《高等数学I》教学大纲.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高等数学I教学大纲高等数学I教学大纲高等数学教学大纲课程名称：高等数学 Advanced Mathematics课程性质：通识课 公共必修课 学 分：11总 学 时：170学时 理论学时：170学时适用专业：本（工）科各专业先修课程：教学目的与要求：高等数学是高等院校本科学生数学教育都应达到的合格要求，也是选学工科各专业学生的基本要求，因此该课程不仅是高等院校本科数学教育的一门通识课程，也是工科本科各专业的一门重要基础理论课程与核心课程，它的教学目的与要求是：1. 使学生获得高等数学的基本概念、基本理论与基本运算技能，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础；2. 使学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力；具有较强的自学能力；3. 使学生学习体会研究问题解决问题的一般科学方法，培养学生用数学方法解决实际问题的意识、兴趣和能力。教学内容与学时分配序号章目名称学时分配第一章函数与极限20学时第二章导数与微分10学时第三章微分中值定理与导数的应用12学时第四章不定积分12学时第五章定积分12学时第六章定积分的应用12学时第七章微分方程15学时第八章空间解析几何与向量代数12学时第九章多元函数微分法及其应用18学时第十章重积分12学时第十一章曲线积分与曲面积分18学时第十二章无穷级数17学时合计学时数170各章节主要知识点与教学要求第一章函数与极限（20学时）第一节 映射与函数第二节 数列的极限第三节 函数的极限第四节 无穷小与无穷大，第五节 极限运算法则第六节 极限存在准则 两个重要极限第七节 无穷小的比较第八节 函数的连续性与间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性第十节 闭区间上连续函数的性质本章重点：函数与复合函数的概念，初等函数，实际问题中的函数关系；极限概念与极限运算法则；无穷小与无穷小的比较；两个重要极限；函数连续的概念与初等函数的连续性；间断点的分类；闭区间上连续函数的性质。本章难点：复合函数的复合过程；极限定义的理解；两个重要极限的灵活运用；极限存在的两个准则的应用；闭区间上连续函数性质的应用。教学要求：（1）掌握函数的概念、表示方法与性质，并会建立简单应用问题中的函数关系式；（2）掌握基本初等函数的性质及其图形，掌握复合函数的复合过程；（3）了解函数极限的概念，会用极限定义证明一些极简单的极限，理解和掌握极限的运算性质；(4) 理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系; (5) 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；（6）掌握利用两个重要极限求极限的方法；（7）掌握无穷小的有关理论，会用等价无穷小求极限；（8）掌握函数连续的定义，会判别函数间断点的类型；（9）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，会用闭区间上连续函数的性质解决一些简单的有关问题。 （10）略讲内容：极限存在的两个准则的证明。第二章导数与微分(10学时)第一节 导数概念第二节 函数的求导法则第三节 高阶导数第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率第五节 函数的微分本章重点：导数与微分的定义，导数运算法则；微分的概念与求法；高阶导数。 本章难点：微分的概念与微分法；复合函数的求导法则；分段函数导数的求法。教学要求：（1） 理解导数和微分的概念以及导数与微分的关系；理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程；了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量；（2）理解函数的可导性与连续性之间的关系；会用定义求函数在某一点的导数；（3）掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；（4）会求分段函数的导数；（5）会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数；（6）会坚决一些简单的相关变化率实际问题；（7）会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用；（8）了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。（9）略讲内容： 高阶导数中的莱布尼兹公式； 微分应用中的四个概念（误差、相对误差、相对误差限、绝对误差限）。第三章 微分中值定理与导数的应用（12学时）第一节 微分中值定理第二节 罗必达法则第三节 泰勒公式第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数的极值与最大值最小值第六节 函数图形的描绘第七节 曲率第八节 方程的近似解本章重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式；罗必达法则；函数的单调性的判别方法；函数极值的求法，最大值和最小值的应用；函数图形的描绘。本章难点：泰勒公式；洛必达法则；最大值、最小值的应用问题。教学要求：（1）掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理；理解泰勒公式，知道泰勒公式的一些简单应用；。（2）掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；（3）理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。（4）会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点；（5）会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；（6）理解弧微分；知道曲率和曲率半径的概念。（7）略讲内容： 曲率半径、曲率中心与曲率圆的计算； 方程的近似解。第四章不定积分（12学时）第一节 不定积分的概念与性质第二节 换元积分法第三节 分部积分法第四节 有理函数的积分第五节 积分表的使用本章重点：原函数与不定积分的概念；不定积分的性质；换元法与分部积分法；有理函数的积分。本章难点：不定积分各种方法的综合使用；换元积分法中变量代换的选择。 教学要求：（1）理解原函数和不定积分的概念；（2）掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质；（3）掌握不定积分的换元法与分部积分法；（4）会求简单的有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分；（5）了解积分表的使用方法。第五章 定积分（12学时）第一节 定积分的概念与性质第二节 微积分学基本公式第三节 定积分的换元法和分部积分法第四节 反常积分本章重点：定积分的概念及性质；牛顿莱布尼茨公式。本章难点：定积分的概念；积分上限函数的导数；反常积分的计算。教学要求：（1）理解定积分的概念与几何意义；（2）掌握定积分的性质；（3）掌握积分上限函数及其求导方法；（4）掌握牛顿莱布尼茨公式；（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法，并会利用换元公式证明一些简单命题；（6）了解反常积分的概念并会计算简单的反常积分。（7）略讲内容： 定积分的近似计算； 定积分的递推公式。第六章 定积分的应用（12学时）第一节 定积分的元素法第二节 定积分在几何学上的应用第三节 定积分在物理学上的应用本章重点：定积分的元素法。本章难点：元素法的实际应用方法。教学要求：（1）理解和掌握定积分的元素法；（2）能利用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积等）和一些物理量（变力做功、引力、压力等）。（3）略讲内容：函数的平均值及其应用。第七章微分方程（15学时）第一节 微分方程的基本概念第二节 可分离变量的微分方程第三节 齐次方程第四节 一阶线性微分方程第五节 可降阶的高阶微分方程第六节 高阶线性微分方程第七节 常系数齐次线性微分方程第八节 常系数非齐次线性微分方程第九节 欧拉方程第十节 微分方程的幂级数解法本章重点：微分方程的基本概念；变量可分离的微分方程及一阶线性方程的解法；可降阶的高阶微分方程的求解；二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程的解法。本章难点：线性微分方程解的性质与结构定理；二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。教学要求：（1）掌握微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特解等概念；（2）掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；（3）会用降阶法解某些简单的高阶微分方程；（4）理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。（5）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；（6）会求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解； （7）知道微分方程的幂级数解法。 （8）略讲内容：贝努里方程； 微分方程的幂级数解法。第八章空间解析几何与向量代数（12学时）第一节 向量及其线性运算第二节 数量积 向量积 混合积第三节 曲面及其方程第四节 空间曲线及其方程第五节 平面及其方程第六节 空间直线及其方程。本章重点：向量的坐标表达式；向量的数量积与向量积；两向量平行、垂直的条件；平面的点法式方程；直线的对称式方程；直线和平面的位置关系；球面方程；母线平行于坐标轴的柱面方程；旋转曲面的方程。本章难点：两向量的向量积；旋转曲面的方程；空间曲线在坐标面上的投影曲线；二次曲面的方程。教学要求(1) 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；(2) 掌握向量的线性运算、数量积和向量积，了解混合积；掌握两个向量垂直和平行的条件；(3)掌握向量的模、方向余弦与方向角；(4) 掌握平面方程和直线方程；(5) 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。(6) 会求点到直线以及点到平面的距离。(7) 理解曲面方程的概念；了解截痕法，了解常用二次曲面的方程及其图形；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；(8) 了解空间曲线的参数方程和一般方程；(9) 了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。(10) 略讲内容：平面束。第九章多元函数微分法及其应用（18学时）第一节 多元函数的基本概念第二节 偏导数第三节 全微分第四节 多元复合函数的求导法则第五节 隐函数的求导公式第六节 多元函数微分学的几何应用第七节 方向导数与梯度第八节 多元函数的极值及其求法第九节 二元函数的泰勒公式。本章重点：函数的偏导数和全微分；多元复合函数的一阶偏导数；多元函数极值和条件极值的求法。本章难点：二元函数极限与连续性的概念；偏导数与一元函数导数之间的联系与区别；复合函数偏导数的求法；二元函数最大值与最小值的求法；拉格朗日乘数法。教学要求：（1）理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。（2）了解二元函数的极限与连续性的概念，会判定二元函数在给定点处极限不存在；（3）理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求偏导数与全微分；了解全微分存在的必要条件和充分条件；（4）知道二元函数中的极限、连续、可偏导、可微分、偏导连续之间的关系；（5）掌握多元复合函数的一阶偏导数的求法，会求多元复合函数的二阶偏导数；（6）会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；（7）会求空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程；（8）理解多元函数极值和条件极值的概念；掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件；会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值；会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。（9）略讲内容： 二元函数极限的-定义； 全微分在近似计算中的应用； 隐函数的求导公式（二）； 方向导数与梯度； 二元函数的泰勒公式。第十章重积分（12学时）第一节 二重积分的概念与性质第二节 二重积分的计算方法第三节 三重积分第四节 重积分的应用本章重点：二重积分与三重积分的概念；二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；重积分的应用。本章难点：多重积分化累次积分。教学要求：（1）理解二重积分与三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理；（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；会用直角坐标与柱面坐标计算三重积分；（3）会用重积分计算一些几何量与物理量（曲面面积、质心、转动惯量、引力等）。第十一章曲线积分与曲面积分（18学时）第一节 对弧长的曲线积分第二节 对坐标的曲线积分第三节 格林公式及其应用第四节 对面积的曲面积分第五节 对坐标的曲面积分第六节 高斯公式第七节 斯托克斯公式本章重点：两类曲线积分的概念与计算；格林公式及其应用；两类曲面积分的概念与计算；高斯公式；积分思想的内涵。本章难点：第二类曲线积分与第二类曲面积分；格林公式与高斯公式。教学要求：（1）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系（2）掌握两类曲线积分的计算方法；（3）掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，求全微分的原函数；（4）了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法；（5）了解高斯公式，会用高斯公式计算曲面积分；知道斯托克斯公式。（6）略讲内容：斯托克斯公式。第十二章 无穷级数 （17学时）第一节 常数项级数的概念和性质第二节 常数项级数审敛法第三节 幂级数第四节 函数展开成幂级数第五节 函数的幂级数展开式的应用第六节 傅立叶级数（简介）本章重点：无穷级数收敛、发散以及级数的和等概念；无穷级数基本性质及收敛的必要条件；几何级数和级数的收敛性；正项级数的比较审敛法、比值审敛法与根值审敛法；交错级数的莱布尼兹审敛法；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；几个重要初等函数的麦克劳林展开式。本章难点：数项级数的概念和敛散性条件；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；幂级数的收敛域与和函数的求法。教学要求：（1）掌握常数项级数的概念、性质及收敛的必要条件；（2）掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件；（3）掌握正项级数收敛性的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法；（4）掌握交错级数的莱布尼兹审敛法；（5）掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；（6）了解函数项级数的收敛域与和函数的概念；（7）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求法；（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；（10）掌握几个重要初等函数的麦克劳林展开式，并会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数，知道函数的幂级数展开式在近似计算中的应用；（11）以周期为2的周期函数为例，了解傅里叶级数的概念与函数展开为傅里叶级数的狄利克雷收敛定理，知道函数展开为傅里叶级数的方法。（12）略讲内容： 函数的幂级数展开式的应用； 傅里叶级数成绩考核方式： 考试与测验均采用闭卷方式，；成绩采用百分制，其中期中测验、作业及平时、期末考试各部分成绩所占比例分别为10%、20%、70%。教材与参考资料：使用教材：高等数学（第六版）同济大学应用数学系主编高等教育出版社 2004年版主要参考书：微积分（第二版）同济大学应用数学系主编高等教育出版社 2006年版；应用数学基础微积分宣立新主编高等教育出版社 2004年版；-