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Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高数第一章复习资料高数第一章复习资料第一章 预备知识一、 定义域1. 已知 的定义域为 ，求 的定义域。答案：2. 求 的连续区间。提示：任何初等函数在定义域范围内都是连续的。答案： 二、 判断两个函数是否相同？1. ， 是否表示同一函数？答案：否2. 下列各题中， 和 是否相同？答案：都不相同 三、 奇偶性1. 判断 的奇偶性。答案：奇函数四、 有界性 ，使 ，则 在 上有界。有界函数既有上界，又有下界。1. 在 内是否有界？答案：无界2. 是否有界？答案：有界，因为 五、 周期性1. 下列哪个不是周期函数（C）。A B C D 注意： 是周期函数，但它没有最小正周期。六、 复合函数1. 已知 ，求例：已知 ，求 解1：解2：令 ， ， ，2. 设 ，求 提示： 3. 设 ，求 提示：先求出 4. 设 ，求 提示：七、 函数图形熟记 的函数图形。第二章 极限与连续八、 重要概念1. 收敛数列必有界。2. 有界数列不一定收敛。3. 无界数列必发散。4. 单调有界数列极限一定存在。5. 极限存在的充要条件是左、右极限存在并且相等。九、 无穷小的比较1. 时，下列哪个与 是等价无穷小（A）。A B C D 十、 求极限1. 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。 ， ， ， ， 2. 自变量趋于无穷大，分子、分母为多项式例如： 提示：分子、分母同除未知量的最高次幂。3. 出现根号，首先想到有理化 补充练习：（1） （2） （3） （4） （5） 4. 出现三角函数、反三角函数，首先想到第一个重要极限例： 作业：P497 （1）（3）5. 出现指数函数、对数函数、幂指函数，首先想到第二个重要极限例： 作业：P497 （4）（6）6. 、 、 、 、 、 、 ，可以使用洛必达法则作业：P995 （1）（8）7. 分子或分母出现变上限函数提示：洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数例： 补充练习：（1） （2） （3） （4） 十一、 连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都是连续的。分段函数可能的间断点是区间的分界点。若 ，则 在 处连续，否则间断。第一类间断点：左、右极限都存在的间断点，进一步还可细分为可去间断点和跳跃间断点。第二类间断点：不属于第一类的间断点，进一步还可细分为无穷间断点和振荡间断点。1. 设在 处连续，求 解： 在 处连续， 2. 作业：P494、10P5011、123. 补充练习：（1）研究函数的连续性： ， （2）确定常数 ，使下列函数连续： ， ， （3）求下列函数的间断点并确定其所属类型： 十二、 闭区间上连续函数的性质零点定理： 在 上连续，且 ，则在 内至少存在一点 ，使得 1. 补充练习：（1）证明方程 至少有一个不超过3的正实根。（2）证明方程 在 内至少有一个实根。（3）证明方程 在 内至少有一个实根。（4）证明方程 至少有一个小于1的正根。第三章 导数与微分十三、 重要概念1. 可导必连续，但连续不一定可导。2. 可导必可微，可微必可导。3. 函数在 处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等。十四、 导数的定义作业：P75 2十五、 对于分段函数，讨论分界点是否可导？例： 在 处，连续但不可导1. 作业：P754、52. 讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数 答案：在 处连续、不可导 答案：在 处连续、不可导 答案：在 处不连续、不可导3. 设 ，为使 在 处连续且可导， 应取什么值？答案： 十六、 求导数1. 求函数的导数，特别是复合函数的导数作业：P756、102. 利用对数求导法求导数作业：P76133. 求隐函数的导数作业：P76124. 求由参数方程所确定的函数的导数作业：P76145. 求高阶导数作业：P75116. 求切线方程、法线方程利用导数求出切线的斜率 ，则法线的斜率为 例：求曲线 在 处的切线方程。解： 切线斜率 ，切线经过点 切线方程： 作业：P7537. 求变上限函数的导数作业：P1564十七、 求微分 1. ， 2. ，求 解：作业：P7615十八、 利用微分进行近似计算公式： 作业：P7616第四章 中值定理与导数的应用十九、 利用拉格朗日中值定理证明不等式定理：设 在 上连续，在 内可导，则在 内至少存在一点 ，使得 证明步骤：（1）根据待证的不等式设函数 （2）叙述函数 满足定理条件 （3）根据定理证明出不等式。1. 作业：P9942. 补充练习：证明下列不等式：（1）当 时， （2） （3）当 时， 二十、 单调性与极值1. 单调性：（1）确定单调区间可能的分界点（驻点与导数不存在的点） （2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论 在各子区间上的符号，从而确定单调性与单调区间作业：P9962. 极值：（1）确定可能的极值点（驻点与导数不存在的点） （2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论 在各子区间上的符号，从而确定单调性与极值例：确定 的单调区间及极值点作业：P1009二十一、 求闭区间上连续函数的最值步骤：（1）求出所有可能的极值点 （2）计算各可能极值点的函数值以及区间端点的函数值 （3）上述各值中最大的为max，最小的为min作业：P10010 （1）二十二、 最值的应用问题步骤：（1）写出目标函数 （2）求出可能的极值点 （应用问题只有一个可能的极值点） （3）分析是最大值问题还是最小值问题。如果是最大值问题，则写出 ，并且最大值 ；如果是最小值问题，则写出 ，并且最小值作业：P10013补充作业：从斜边长 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。第五章 不定积分二十三、 换元法、分部积分法求不定积分1. 换元法例： 解1（第一类换元）：解2（第二类换元）：作业：P1256P12672. 分部积分法例： 作业：P1268第六章 定积分及其应用二十四、 利用P132推论3估计积分值：作业：P1562二十五、 证明题（1）设 ，证明： （2）设 ，证明：证（1）：证（2）：二十六、 计算定积分例： 作业：P1575、8、10二十七、 广义积分例： 作业：P15817二十八、 求平面图形的面积，求旋转体的体积例：求平面上曲线 以及 所围图形的面积，并求该图形绕 轴旋转一周所成旋转体的体积。作业：P15711P15813-