Matlab求解线性方程组、非线性方程组.doc
Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-dateMatlab求解线性方程组、非线性方程组Matlab求解线性方程组、非线性方程组求解线性方程组solve，linsolve例：A=5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1;%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格B=3;1;1;0X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量X=linsolve(A,B)diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式diff(F); %matlab区分大小写pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式非线性方程求解fsolve(fun,x0,options)其中fun为待解方程或方程组的文件名；x0位求解方程的初始向量或矩阵；option为设置命令参数建立文件fun.m：function y=fun(x)y=x(1)-0.5*sin(x(1)-0.3*cos(x(2), .x(2) - 0.5*cos(x(1)+0.3*sin(x(2);>>clear;x0=0.1,0.1;fsolve(fun,x0,optimset('fsolve')注：.为续行符m文件必须以function为文件头，调用符为；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。 Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“”。如：X=AB表示求矩阵方程AXB的解；XB/A表示矩阵方程XA=B的解。对方程组XAB，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程XB/A同理。如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：mn 恰定方程，求解精确解；m>n 超定方程，寻求最小二乘解；m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。一恰定方程组恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：（1）利用cramer公式来求解法；（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；（3）利用gaussian消去法；（4）利用lu法求解。一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=Ab。在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用Ab的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。二超定方程组对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=Ab）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；【例7】求解超定方程组A=2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13A=2 -1 33 1 -54 -1 11 3 -13b3 0 3 -6;rank(A)ans=3x1=Abx1=1.00002.00001.0000x2=pinv(A)*bx2=1.00002.00001.0000A*x1-bans=1.0e-014-0.0888-0.0888-0.13320可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。三欠定方程组欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。【例8】解欠定方程组A1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5A=1 -2 1 11 -2 1 -11 -2 1 -11 -2 1 5b=1 -1 5x1=AbWarning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015x1=0-0.000001.0000x2=pinv(A)*bx2=0-0.00000.00001.0000四方程组的非负最小二乘解在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A)*norm(A,1)*eps，矩阵的1范数越大，求解的误差越大；（3）X,W=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。【例9】求方程组的非负最小二乘解A=3.4336 -0.5238 0.6710-0.5238 3.2833 -0.73020.6710 -0.7302 4.0261;b=-1.000 1.5000 2.5000;X,W=nnls(A,b)X=00.65630.6998W=-3.6820-0.0000-0.0000x1=Abx1=-0.35690.57440.7846A*X-bans=1.12580.1437-0.1616A*x1-bans=1.0e-0.15-0.22200.44410-
