第3章 工程随机数学基础习题_答案.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第3章 工程随机数学基础习题_答案第3章 工程随机数学基础习题_答案第3章 多维随机变量及其分布习题 31设二维随机变量只能取下列数组中的值： (0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，(2，0)。且取这些组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，求表示这二维随机变量的联合分布律的矩形表格。解： 0-1201/605/12101/301/301/1202一口袋中装有三个球，它们依次标有数字1，2，2。从这袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同。以分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求的联合分布律。解：12101/321/31/33一整数n等可能地在1，2，3，10十个值中取一个值，设是能整除n的正整数的个数，是能整除n的素数的个数(注意：1不是素数)，试写出和联合分布律。解：依题意有：n12345678910x(n)1223242434h(n)0111121112 因此x=1，2，3，4；h=0，1，2。由此易求得x和h联合分布律为： h (n) x (n)123401/10000104/102/101/1020002/104设随机变量的联合概率密度为 (1)确定常数k； (2)求；(3)求； (4)求。(1) 由概率密度的性质知： ,即 8k=1 k=1/8;(2) (3) ;(4)。5设二维随机变量(x，h)的联合分布函数为： 试求(1)联合概率密度；(2)。解：（1） （2）6已知在有一级品2件，二级品5件，次品1件的口袋中，任取其中的3件，用表示所含的一级品件数，表示二级品件数。试求：(1) 的联合分布律；(2) 关于和关于的边缘分布律；(3) 。解：(1)按古典概型计算，从8件中取3件，共有种取法。在取出的三件中，一级品有i件，二级品有j件，剩下3-i-j件为次品，且其不超过1件。有所以得联合分布律如下：0120001/56105/285/5625/285/14035/2800(2)关于的边缘分布律：012P5/1415/283/28关于的边缘分布律0123P1/5615/5615/565/28(3)Px<1.5，h<2.5= Px=0，h=0+ Px=1，h=0+ Px=0，h=1+ Px=1，h=1+ Px=0，h=2+Px=1，h=2=40/56Px2=1，Ph<0=0。7已知二维随机变量的联合概率密度为 试确定待定系数c，并求关于的边缘概率密度。解：（1） 根据解得c=（2） 关于的边缘概率密度，有 同理8设二维随机变量在区域G上服从均匀分布，其中试求的联合概率密度及和的边缘概率密度。解： 为区域G的面积故9已知服从参数的(0-1)分布，且在及下，关于的条件分布分别如下表表示： 1 2 3 1 2 3 1/4 1/2 1/4 1/2 1/6 1/3求二维随机变量的联合概率分布，以及在时关于的条件分布。解：因服从参数的(0-1)分布，有B（1，0.6）知易知，x取1，2，3有则二维随机变量（，）的联合概率为： 0111/103/1021/51/1031/101/5在1时， 0121/31/631/61/310在第2题中的两个随机变量与是否独立？当时，的条件分布是什么？解：重写联合分布律如下： 12101/31/321/31/32/31/32/31因，和并不独立=1时，条件分布如下：12P0111设二维随机变量的联合概率密度为试求 (1)条件概率密度； (2)。解：（1）由为在条件下，的条件概率密度，则先求出为：当时当y<0时 可知（3） 因有 从而得：12设随机变量的概率密度为求条件概率密度。 解： 当0<x<1时 当-1<y<1时 。13已知相互独立的随机变量的分布律为：010123p0.70.3p0.40.20.10.3试求：(1)的联合分布律； (2) 的分布律。 解：（1）对=0,1，=0,1,2,3 0100.280.1210.140.0620.070.0330.210.09有：（2）的可能取值有0,1,2,3,4，概率如下： 分布律如下： 01234p0.280.260.130.240.0914设和是两个独立的随机变量，在0，1上服从均匀分布， 的概率密度为 (1)求和的联合概率密度； (2)设含有a的二次方程为试求a有实根的概率。 解：（1）因X的概率密度为 且X和Y相互独立，故（X，Y）的概率密度为 （2）a的二次方程有实根的充要条件为判别式为亦即 而 其中G由曲线所围成（如图3-1），即有 15设的联合概率密度为，(1)求待定系数k；(2)求关于和关于的边缘概率密度；(3)判定的独立性 。解：(1)因为 ，故有 ；因此。（2）和关于的边缘概率密度计算如下：，类似地，可求得 （3）因为 ，故x与h相互独立。16设二维随机变量的联合分布律为： -2-10-11/121/123/121/22/121/12032/1202/12试求(1) ；(2) ；(3) 的分布律。解：（1）的取值有-3，-2，-1，1，2，3. 设 =k. 同理易得k取其他值时的概率，的分布律如下： -3-2-1123p00 （2）的取值有 与（1）同理，得得分布律： -101345P00 (3)的取值有 与(1) (2)同理，易知的分布律：-3-2567p0017已知，与独立。试确定a，b的值；并求出的联合分布律以及的分布律。 解：（1）易知 （2）相互独立的随机变量与的分布律为：123P -1-2-3P 设 因独立易知 求出的联合分律如下：123-1-2-3 （3）的取值有-2，-1,0,1,2 设k=，有： 的分布律如下： -2-1012P18已知二维随机变量的联合概率密度为 试求待定系数A；（其中）。解： =当z>0时 19设与是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为： 试求 的概率密度。解：利用公式 按函数的定义知，仅当 即 时，上述积分的被积函数才不等于0，如图3-2知 即有 若利用公式 知仅当 时，上述积分的被积函数才不等于0，如图知 即有 20设的联合概率密度为试求的概率密度。解： 当时，显然,对z求导，得的概率密度： 21设某种型号的电子管寿命(以小时计)近似地服从分布。随机地抽取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率 。 解：以记所选取的第只元件的寿命，有题设一只元件寿命小于180小时的概率为 =可认为相互独立，故选取的四个元件没有一只寿命小于180小时的概率为 22对某种电子装置的输出测量了5次，得到的观察值。设它们是相互独立的随机变量且都服从参数的瑞利(Rayleigh)分布，即概率密度为： 的分布。(1)求的分布函数；(2)求的分布函数；(3)计算。解：（1）(2)=(3) 23设二维随机变量在G上服从均匀分布，其中 试求的联合分布函数。解：因在G上服从均匀分布，其概率密度可知为：其中为G的面积=故故 (1)当x1,y0时，有f(x, y)=0,因此 F(x, y)=0；(2)当-1/2x0，0<y2x+1时，有 ；(3)当-1/2<x0, y>2x+1时，有 ；类似可求得：当x>0, 0<y1时，有F(x, y)=2y-y2；当x>0, y>1时，有F(x, y)=1.综上所述，-