近世代数 2.11同态与不变子群.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date近世代数 2.11同态与不变子群近世代数 2.11同态与不变子群§11 同 态 与 不 变 子 群一、同态基本定理定理1 设G是一个群, NG, 则f : a aN (aG)是G到G/N的同态满射(称 f 为自然同态). 因此G G/N.定义1 设 f 是群G到的同态满射, 的单位元在 f 之下的所有逆像作成的G的子集叫做同态满射 f 的核, 记为Kerf . Kerf = aG |f (a) =. 推论 若N是群G的不变子群, f 为G到商群G/N的自然同态, 则N = Kerf.定理2(群同态基本定理) 设 f 是群G到群的同态满射, N = Kerf , 则NG, 且G/N. 令.则是G/N与间的一个同构映射.aN = bNb-1aNf (b-1a) =f (b)-1f (a) =f (a) =f (b) ( ( aN ) = ( bN )例1 设G, 分别是阶为m, n的有限群, 且G , 证明 n|m .二、子群的同态像定义2 设 f 是集合A到的一个满射.如果SA, 则称为S在 f 之下的像. 如果, 则称为在 f 之下的逆像(原像).Kerf = aG | f (a) = = f -1() 定理4 设群G与同态, 那么在同态满射f 之下,(i) G的子群H的像是的子群;(ii) G的不变子群N的像是的不变子群.定理5 设群G与同态, 那么在同态满射f 之下,(i) 的子群的逆像 G .(ii) 的不变子群的逆像G .三、同构定理介绍定理6 (第一同构定理) 设群G, , 则NG, 且证 记 令则是G到的一个满射, 且故是G到的同态满射.根据同态基本定理, 命题得证 .定理7(第二同构定理) 设HG，KG, 则HKH, 且HK / KH / HK.推论 设H, K是G的两个不变子群, 且KH, 则H/KG/K, 且G/H(G/K) / ( H/K).-