概率论在实际生活中的应用.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date概率论在实际生活中的应用概率论在实际生活中的应用概率论在实际生活中的应用概率统计主要是对随机现象以及统计方面的学习和研究。生活中很多事件的发生都有一定的随机性。当我们开始留意这些随机现象时，你会发现，它出现在我们生活中的方方面面。因此，学好这门学科，并将其应用到实践中必然会对我们产生巨大的帮助。关键词：概率；生活；应用 The application of probability and statistics in real life Abstract:Probability theory is the study of random phenomena and statistical rule.In all aspects we can all see the application of probability statistics.Probability and,therefore,learn to study the probability and statistics is applied to practice will produce a great help to us.Keywords:Probability;Life;Application 引言：概率论作为数学中的一门重要学科，在各个领域中都用着不同的应用。本文将从不同的方面，举出一些实例，例如保险行业盈利亏本，彩票的中奖概率，经济决策中的投资，股票买卖，抽查产品次品率，以及在军事中的着弹点问题等方面，作出一些阐述。一 概率统计在小概率事件中的应用 小概率事件是指概率很小，但有有可能发生的事件。一个事件必然发生的概率是1，一定不会发生的概率是0，那么小概率事件就是概率接近于0的事件。多小的概率值是小概率呢？这个没有具体数值，具体情况，具体分析。 1.概率统计在保险业中的应用 平时，我们也会经常看到或者听到各种保险的宣传和推销。大多数人应该不知道保险公司是如何赚钱的，下面举一个例子来解答这个疑惑。 例1，保险公司经常会推销让人们买保险，假设有2500个人买了同一家公司的同一种意外险，每一个人一年内非正常死亡的概率是0.002，每个人一年交的保险费是12元，若意外死亡，家属得保险费为3000元，那么，保险公司亏本概率是多少？ 保险公司该保险总收益为2500×12=30000元，一年内死亡人数为x，则赔付2000x元,亏本即2000x30000，x15,每个人死亡的事件是独立的，且只有两个结果，满足伯努利概型，记事件A为一个人死亡，该问题转化为，2500个事件中，A事件出现15次，以及15次以上的概率，出现一次的概率为0.002。从中可以看出，可以利用泊松定理。 代入公式即可求得P（x15）=0.0069。这个概率相当低，所以保险公司几乎是不可能赔本的。 2.概率统计在彩票中的应用 彩票现在可以说，还是很流行。我们经常会看到，听到一些彩票的信息，比如体彩、博彩、福利彩票等。我们知道，在试验次数很少时，小概率事件是近似等于不可能事件的。明明知道概率很低，但还是期待幸运之神会眷顾到自己，这就是买彩票的人的心理。这儿举一个彩票的例子。 例2，某种在全国发行的福利彩票，两元一注，如果全部号码都准确，就有几百万奖金。人们对此趋之若鹜，都想着能从此一夜暴富。但是中奖的概率到底有多大呢？人们好像并不关心。这种彩票的规则是这样的：“36选6+1”，从1，2，36个号码中随机一个一个抽出6个号码，作为基本号，从剩下的数字中抽出一个特别号。这7个数组成一注。根据中奖的号码个数来匹配相对应的中奖等级，中奖等级如下： 基本号 特别号 说明一等奖： 选7中（6+1）二等奖： 选7中（6）三等奖： 选7中（5+1）四等奖： 选7中（5）五等奖： 选7中（4+1）六等奖： 选7中（4）七等奖： 选7中（3+1）注：表示选出的基本号；表示选出的特别号；表示没有选中的号。基本规则就是这样，我们再来看看每个等级得到奖金的概率分别是多少，买一注彩票的中奖概率。基本事件数：从36个数中任取7个，不考虑顺序，共有n=C中取法。 一等奖：六个基本号和一个特别号都对应，故一等奖有利事件数k=1。因此一等奖中奖概率为 P=1.1979×二等奖：六个基本号全对应，特别号未中，二等奖有利事件数=。因此二等奖中奖概率为 P=3.4739× 三等奖：六个基本号码中5个，特别号中了，故三等奖有利事件数=。因此三等奖的中奖概率为 P=2.0843×10 四等奖：六个基本号码中5个，特别号未中，故四等奖有利事件数=。因此四等奖中奖概率为 =2.9182×10 五等奖：六个基本号码中四个，特别号中了，故五等奖有利事件数=。因此五等奖中奖概率为 =7.2954×10 六等奖：六个基本号码中四个，特别号未中，故六等奖有利事件数=。因此六等奖中奖概率为 =6.5659×10 七等奖：六个基本号码中三个，特别号中了，故七等奖有利事件数=。因此七等奖中奖概率为 =8.7545×10各个等级奖金所对应的概率如上，不难看出，中一等奖概率比保险公司赔本的概率还要低的多。下面再举一个类似的例子。例3，一种在集市上很常见的“扔飞镖扎气球”游戏，规则是这样的：有一个旋转的大圆盘，上面随机分布着20只气球，人们站在离圆盘一定距离之外，对圆盘扔飞镖，10元买5只飞镖。已知扔一次扎中气球的概率为。扔中不同的气球数可以有不同的奖励。扔中一个气球，奖励1元商品；扔中2个气球，奖励4元商品；扔中3个气球，奖励6元商品；扔中4个气球，奖励12元商品；扔中5个气球，奖励20元商品。（1） 该游戏对游戏者是否有利？说明理由。（2） 若一个人多次进行扔飞镖（没组5只），他平均获利或损失多少元？分析：只有扔中4个或者5个气球，才对游戏者有利，扔中5个气球概率为。扔中5只飞镖获利的概率为，获利（20-10）元，扔中4只飞镖获利（12-10）×5元，扔中3只飞镖获利（6-10）×10元，扔中2只飞镖获利（4-10）×10元，扔中1只飞镖获利（1-10）×5元。解：（1）P（X=5）=，P（X=4）=5，P（X=5）+P（X=4）=。（2） 平均获利的钱数为扔中气球次数概率与对应的获利数乘积10×+2×5-4×10-6×10-9×5=-元，所以平均每进行一组扔飞镖损失元。由此我们可以看出，巨大的获利背后都隐藏着一个极小的概率，人们也经常不经意间使用概率论的原理。比方说，某种猜字谜推数字的彩票，彩民们会得出一些经验，就是连续两次结果不太可能出现相同的数字。根据这一经验，下次购买时，就不需要购买同样数字的彩票。这种概率论的应用是无心的，却也在无形中说明了概率论的应用广泛。二 概率统计在经济决策中的应用在经济管理中，经营者们经常需要面对一些市场调查研究后，作出一个选择：该投资哪些项目？收益如何？这时，就必须有理智的判断和精明的抉择，而这些抉择中，都伴随着一定的风险。以最小的成本获取最大的利润，做出科学的计划书，评估各种可能所带来的风险往往需要用到概率统计的知识。数学期望，方差是其中应用较多的知识。下面我们通过例子来说明概率统计在经济决策中的应用。例4，一个公司面临两个投资项目：房地产和商业。这两个项目都和市场状态息息相关。预期把未来市场分为优、良、差不同级别，发生概率依次为0.2、0.7、0.1，市场调研后，公司认为买房地产获利X（万元）和投资商业获利Y(万元）的分布如下：X113-3P0.20.70.1Y103-2P0.20.70.1 那么该公司应投资哪个项目？解：我们先求出两个项目的数学期望，也就是平均获利 E（X）=11×0.2+3×0.7-3×0.1=4.0（万元） E（Y）=10×0.2+3×0.7-2 ×0.1=4.0（万元）从平均获利可以看出，购买房地产和投资商业获利相同，从风险方面考虑，下面我们再求出它们各自的方差D(X)=(11-4)×0.2+(3-4)×0.7+(-3-4)×0.1=15.4;D(Y)=(10-4)×0.2+(2-4)×0.7+(-2-4)×0.1=13.6；方差越大，说明获利的波动越大，风险也就越大，虽然两个项目平均获利相同，但是后者的风险明显小于前者。因此，该公司更倾向于投资风险更小的商业来保证获利的稳定性。例5，现有A、B、C三种获利是独立的证券，收益的概率依次是：0.8、0.6、0.5，（1） 两种证券至少一种获利的概率；（2） 三种证券至少有一种获利概率。解：（1）求上述问题等价于三种证券至少有两种获利=P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(BC)-2P(ABC) = P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)-2P(A)P(B)P(C) =0.8×0.6+0.8×0.5+0.6×0.5-2×0.8×0.6×0.5=0.7 （2）=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =0.8+0.6+0.5-0.8×0.6-0.8×0.5-0.6×0.5+0.8×0.6×0.5 =0.96 三，古典概型在实际生活中的应用在历史上人们最早研究的随机试验是“抛硬币，掷骰子”之类的问题。对于这类随机试验，直观上可以清楚地看到应如何用数值来度量事件出现的可能性大小，它的有关事件的概率可直接通过计算得出。我们称具有以下两个特点的随机试验E为古典概型试验（简称古典概型）：（1） 有限性：试验E的样本空间中只含有有限个基本事件；（2） 等可能性：每次试验中它的各个基本事件出现的可能性大小都相等。 对于一个古典概型，若样本空间中样本点的总数为n，事件A包含样本点个数为（也称为A的有利场合数），则事件A的概率为 P（A）= 容易验证上式满足概率的三条公理。 例6，一个包装盒中装有10个产品，其中4个优良品，6个合格品。分别按： （1）放回抽样（每次取一个，取出后就放回）； （2）不放回抽样（每次取一个，取出后不再放回）的方式随机地连续从袋中取3个产品。试求事件A=“3个都是合格品”和事件B=“2个优良品和一个合格品”的概率。解 （1）放回抽样（重复抽样）由于每次取出的小球看过后再放回盒子中，所以每次都是10个产品中抽取，样本空间的基本事件即为从10个产品中每次取一个连取3次的所有可能取法，有=1000个，即样本空间的基本事件总数n=1000.而A中含有的基本事件数即是每次从6个合格品中取出一个，连取3次的不同取法数即为=216.因此 P（A）=0.216.而B中含有的样本点数即是3次抽取中有有两次取的是优良品，1次取的是合格品的不同取法数，于是=××6 ，所以有 P(B)=0.288 （2）不放回抽样（无放回抽样）由于每次取出产品看过质量后不再放回，所以第1次有10个产品可取，任取一个有10种可能取法，而第2次只能从剩下的9个产品中抽取，有9种不同取法，同理可知，第3次只有8种取法。因此，样本空间中的基本事件总数n=10×9×8.同样的分析可知，事件A所含的基本事件数=P=6×5×4，事件B所含的基本事件数为=3×4×3×6.所以有 P（A）=0.167 P（B）=0.3四概率统计在军事方面的应用 在军事中，最典型的是弹着点分析。弹道模拟分析，军事演习推演分析等。我未来高科技战争需要大量的数学模型为基础。 例7，设每门大炮射击飞机命中的概率为0.004，250门大炮同时独立地射击时，求：（1） 飞机被击中的概率；（2） 若以0.99的概率击中飞机，则所需的大炮门数是多少？ 解 令A=“第i门大炮击中飞机”（i=1，2，n），则由题意可知：，相互独立，且P（）=0.004（i=1，2，n）。 （1）令A=“飞机被击中”，则 A= P（A）=P（） =1-P（ ） =1-P(）P(）P(） =1-（1-0.004） 1-0.37 =0.63 （2）设击中飞机所需的大炮门数为n，则由（1）及题设可得 1-（1-0.004）0.99即 0.9960.01故 n 1150即至少需要1150门大炮才能保证以0.99的概率击中飞机。 结束语 上面只是列举了概率在实际生活问题中应用的几个小片段，其实，在我们的生活中随处可以看见概率论的影子。概率论方面的知识对我们的生活是非常有指导意义的，使我们保持清醒的头脑，做出更理智的选择以减少不必要的损失。从学术角度讲，概率论作为一门独立的学科，它的足迹可以说已经深入到每一个领域，在实际问题中的应用随处可见。虽然在现实生活中我们不能准确预测未来或一些尚未发生的事件，但概率论的应用有利于更好地处理不确定因素。总之，在日常生活和工作中，都应该脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。随机现象在现实世界中大量存在，概率的世界必将会越来越广阔 。参考文献1郭运瑞，谭德俊。概率论与数理统计 M.北京：人民出版社2茆诗松，周纪芗。概率论与数理统计M.北京：中国统计出版社3杨忠连，等.小概率原理在日常生活中的应用J,科技信息4李贤平.概率论基础M.高等教育出版社5魏宗舒.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社 -