线性代数(大连理工版)第三章习题答案.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date线性代数(大连理工版)第三章习题答案思考题3-1思考题3-11.对.理由：由可知，和都是方阵，进一步可知，和都是的逆矩阵，又因为逆矩阵是唯一的，所以.2.对.理由：因为可逆，所以在的两边同时左乘，可得.3.错.错的原因是：AX=YA中左右两边的位置不同.4.错. 改为.5.错.反例，设，则AB可逆，但A和B都不可逆。若增加条件为方阵，则结论正确。6. 错.反例，设，则可逆，但不可逆.。若增加条件为方阵，则结论正确。7.对。，也是对称矩阵.8.错。反例，设，则，但.9.对。用反证法可以证明。证：若的个元素的余子阵都是奇异矩阵，则的所有元素的代数余子式都为0.将的行列式按第一行展开，可知，这与A是非奇异矩阵矛盾，所以的个元素中至少有一个元素的余子阵是非奇异矩阵.10.对。注：讨论矩阵相乘可交换的问题时，一般要用到.11. BAC=E不正确，BCA=E正确。理由：由为方阵及ABC=E可知，可逆，其逆矩阵为BC，所以BCA=E.同理可证.但得不出BAC=E.12.对。矩阵的奇异性由是否等于0决定，对三种初等变换分别讨论可知结论正确。 习题3-1 1. 或2.3.注： (1) 4.注：该题印刷有误，改为求解：由，得 5.（1）证： 可逆，且（2）证：反证法。设则可逆。由，得 消去，得这与矛盾，所以（3）证法1：反证法。设A和B中有一个可逆，不妨设A可逆，由AB=O消去A，得B=O，这与B是非零的n阶方阵矛盾，所以A和B都不可逆. 证法2：由AB=O及B是非零的n阶方阵可知，方程组有非零解，所以，A不可逆。将AB=O转置，得。同理可证，B不可逆(4)证：由，得.由A可逆，得所以，因而 和都可逆.进一步由和可逆可知，可逆.（5）证：由，得所以可逆， （6）证：由可逆且得.将上式转置，得所以可逆且.（7）证：.由和可逆可知，和可逆.因为A+B也可逆，所以可逆，即可逆.（8）证：可逆，.（9）证：结论正确。（10）证： .（11）注：在本题中，没告诉可逆。证：记 因为 ，所以即.（12）证：结论正确。6. 证：（1）在的两边左乘右乘，得 ， 即 （2）由，得所以和都可逆，且（3）由及得 即 . 注：研究矩阵可交换的问题，一般要通过来完成。7.（1）； （2）.8. 9.（1）解：， . （2）解：由已知，得，10.（1）证：设A和B的阶数分别为m和n. （2）证：由A和B都可逆知，可逆。（3）证：归纳法.只对上三角形可逆矩阵进行证明，下三角形可逆矩阵的证明类似. 设为阶上三角形可逆矩阵. 当时，为上三角形矩阵，结论成立. 假设结论对于阶上三角形可逆矩阵成立，下面我们对阶上三角形可逆矩阵加以证明. 将分块为其中为的左上角阶子矩阵，.由可逆知，也可逆，由归纳法假设可知，为上三角形矩阵.因为所以为上三角形矩阵，结论正确.提高题 3-11. 解：由得或 由及，得. 因为所以中至少有一行不全为0，2. 证：由已知，得由可逆可知，也可逆. , 所以对调第1列与第2列得3. 解：由已知，得. 4. 证：因为 ， 所以可逆，且5. 证：因为 ， 所以可逆，并且6. 证法1：由，得.因为，所以方程组有非零解。进一步可知不可逆。证法2：反证法.设可逆.通过计算，得 ，由消去，得，这与已知矛盾，所以不可逆。7. 证法1：由，得因为，所以和当中有一个为1，另一个为，又因为，所以，不可逆。 证法2：由，得因为，所以和当中有一个为1，另一个为，又因为，所以，不可逆。习题3-21.（1）当或时，有非零解；当且时，只有零解. （2）当或时，有非零解；当且时，只有零解.2.解法1： 所以解法2：解法3： 3.证：必要性. 由知，方程组有非零解，设为方程组的非零解. 令，则且 充分性. 将中的和按列分块，得 ， 这说明的每一列都是方程组的解。因为所以方程组有非零解，因而.-