高考数学中的恒成立问题与存在性问题.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高考数学中的恒成立问题与存在性问题高考数学中的恒成立问题与存在性问题“恒成立问题”的解法常用方法：函数性质法； 主参换位法； 分离参数法； 数形结合法。一、函数性质法nmoxynmoxy1.一次函数型：给定一次函数,若在m,n内恒有，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于；同理，若在m,n内恒有，则有.例1.对满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围。略解：不等式即为,设,则在上恒大于0，故有：，即.2.二次函数：.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。例2.已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ )A(0，2) B(0，8) C(2，8) D(，0)选B。例3.设,当时，都有恒成立，求的取值范围。解：设，（1)当时，即时，对一切，恒成立；-1oxy（2）当时，由图可得以下充要条件： 即 ; 综合得的取值范围为-3，1。例4.关于的方程恒有解，求的范围。解法：设,则.则原方程有解即方程有正根。.3.其它函数：恒成立（若的最小值不存在，则恒成立的下界0）；恒成立（若的最大值不存在，则恒成立的上界0）.例5设函数，其中常数， （1）讨论的单调性；（2）若当时，恒成立，求的取值范围。 解：（2）由（I）知，当时，在或处取得最小值。；则由题意得 即 。二、主参换位法：某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例6已知函数，其中为实数（1）已知函数在处取得极值，求的值；（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围解：由题设知“对都成立，即对都成立。设（），则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。 所以对，恒成立的充分必要条件是，于是的取值范围是。三、分离参数法：利用分离参数法来确定不等式（,为实参数）恒成立时参数的取值范围的基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2） 求在上的最大（或最小）值；（3） 解不等式(或) ，求得的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例7当时，恒成立，则的取值范围是 .解: 当时，由得.令，则易知在 上是减函数，所以，所以，.例8.已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围。解：原不等式即为：，要使上式恒成立，只需-a+5大于的最大值，因为，即或，解得a<8.O四、数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）：若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例9若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）(A) (B) (C) （D） 选B。例10.当)时， 恒成立，求a的取值范围。答案：.xyo12y1=(x-1)2y2=logax例11.已知关于x的方程有唯一解，求实数 的取值范围。解：原问题即为：方程有唯一解。令，,则如图所示，要使和在轴上有 唯一交点，则直线必须位于和之间。（包括但不包括)。当直线为时，;当直线为时，的范围为。另解：方程在方程上有唯一解有唯一解。五。根据函数的奇偶性、周期性等性质：函数是奇偶性、单调性、周期性都在给定区间上恒成立。例12.若为偶函数，求的值。解：由题得：对一切恒成立， 对一切xR恒成立，只需也必须.（)-