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北京工业大学线性代数第四章北京工业大学线性代数第四章第三节向量组的秩第三节向量组的秩2引例：引例： 123,共面且两两不共面且两两不共线，则共线，则 123,线性相关线性相关,它的部分它的部分 1和和 设几何空间中设几何空间中组组 12,都线性无关。都线性无关。 但对于部分组但对于部分组 1来说来说, 添上添上 3后得到的部分后得到的部分 组组 13,仍线性无关，而部分仍线性无关，而部分 组组 12, 添上添上 3后得到的后得到的 123,却线性相关却线性相关,由此受到启发，我们引入下述概念。由此受到启发，我们引入下述概念。m12, 线性相关时线性相关时, 如何判断如何判断12,m 能能否否由由线性表出？线性表出？问题：问题： 912js ， , ,设设12rjiii ， , ,12riii ， , ,线性表出线性表出;j 可以由可以由12,rjiii ， , ,12,riiij ， , ,线性相关线性相关是极大线性无关组是极大线性无关组j 可以由可以由12riii， , ,线性线性 12riii ， , , 12s， , ,12riii， , ,12s ， , ,可以由可以由线性表出线性表出.12riii ， , ,由由表出。所以表出。所以10推论：推论： 向量组的任意两个极大线性无关组向量组的任意两个极大线性无关组等价等价。(由等价的对称性和传递性由等价的对称性和传递性)小结小结:12riii， , ,是向量组是向量组12s ， , ,设设的一个极大线性无关组，的一个极大线性无关组， 能能否否由由12,m 线性表出线性表出 能能否否由由iiir12, 线性表出线性表出12,iiir是否线性相关是否线性相关 11现在我们知道，向量组的任意两个极大现在我们知道，向量组的任意两个极大线性无关组可以互相线性表出，为了研究它线性无关组可以互相线性表出，为了研究它们所含向量的个数是否相等，就需要先研究们所含向量的个数是否相等，就需要先研究如果一个向量组可以由另一个向量组线性表如果一个向量组可以由另一个向量组线性表出，它们所含向量的个数有什么关系。出，它们所含向量的个数有什么关系。1212,向量组向量组考察：考察：几何空间中，向量组几何空间中，向量组123, , ,可可以以由由123, 线性表出，则我们有如下结论：线性表出，则我们有如下结论：情形情形112,若若不共线不共线, 则则一定共面。一定共面。123, 情形情形212,若若共线共线, 则则一定共线，一定共线，123, 当然也共面。当然也共面。线性相关线性相关由此，我们猜想有下述结论：由此，我们猜想有下述结论：12,123, , ,可可以以由由线性表出，线性表出，结论：结论： 13定理定理1：st1212， , 可, 可由由 ， , ,设向量组设向量组线性表出线性表出, 如果如果 s t , 则则12s ， , ,线性相关线性相关 向量组向量组12,s， , 中, 中部分组部分组12riii， , ,线性无关线性无关, 任意任意 r+1个向量都个向量都极大线性无关组的等价定义：极大线性无关组的等价定义：推论推论1：1212st 如如果果， , , 可可由由 ， ， , ,线性表示线性表示,12s且且， , ,线性无关，线性无关， 则则.st 线性相关线性相关12riii， , ,是极大线性无关组是极大线性无关组14推论推论2： 两个线性无关的等价的向量组，必含两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量有相同个数的向量推论推论3： 向量组的任意两个极大线性无关组所向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等含向量的个数相等注：注： 极大无关组所含向量的个数是相当重要的。极大无关组所含向量的个数是相当重要的。为此我们引出下述概念。为此我们引出下述概念。15三向量组的秩向量组的秩定义定义: :所含向量的个数称为这个向量组的秩，记作所含向量的个数称为这个向量组的秩，记作12s ， , ,向量组向量组的极大线性无关组的极大线性无关组 ss1212 秩秩， , ,或或r ra an nk k ， , , 。说明：说明：规定全由零规定全由零向量组成的向量组的秩为零。向量组成的向量组的秩为零。 12sr 秩秩， , ,向量组向量组12s ， , ,中线性无关的向量的个数至多是中线性无关的向量的个数至多是r，任意，任意r+1个个向量都线性相关。向量都线性相关。16设有两个设有两个 n 维向量组维向量组1212:;:;stAB， , ,， , ,若若 A 可由可由B 线性表出线性表出, 则则 1212.st 秩秩， , ,秩秩， , ,定理定理3： 12.ss秩秩， , , 向量组向量组12s ， , ,线性无关线性无关 向量组向量组12s ， , ,线性相关线性相关 12.ss 秩秩， , ,17推论：推论：等价的向量组有等价的向量组有说明：说明：相同的秩相同的秩。上述定理和推论给出了比较两个向量组上述定理和推论给出了比较两个向量组的秩的方法，利用这个方法有时可从已知的向的秩的方法，利用这个方法有时可从已知的向量组的秩，求出另一个向量组的秩。量组的秩，求出另一个向量组的秩。 证：证：12,.,iiir 设设为向量组为向量组A的极大线性无关组，的极大线性无关组，12s,.,iii 为向量组为向量组B的极大线性无关组，的极大线性无关组，则则12,.,iiir 可可由由12s,.,iii 线性表出，线性表出， 1212.st 秩秩， , ,秩秩， , , rs,且且即即18四向量组的秩的计算方法四向量组的秩的计算方法设设A=(aij)mn , 则则A 的行的行向量组的秩称向量组的秩称为为A的的行秩行秩, A的列的列向量组的秩向量组的秩称为称为A的的列秩列秩定义定义: :命题：命题： 阶梯形矩阵阶梯形矩阵J的秩等于它的行秩也等于它的秩等于它的行秩也等于它的列秩；且的列秩；且J的主元所在的列构成的主元所在的列构成J的列的列向量组向量组的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组1.1.矩阵的秩与向量组的秩的关系矩阵的秩与向量组的秩的关系19设设abcdebcdeJcde 111112222123453330(,)0000000, ,a b c123,0 其其中中abcbca b cc1112212330000TTTabbccc112123(,0,0) ,(,0) ,(,)线性无关。线性无关。20从而它的延伸组从而它的延伸组 也线性无关也线性无关123, 1234(,)34R 线性相关。线性相关。1234, 也线性相关。也线性相关。1235, 同同理理是是J的列向量组的一个极大线的列向量组的一个极大线 123, 性无关组，从而性无关组，从而J的列秩的列秩=3=R(J)。 易知易知, J的行秩的行秩=3=R(J)。21推论：推论：任意矩阵的秩等于它的行任意矩阵的秩等于它的行秩，也等于秩，也等于它的列秩它的列秩命题：命题： 矩阵的初等矩阵的初等行行变换不改变矩阵的行秩；变换不改变矩阵的行秩；也不改变矩阵列向量组的线性相关性，从而也不改变矩阵列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩不改变矩阵的列秩推论：推论：设矩阵设矩阵A经过初等行变换变成阶梯形矩经过初等行变换变成阶梯形矩第第 列构成列构成A的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组rjjj12,阵阵J, 且且J的主元所在是第的主元所在是第 列列, 则则A的的rjjj12,问题：问题： 一般的矩阵，其一般的矩阵，其行秩行秩=列秩列秩？22 求求向量组的秩的方法向量组的秩的方法将向量组的向量作为列构成一个矩阵将向量组的向量作为列构成一个矩阵A，例例2 求向量组的秩与一个极大线性无关组求向量组的秩与一个极大线性无关组1234(1,0,2,3),(1,4, 9, 16),(7,1,0, 1) = =( (6 6, , 4 4, , 1 1, , - -1 1) ), ,解：对矩阵解：对矩阵1234(,)TTTTA , ,A初等行变换初等行变换阶梯形矩阵阶梯形矩阵B(得得R(A)初等行变换初等行变换简化梯形矩阵简化梯形矩阵C(求线性表出的系数求线性表出的系数)作初等行变换，作初等行变换，变成阶梯形求向量组的秩和极大线性无关组；变成阶梯形求向量组的秩和极大线性无关组；23A61174041129013161 1290015000010000 1234,3 秩秩, ,A1000100010015000 且且124, , ,为向量组的一个极大线性无关组，为向量组的一个极大线性无关组，则则312450 24例例1 证明矩阵的性质：证明矩阵的性质：(),()ijm sijs nABb 设设 ABAB (1)()min( ),秩秩秩秩秩秩( )( )ABAB (2)()( ),秩秩秩秩秩秩( ( ) )其中其中 阵阵 ,A B是是同同型型矩矩证明证明(1)：25,(.),(.)snnssssnAAbbbbbbABbbb1211121212221212对对 按按列列分分块块 设设则则 11112121212122221122ssssnnnsnsbbbbbbbbbAB列向量组为列向量组为261212,ns 可可由由1212(,)()(,)( )nsRR ABRR A 线性表示线性表示同理，将同理，将B按行分块可证按行分块可证()( )R ABR B 所以，所以， ()min( ),( )R ABR AR B 271212(,)(,)ssAB ),;,(2121ssC 1122(,)ssAB 证明证明(2)：将将A, B按列分块按列分块设设由由),(),(21212211ssssRR ),(),(2121ssRR 28作作 业业P15218 (2)24题之前的题都可以做！题之前的题都可以做！29 结束语结束语
