梯形蝴蝶定理.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理如上图，在梯形中，存在以下关系：1. 相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b22. S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab3. S3=S44. S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)5. AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)【例】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？【解】如图，由梯形蝴蝶定理可得BEF面积等于6，而ABF的面积为6×6÷4=9因为BCD面积等于ABD，所以BCE面积为9+6-6-4=5因此所求四边形面积为5+6=11。蝴蝶定理的证明：右上角为A，左下角为BS1和S2的的三角形是相似的（AAA）所以面积比=边长比的平方即a²：b²设梯形高为h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2。所以S3=S4设S3+S1的三角形的AB上的高为h1，可知S3:S1=OB:OA因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=OB:OA=b：a所以S1S2S3S4= a2b2abab  射影定理公式: 如图，RtABC中，ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)2=AD·DC， （2）(AB)2=AD·AC ， （3）(BC)2=CD·CA 。等积式 （4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）直角三角形射影定理的证明射影定理简图(几何画板)：（主要是从三角形的相似比推算来的）证法一在BAD与BCD中，ABD+CBD=90°，且CBD+C=90°，ABD=C，又BDA=BDC=90°BADCBD AD/BD=BD/CD即BD2=AD·DC。其余同理可得可证注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。有射影定理如下：AB2=AD·AC，BC2=CD·CA两式相加得：AB2+BC2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC2 .即AB2+BC2=AC2（勾股定理结论）。证法二已知:三角形中角A=90度，AD是高.用勾股证射影AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，2AD2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.故AD2=BD×CD.运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC， AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。-