE，则平面ABCD平面ABE， 又CBAB，CBAE 又点B在面AEC的射影在线段EC上，设为H，则AEBH， AE面BCE，又BE面BCE， AEEB； （）解：以A为原点，垂直于平面ABCD的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AD为z轴， 如图所示建立空间直角坐标系A-xyz， 由已知AFBG=AEBE，假设存在，使二面角B-AC-E的余弦值为33 设E（a，b，0），则AE=(a，b，0)，AC=(0，2，2) 设平面AEC的一个法向量n=(x，y，z)， 则nAE=ax+by=0nAC=2y+2z=0，解得x=-bayz=-y， 令y=a，得n=(-b，a，-a)是平面EAC的一个法向量 又平面BAC的一个法向量为m=(1，0，0)， 由|cosm，n|=|mn|m|n|=|b|2a2+b2=33，化简得a2=b2， 又AE平面BCE，AEBE， AEBE=0，即a2+b（b-2）=0， 联立，解得b=0（舍），b=1 由AE=a2+b2，BE=a2+(b-2)2，AE=BE 当=1时，二面角B-AC-E的余弦值为33 11.（）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DERQ， 由题知AB=42，又AP=2，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此ADPR， 因为PR，RQ平面ADE， 且AD，DE平面ADE，故PR平面ADE，RQ平面ADE， 又PRRQ=R， 故平面PQR平面ADE，从而PQ平面ADE6分 （）解：由题EA=ED=5，AD=42，设点O到平面ADE的距离为d， 则由等体积法可得13124225-8d=1312443， 故d=63417，因此sin=dOD=3343412分 12.解；（）证明：PD=DC=1，PC=2， PDC是直角三角形，即PDCD，（2分） 又PDBC，BCCD=C， PD面ABCD（7分） （）解：连接BD，设BD交AC于点O， 过O作OEPB于点E，连接AE， PD面ABCD，AOPD， 又AOBD，AO面PDB AOPB， 又OEPB，OEAO=O， PB平面AEO，从而PBEO， 故AEO就是二面角A-PB-D的平面角（10分） PD面ABCD，PDBD， 在RtPDB中，PB=PD2+BD2=1+2=3， 又OEPD=OBPB，OE=66，（12分） tanAEO=AOOE=2266=3，AEO=60 故二面角A-PB-D的大小为60（15分） 13.证明：（1）取BC中点O，连结AO、DO， 在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边， 且AD=3，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形， AOBC，DOBC，BC面AOD， BCAD 解：（2）作BMAC于M，作MNAC，交AD于N， 则BMN就是二面角B-AC-D的平面角， AB=AC=BC=2，M是AC中点， BM=62，MN=12CD=12，BN=12AD=32， 由余弦定理得cosBMN=32+14-3426212=63， 二面角B-AC-D的余弦值为63 （3）过A作AH平面BCD，交DO延长线于H，连结CH， 设E是所求的点，过E作EFCH于F，连结FD， 则EFAH， EF面BCD，EDF就是直线ED与平面BCD所成角，EDF=30， 设EF=x，由题意AH=CH=1，CF=x，FD=1+x2， tanEDF=x1+x2=33，解得x=22， 则CE=1，设点C到平面BDE的距离为d， VE-BCD=VC-BED， 13121122=1312162d， 解得d=33，点C到平面BDE的距离为33 14.解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h， 由已知条件l+r+2r=(5+2)22r=142l， 解得r=2，l=42，h=l2-r2=30， S=rl+r2=10， V=13r2h=2303 15.证明：（）连结点AC，BN，交于点E，连结ME， 点N为线段AD的中点，AD=4， AN=2，ABC=BAD=90，AB=BC=2， 四边形ABCN为正方形，E为AC的中点， MEPA， PA平面BMN，直线PA平面BMN 解：（）PA平面ABCD，且AB，AD平面ABCD， PAAB，PAAD， BAD=90，PA，AB，AD两两互相垂直， 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则由AD=AP=4，AB=BC=2，得： B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4）， M为PC的中点，M（1，1，2）， 设AN=，则N（0，0），（04），则MN=（-1，-1，-2）， BC=（0，2，0），PB=（2，0，-4）， 设平面PBC的法向量为m=（x，y，z）， 则mBC=2y=0mPB=2x-4z=0，令x=2，得m=（2，0，1）， 直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45， |cosMN，m|=|MNm|MN|m|=|-2-2|5+(-1)25=45， 解得=1，则N（0，1，0），BN=（-2，1，0），BM=（-1，1，2）， 设平面BMN的法向量n=（x，y，z）， 则nBM=-x+y+2z=0nBN=-2x+y=0， 令x=2，得n=（2，-4，3）， cos=|mn|m|n|=7529=7145145 平面PBC与平面BMN所成角的余弦值为7145145 16.证明：（1）AA1平面ABCD，AA1BD， 又ACBD，AA1FAC=A，DB面AA1BC1C， 又因为AC1面AA1BC1C，AC1BD （2）如图连结AC交BD与O，连结OE， 因为O、E分别是AC、CC1的中点， OEAC1， 又因为OE平面BDE，AC1平面BDE AC1平面BDE 17.解：（1）证明：DD1平面ABCD，AC平面ABCD， DD1AC， 正方形ABCD中，ACBD， 又DD1平面B1D1DB，BDB1D1DB，DD1BD=D， AC平面B1D1DB （2）B1D1=2，BB1=1，SB1BD1=12B1D1BB1=1221=22 设AB，CD交点为O，则OC=12AC=22 AC平面B1D1DB， 三棱锥B-CD1B1的体积V=13SB1BD1OC=132222=16 18.证明：（1）连接BD交AC于点O， ABCD是矩形，O是BD中点，（1分） 又E是PD中点， OE是DBP的中位线， OEPB，（2分） OE平面AEC，PB平面AEC，（4分） PB平面AEC（5分） （2）设AD中点为F，连接BF、PF PA=PD=AB=a， AD=BC=2a，AF=22a，ABAF=BCAB=2 ABCFAB，ACBF，（8分） 又PA=PD，F是AD的中点，PFAD，（9分） 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PF平面PAD， PF面ABCD，（10分） AC平面ABCD，PFAC， PFBF=F，（11分） AC平面PBF，PB平面ABCD， ACPB（12分） 19.（）证明：连结A1D，直线MN平面ADB1A1，MN平面A1C1D， 平面A1C1D平面ADB1A1=A1D1，MNA1D， 又M为棱A1C1的中点，MN为A1C1D的中位线， N为DC1的中点 （）设A1B1=1，则A1A=1，A1C1=1，因为B为AD的中点，所以AD=2，因为ABCA1B1C1， 所以A1C1=AC，又平面ABC平面A1B1C1，平面A1B1C1平面A1AOC1=A1C1，平面ABC平面A1AOC1=AO， A1C1AC，所以四边形A1ACC1是平行四边形，又A1C1=A1A，所以A1ACC1是菱形，又C1A1A=3， A1M=12AA1=12，AM=22，AMA1C1，AMAC，ADAA1，平面AA1C1C平面ADB1A1， AD平面AA1C1C，ADAM，ADAC，AM，AD，AC两两垂直， 以A为坐标原点，AD，AC，AM分别为x，y，z轴， 由题意可得：A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），C1（0，12，32），DC=（-2，1，0），DC1=(-2，12，32)， 设平面CC1D的法向量为：n=（x，y，z），则nDC=-2x+y=0nDC1=-2x+12y+32z=0， 令z=23，可得y=6，x=3，可得n=（3，6，23），平面MAD的一个法向量为：m=（0，1，0）， 平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值为：cos=|cosm，n| =|mn|n|m|=657=25719 20.解：（1）证明：设BC1的中点为F，连接EF，DF 则EF是BCC1中位线，根据已知得EFDA，且EF=DA 四边形ADFE是平行四边形AEDF， DF平面BDC1，AE平面BDC1， 直线AE平面BDC1 （2）建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz， 由已知得B(0，0，0)，D(0，2，2)，C1(3，1，4)BD=(0，2，2)，BC1=(3，1，4) 设平面BDC1的一个法向量为n=(x，y，z)， 则nBD，nBC13x+y+4z=02y+2z=0， 取z=-1，解得y=1x=3 n=(3，1，-1)是平面BDC1的一个法向量 由已知易得m=(0，0，1)是平面ABC的一个法向量 设平面BDC1和平面ABC所成二面角的大小为， 则|cos|=|mn|m|n|=550，sin=255 平面BDC1和平面ABC所成二面角的正弦值为255 21.（I）证明：AD=DM=2，CM=BC=2，ADM=BCM=90， AM=BM=22，又AB=4， AM2+BM2=AB2，AMBM ADBM，ADAM=A， BM平面ADM， BM平面ABCM， 平面ADM平面ABCM； （2）解：取AM的中点F，连接DF，CF，则，DM=MC=2，DC=DF=DF2+CF2=23， SDMC=3， 设点E到平面DMC的距离为d，则VE-DMC=12VB-DMC=12VD-BMC=1213SBMCh=1622=23， d=3VE-DMCSDMC=63 22. 解：（1）VB1-A1BE=VE-A1B1B=131(1211)=16 （2）当点F为C1D1中点时，可使B1F平面A1BE 证明如下： C1D1D中，EF是中位线，EFC1D且EF=12C1D， 设AB1A1B=O，则平行四边形AB1C1D中，B1OC1D且B1O=12C1D， EFB1O且EF=B1O， 四边形B1OEF为平行四边形，B1FOE B1F平面A1BE，OE平面A1BE， B1F平面A1BE 23.（1）证明：如图，连接CA1（1分） CA=AA1，四边形AA1C1C为菱形，AC1CA1（2分） BC平面AA1C1C，AC1BC，（3分） 又BCCA1=C，（4分） AC1平面BCA1，（5分） AC1A1B（6分） （2）解：如图，建立空间直角坐标系C-xyz，（7分） 则B（0，0，2），A1(3，1，0)，A(3，-1，0)，C1（0，2，0）， BA1=(3，1，-2)，BA=(3，-1，-2)，BC1=(0，2，-2)（8分） 设n=(x，y，z)是平面BAC1的一个法向量，则nBA=0nBC1=03x-y-2z=02y-2z=0.