平面向量的数量积及其应用.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用06平面向量的数量积及其应用突破点(一)平面向量的数量积1向量的夹角；2平面向量的数量积；3平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可2根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解典例(1)设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于()AB C. D.(2)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则·的值为_解析(1)a2b(1,2)2(m,1)(12m,4)，2ab2(1,2)(m,1)(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以b，所以a·b1×2×1.(2)取，为一组基底，则，··|2·|2×4×2×1×. 答案(1)D(2)易错提醒(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补(2)两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”突破点(二)平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示：模、夹角、ab|、a·b|与|a|b|的关系平面向量的垂直问题1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可2已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数例1(1)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 Bab Ca·b1 D(4ab)(2)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0 C3 D.解析(1)在ABC中，由2ab2ab，得|b|2，A错误又2a且|2，所以|a|1，所以a·b|a|b|cos 120°1，B，C错误所以(4ab)·(4ab)·b4a·b|b|24×(1)40，所以(4ab)，D正确，故选D.(2)(2a3b)c，(2a3b)·c0.a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，2a3b(2k3，6)(2k3，6)·(2,1)0，即(2k3)×260.k3.答案(1)D(2)C易错提醒x1y2x2y10与x1x2y1y20不同，前者是两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件平面向量模的相关问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2a·a|a|2； (2)|a±b|.例2(1)(2017·衡水模拟)已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为，那么|4ab|()A2 B6 C2 D12(2)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2.若平面向量b满足b·e1b·e21，则|b|_.解析(1)|4ab|216a2b28a·b16×148×1×2×cos12.|4ab|2.(2)e1·e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260°.又b·e1b·e210，b，e1b，e230°.由b·e11，得|b|e1|cos 30°1，|b|.答案(1)C(2)方法技巧求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|.(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2a·a，或|a±b|2(a±b)2a2±2a·bb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解平面向量的夹角问题求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式cosa，b求解出这两个向量夹角的余弦值第四步根据两个向量夹角的范围是0，及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角例3(1)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D(2)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.解析(1)由(ab)(3a2b)，得(ab)·(3a2b)0，即3a2a·b2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2·cos 2|b|20.cos .又0，.(2)a2(3e12e2)2942×3×2×9，b2(3e1e2)2912×3×1×8，a·b(3e12e2)·(3e1e2)929×1×1×8，cos .易错提醒(1)向量a，b的夹角为锐角a·b>0且向量a，b不共线(2)向量a，b的夹角为钝角a·b<0且向量a，b不共线突破点(三)平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.平面向量与三角函数的综合问题例1已知函数f(x)a·b，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函数yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，求边长b和c的值解(1)f(x)a·b2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)f(A)12cos1，cos1.又0<A<，故<2A，2A，即A.a，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，所以2sin B3sin C由正弦定理得2b3c，由，可得b3，c2.方法技巧平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1)向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合：此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解(2)向量的模与三角函数综合：此类题型主要是利用向量模的性质|a|2a2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解此类题型主要表现为两种形式：利用三角函数与向量的数量积直接联系；利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合平面向量与几何的综合问题例2(1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60°，E为CD的中点若·1, 则AB的长为_(2)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120°，点E，F 分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若·1，则 的值为_解析(1)设|x，x0，则·x.又·()·()1x2x1，解得x，即AB的长为.(2)由题意可得·|·|cos 120°2×2×2，在菱形ABCD中，易知，所以，··21，解得2.答案(1)(2)2方法技巧平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解 检验高考能力一、选择题1已知向量a(，1)，b(0,1)，c(k，)，若a2b与c垂直，则k()A3 B2 C1 D1解析：选A因为a2b与c垂直，所以(a2b)·c0，即a·c2b·c0，所以k20，解得k3.2在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则·()A5 B4 C3 D2解析：选A由四边形ABCD是平行四边形，知(1，2)(2,1)(3，1)，故·(2,1)·(3，1)2×31×(1)5.3若平面向量a(1,2)与b的夹角是180°，且|b|3，则b的坐标为()A(3，6) B(3,6) C(6，3) D(6,3)解析：选A由题意设ba(，2)(0)，而|b|3，则3，所以3，b(3，6)，故选A.4(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n，若n(t mn)，则实数t的值为()A4 B4 C. D解析：选Bn(t mn)，n·(t mn)0，即t m·n|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20.又4|m|3|n|，t×|n|2×|n|20，解得t4.故选B.5(2016·天津高考)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则·的值为()A B. C. D.解析：选B如图所示，.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE2EF，所以，所以.又，则· ·()·22·22·.又|1，BAC60°，故·×1×1×.故选B.6已知ABC为等边三角形，AB2，设点P，Q满足，(1)，R，若·，则()A. B. C. D.解析：选A(1)，又·，|2，A60°，·|·|cos 60°2，(1)·()，即|2(21)·(1)|2，所以42(21)4(1)，解得.二、填空题7已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若ca(a·b)·b，则|c|_.解析：由题意可得a·b2×14×(2)6，ca(a·b)·ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)，|c|8.答案：88已知向量a，b满足(2ab)·(ab)6，且|a|2，|b|1，则a与b的夹角为_解析：(2ab)·(ab)6，2a2a·bb26，又|a|2，|b|1，a·b1，cosa，b，又a，b0，a与b的夹角为.答案：9已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_解析：a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，则解得<或0<<或>，所以的取值范围是.答案：10.如图，菱形ABCD的边长为2，BAD60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为_解析：设，因为N在菱形ABCD内，所以01,01.所以··()2·2×4×2×2×445.所以0·9，所以当1时，·有最大值9，此时，N位于C点答案：9三、解答题11在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解：(1)若mn，则m·n0.由向量数量积的坐标公式得sin xcos x0，tan x1.(2)m与n的夹角为，m·n|m|n|cos1×1×，即sin xcos x，sin.又x，x，x，即x.12已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，m·nsin 2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·()18，求边c的长解：(1)m·nsin A·cos Bsin B·cos Asin(AB)，对于ABC，ABC,0C，sin(AB)sin C，m·nsin C，又m·nsin 2C，sin 2Csin C，cos C，C.(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin Csin Asin B，由正弦定理得2cab.·()18，·18，即abcos C18，ab36.由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab，c24c23×36，c236，c6.-