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反常积分反常积分(2)(2)2/31考察如下三种无穷区域面积考察如下三种无穷区域面积一、引例一、引例 (1)bax dx 00bax dxx dx 00(2)limlimbaabSx dxx dx方方法法：2211. ( ), (,)2xxex -4-3-2-10123400.050.10.150.20.250.30.350.4ab2212xye3/314/315/316/317/318/319/310 xxe dx 例例2 2原原式式= =0limxaaxe dx 0limxaax de 00limxxaaaxee dx 0limaxaaaee lim1aaaaee limaae 0limaaae limaaae 0 1 xyxe 10/31例例3 计算反常积分计算反常积分2.1dxx 解解21dxx 022011dxdxxx 022011limlim11baabdxdxxx 00limarctanlim arctanbaabxx lim arctanlim arctanabab .22 211x 11/31证证(1)1,p 11pdxx 11limbbdxx lim ln( )bb , (2)1,p 11limbpbdxx 11lim()11pbbpp ,11,11ppp 11111ppdxpx 因此当时收敛，且其值为因此当时收敛，且其值为1.p 当当时时发发散散11pdxx 114,11.pdxppx 例例证证明明反反常常积积分分当当时时收收敛敛；当当发发散散12/31证证pxaedx limbpxabedx limbpxbaep limpapbbeepp ,0,0apeppp 00.pp 当当时时收收敛敛，当当时时发发散散500.pxaedxpp 例例 证证明明反反常常积积分分当当时时收收敛敛；当当发发散散13/31?请同学们思考：请同学们思考：在在反反常常积积分分中中如如何何利利用用函函数数的的奇奇偶偶性性来来简简化化计计算算？ 0,2fxfx dxfx dx 若若为为偶偶函函数数 则则14/31三、无界函数的反常积分三、无界函数的反常积分11. , (0,1yxx11(1)22bdxbx 0(2)lim(22)bSb 00.20.40.60.811.21.41.61.820.511.522.533.544.5b1yx 15/31212. , (0,1yxx 1211(1)1bdxbx 01(2)lim(1)bSb 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91050100150200250300350400b16/310( )lim( )bbaaf x dxf x dx 2,f xa b定定义义设设函函数数在在区区间间上上连连续续，而而在在点点 当极限存在时，称反常积分当极限存在时，称反常积分收敛收敛； ,bafxa bfx dx 为为在在区区间间上上的的反反常常积积分分，记记作作当极限不存在时，称反常积分当极限不存在时，称反常积分发散发散. .a 的右邻域无界，则称极限的右邻域无界，则称极限0lim()bafx dx 17/310( )lim( )bbaaf x dxf x dx 0lim()bafx dx ,bafxa bfx dx 为在)上的反常积分，记作为在)上的反常积分，记作 ,fxa bb类类似似的的 设设函函数数在在区区间间）上上连连续续，而而在在 的的,左左邻邻域域无无界界 则则称称 当极限存在时，称反常积分当极限存在时，称反常积分收敛收敛；当极限不存在时，称反常积分当极限不存在时，称反常积分发散发散. .18/31定义中定义中c 为为瑕点瑕点，以上积分称为以上积分称为瑕积分瑕积分. ,. . cbacbafxfxa bc acdxbfx dxfxcdx 和和都都设设函函数数在在区区间间上上除除点点外外连连续续，而而在在点点 的的邻邻域域内内无无界界收收敛敛如如果果两两个个反反常常积积分分，则则义义收收敛敛定定 .bafx dx 否否则则，就就称称反反常常积积分分发发散散 bcbaacfx dxfx dxfx dx 00limlimcbacfx dxfx dx 19/31注意：注意：无界函数的反常积分与定积分的符无界函数的反常积分与定积分的符号虽然相同，但概念却完全不同，号虽然相同，但概念却完全不同，关键看关键看 a,b内函数是否有无界点内函数是否有无界点。函数在无穷间。函数在无穷间断点处必无界。断点处必无界。20/31211yx 例例6 计算计算解解220(0).adxaax 221lim,xaax 220adxax 2200limadxax 00lim arcsinaxa 0lim arcsin0aa .2 xa 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点21/31例例7 计算计算21.lndxxx 21lndxxx 210limlndxxx 210(ln )limlndxx 210lim ln(ln )x 0lim ln(ln2)ln(ln(1) . 故原反常积分发散故原反常积分发散. 解解 这是无界函数的反常积分，这是无界函数的反常积分，1x 为函数无穷间断点为函数无穷间断点. .22/31证证(1)1,q 101dxx 10ln x , (2)1,q 101qdxx 1101qxq ,11,11qqq 101qdxx 111qq 因因此此当当时时反反常常积积分分收收敛敛，且且其其值值为为1.q 当时发散当时发散1018 1,1qdxqqx 例例证证明明反反常常积积分分当当时时收收敛敛 当当发发散散。23/31 209.13dxxx 例例判判定定积积分分的的敛敛散散性性 10,2,1,13xxx 分析:因为在上时分析:因为在上时该问题是第二类反常积分问题.该问题是第二类反常积分问题. 113xx 解解 2013dxxx 113yxx 111.213xx 2200111213dxdxxx 24/311220011111ln32112dxdxxxx 10ln32 12010011111limlimln321212dxdxxx 120100111lim ln1lim ln1ln3222xx 1201011limln1+ln1ln322xx 011limln(ln)ln 322 1ln32 25/31100limln1=x 20.13dxxx 发发散散120100111limln1limln1ln3222xx 122001001111limlimln32112dxdxxxx 1220011111ln32112dxdxxxx 26/31+3010.(1)dxx x 例例求求反反常常积积分分301,lim.(1)xx x 分分析析：容容易易发发现现 上上限限为为且且,0 xt 时时1,xt 解：令解：令21,dxdtt 则则0,xt 且时且时3+20(1)(1)td t +0330+(1)(1)dxdtx xt 02lim1bbt 2 27/3110ln:1xdxx 请请同同学学们们思思考考 积积分分的的瑕瑕点点是是那那几几个个？1、定义：定积分的极限、定义：定积分的极限.2、收敛的充要条件是极限存在、收敛的充要条件是极限存在.3、计算、计算 先求定积分，再求极限先求定积分，再求极限.4、难点：、难点： 无界函数反常积分类型的判定及瑕点无界函数反常积分类型的判定及瑕点的确定的确定.四、总结：四、总结：28/31四、四、函数与函数与函数函数1函数函数10( )(0)txe tdtxx 定定义义：，称称为为 函函数数。( )(0,)xRxC 可可以以证证明明， 函函数数收收敛敛, ,且且。 函函数数具具有有以以下下重重要要的的性性质质：(1)(1)1 证明：证明：1 10(1)te tdt 0()te dt 0te 1 29/31证明：证明：1 10(1)txxe tdt (2)(1)( )xxx 0 xtt de 0 xtt e 10txxe tdt ( )xx10txe xtdt (1)!Zxnnnn 当当时时，显显然然有有，其其中中。30/31证明：证明：(1)( )xxx 由由0(3) lim( )xx ( +1)( )=xxx ( )(0,)x 又又在在区区间间连连续续0lim(1)xx 则则(1)1 00(1)lim( )limxxxxx所以所以 31/31证明：证明：2,tu 令令1(4)2 202uedu 在二重积分中，将证明：在二重积分中，将证明：10( )txxe tdt 2dtudu 得得，且且新新的的上上下下限限不不变变10( )txxe tdt 22102uxeudu 20122uedu 22 22202uxeuudu 函函数数请请课课后后自自学学完完成成。
