高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全).doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全)高中三角函数公式大全必修四常考公式及高频考点第一部分 三角函数与三角恒等变换考点一 角的表示方法1.终边相同角的表示方法：所有与角a终边相同的角，连同角a在内可以构成一个集合：|= k·360 °+,kZ 2.象限角的表示方法：第一象限角的集合为| k·360 °<<k·360 °+90 °,kZ 第二象限角的集合为| k·360 °+90 °<<k·360 °+180 °,kZ 第三象限角的集合为| k·360 °+180 °<<k·360 °+270 °,kZ 第四象限角的集合为| k·360 °+270 °<<k·360 °+360 °,kZ 3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：（1）若所求角的终边在某条射线上，其集合表示形式为|= k·360 °+,kZ ,其中为射线与x轴非负半轴形成的夹角（2）若所求角的终边在某条直线上，其集合表示形式为|= k·180 °+,kZ ,其中为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角（3）若所求角的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为|= k·90 °+,kZ ,其中为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角例：终边在y轴非正半轴上的角的集合为|= k·360 °+270 °,kZ 终边在第二、第四象限角平分线上的集合为|= k·180 °+135 °,kZ 终边在四个象限角平分线上的角的集合为|= k·90 °+45 °,kZ 易错提醒：区别锐角、小于90度的角、第一象限角、090、小于180度的角考点二 弧度制有关概念与公式1.弧度制与角度制互化，1弧度2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）弧长公式：, 其中为弧所对圆心角的弧度数扇形面积公式：= R2|, 其中为弧所对圆心角的弧度数易错提醒：利用S= R2|求解扇形面积公式时，为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧考点三 任意角的三角函数1.任意角的三角函数定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么，（）；化简为.2.三角函数值符号 规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号.3.特殊角三角函数值 除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值4.三角函数线yOxyOxa终边 yOxyOxPMATPMAT正弦线余弦线正切线PPMATPMATa终边 a终边 a终边 经典结论：(1)若，则(2)若，则(3)例：在单位圆中分别画出满足sin、cos、tan1的角的终边，并求角的取值集合考点四 三角函数图像与性质函数性质 图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴考点五 正弦型（y=Asin(x)）、余弦型函数（y=Acos(x)）、正切性函数（y=Atan(x)）图像与性质1.解析式求法（1）yAsin(x)B 或y=Acos(x)B解析式确定方法字母确定途径说明A由最值确定AB由最值确定B由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期由图象上的特殊点确定可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定A、B通过图像易求，重点讲解、求解思路：求解思路：代入图像的确定点的坐标.如带入最高点或最低点坐标，则或，求值易错提醒：y=Asin(x)，当>0，且x=0时的相位（x+=）称为初相.如果不满足>0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系，解.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一.2.“一图、两域、四性”“一图”：学好三角函数，图像是关键。易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x，不可针对-x或2x等.例：“两域”：(1) 定义域求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解.(2) 值域(最值)：a.直接法（有界法）：利用sinx，cosx的值域.b.化一法：化为y=Asin(x+)+k的形式逐步分析x+的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).c.换元法：把sinx或cosx看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题. 例：1.y=asinx2+bsinx+c2.y=asinx2+bsinxcosx+ccosx23.y=(asinx+c)/(bcosx+d)4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c“四性”：(1)单调性 函数y=Asin(x+)(A>0, >0)图象的单调递增区间由2k-<x+<2k，kZ解得, 单调递减区间由2k+<x+<2 k1.5，kZ解得;函数y=Acos(x+)(A>0, >0)图象的单调递增区间由2k+<x+<2k2,kZ解得, 单调递减区间由2k<x+<2 k，kZ解得;函数y=Atan(x+)(A>0, >0)图象的单调递增区间由k-<x+<k，kZ解得,. 规律总结：注意、A为负数时的处理技巧(2)对称性函数y=Asin(x+)的图象的对称轴由x+= k(kZ)解得,对称中心的横坐标由x+= k(kZ)解得;函数y=Acos(x+)的图象的对称轴由x+= k(kZ)解得,对称中心的横坐标由x+=k(kZ) 解得;函数y=Atan(x+)的图象的对称中心由x+= k(kZ)解得. 规律总结：可以是单个角或多个角的代数式.无需区分、A符号.(3)奇偶性函数yAsin(x)，xR是奇函数k(kZ)，函数yAsin(x)，xR是偶函数k(kZ)；函数yAcos(x)，xR是奇函数k(kZ)；函数yAcos(x)，xR是偶函数k(kZ)；函数yAtan(x)，xR是奇函数(kZ)规律总结：可以是单个角或多个角的代数式.无需区分、A符号. (4)周期性函数yAsin(x)或yAcos(x)的最小正周期T，yAtan(x) 的最小正周期T.考点六 常见公式常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用1.同角三角函数的基本关系；=2.三角函数化简思路：“去负、脱周、化锐”（1）去负，即负角化正角：sin(-a)=-sina； cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；（2）脱周，即将不在（0,2）的角化为（0,2）的角：sin(2k+a)=sina； cos(2k+a)=cosa；tan(2k+a)=-tana；（3）化锐，即将在（0,2）的角化为锐角：6组诱导公式，口诀：奇变偶不变，符号看象限. 均化为“k/2±a”,做到“两观察、一变”。一观察：k是奇数还是偶数；二观察：k/2±a终边所在象限，再由k/2±a终边所在象限，确定原函数对应函数值的正负.一变：正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换. 其中公式（1）也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式（3）也可按照函数奇偶性理解3.两角和差公式；, 4.二倍角公式；，二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式，当=时的特殊情况倍角是相对的，如0.5是0.25的倍角，3是1.5的倍角5.升降幂公式（升幂缩角）.（降幂扩角），6.辅助角公式=(辅助角所在象限由点的象限决定, ，- <<).7.半角公式sin=±；cos=± tan=；tan=8.其它公式1+sin a =(sin+cos)2；1-sin a = (sin-cos)29.万能公式sin a=；cos a=；tan a=10.和差化积 sin a+sin b=2sincos；sin a-sin b = 2cossincos a+cos b = 2coscos；cos a-cos b = -2sinsintan a+tan b =11.积化和差 sinAsinB =-cos(A+B)-cos(A-B)；cosAcosB =cos(A+B)+cos(A-B)sinAcosB =sin(A+B)+sin(A-B)；cosAsinB =sin(A+B)-sin(A-B)12.三倍角公式；13.常见计算技巧（1）简单的三角方程的通解.特别地,有.（2）最简单的三角不等式及其解集.例：已知sin>、cos>、tan>1、sin<- 、cos<- 、tan<1,分别求出的取值范围14.三角形中三角函数关系在ABC中，有.；tan(A+B)=-tanC;等15.三角函数化简的常用技巧1.三角函数化简要做到“四看、四变”(1)看角、做好角的变换：观察角与角之间和、差、倍、互补、互余等关系，采取诱导公式、两角和差公式、倍角公式、拼凑角等办法化简.(2)看名、做好名的变换：利用同角三角函数基本关系实现弦切互化，掌握弦的一次齐次式或二次齐次式化简方法(3)看次数、做好次数的变换：利用升降幂公式实现扩角降次、缩角升次(4)看形、做好形的变换：利用辅助角公式，统一函数形式2.具体技巧(1)遇分式通分、遇根式升幂.(2)和积转换法掌握sin ±cos ，sin cos 化简方法，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，“知一求二”(3)巧用“1”的变换1sin2cos2tan450sincos 0.3.四种常见题型给角求值、给值求值、给值求角，辅助角公式若角的范围在（0,90），选择正弦、余弦函数均可；若角的范围在（0,180），选择余弦函数较好；若角的范围在（-90,90），选择正弦函数较好；第二部分 平面向量考点一 向量的有关概念1.向量：既有大小又有方向的量，用黑体小写字母或用起点终点的大写字母表示2.向量的模：有向线段的长度，|a|3.单位向量：模为1的向量.与a平行的单位向量：±a/|a|；与a同向的单位向量：a/|a|；单位向量有无数个4.零向量：模为0的向量，方向是任意的.注意实数0与向量0的区别5.相等向量：长度相等、方向相同.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移6.相反向量：长度相等、方向相反.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移7.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，对长度不作要求易错提醒：1.有向线段与向量的区别：向量可用有向线段来表示，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段. 向量只有两要素:方向和大小;而有向线段有三要素:起点、方向和大小2.共线向量（平行向量）可重合，注意与直线平行的区别；不要单纯从字面上理解共线向量，注意与直线重合的区别3.规定零向量与任意向量平行；不可说零向量与任意向量垂直4.零向量与单位向量的特殊性：长度确定、方向任意.a/b, b/ c,不一定推出a/c; a=b, b= c,一定推出a=c6.向量不可以比较大小，如不能得出3i>2i考点二 向量的线性运算1.向量的加法法则（1）平行四边形法则：共起点，指向对角线；起点相同、终点相同，首尾相连、路径不限（2）三角形法则：首尾相连，可理解为“条条大路通罗马”2. 向量的减法原则：起点相同、指向被减 (a+b)= OC , (a-b)= BA两个向量共线只可用三角形法则；封闭图形、首尾相连、相加为零3.向量的数乘运算实数与向量的积叫做向量的数乘，记作其几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩（1）（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，4.a与b的数量积运算a·b=|a|b|cos=|a|b|cos<a,b>=x1x2+y1y2（1）|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影（2）a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积（3）为a与b的夹角，0（4）零向量与任一向量的数量积为（5）a·b=-b·a（6）向量没有除法，“a/b”没有意义,注意与复数运算的区别（7）向量的加法、减法、数乘结果为向量，向量的数量积结果为实数易错提醒：向量的数量积与实数运算的区别：（1）向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)（2）向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c（3）由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b（4）|ab|a|b|考点三 向量的运算律1.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.2.向量的数量积的运算律：(1) a·b= b·a （交换律）;(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.考点四 向量的坐标表示及坐标运算1.平面向量基本定理  如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2不共线的向量（隐含另一条件为非零向量，基底不唯一）e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底该定理作用：证明三点共线、两直线平行或两个向量a、b共线.解题思路：可用两个不共线的向量e1、e2表示向量a、b，设b=a（a0），化成关于e1、e 2的方程，即f() e1+g() e2=0,由于e1、e 2不共线，则f()=0，g() =02.向量的坐标表示表示(1)设a=,b=，则a+b=(2)设a=,b=，则a-b= (3)设(4)设a=,b=，则a·b=|a|b|cos=xx2+y1y2（5）设A，B,则（6）易错提醒：公式（2）与公式（5）的区别向量坐标与该向量有向线段的端点无关，仅与其相对位置有关考点四 向量的常见公式1.线段的定比分公式 （1）定比分点向量公式：设，是线段的分点,是实数，且，则的坐标是，即（）.（2）定比分点坐标公式：，2.三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.（5）为的的旁心.3. A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点共线OC=OA +OB ,且+=1 (x1-x2)(y2-y3)= (x2-x3) (y1-y2)等4. 向量的三角形不等式和方程（1）a-ba+ba+b  当且仅当a、b反向时，左边取等号； 当且仅当a、b同向时，右边取等号（2）a-ba-ba+b  当且仅当a、b同向时，左边取等号； 当且仅当a、b反向时，右边取等号记忆规律：（1）与（2）的几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（3）a+b2+a-b2=2（a2+b2），该式几何意义为平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和（4）a·b>0推不出a与b的夹角为锐角，可能为0；a·b<0推不出a与b的夹角为钝角，可能为1805.点的平移公式 .注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.6.“按向量平移”的几个结论(1)点按向量a=平移后得到点.(2)函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.(3)图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.(5)向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.考点五 向量的的四种常见题型设a=,b=1.两个向量的平行或共线关系：a/bb=a（a0）（交叉相乘差为零），若a=0,则a=0，当b=0，不唯一；当b0，不存在.限定a0是保证的唯一性和存在性不可写为x1/x2=y1/y22.两个向量的垂直关系 aba·b=0|a|b|cos=0（对应相乘和为零）3.两个向量的夹角公式：,其中为a与b的夹角4.两个向量的模运算：若，则或（a±b）2=a2±2ab+b2,（a+b）（a-b）=a2-b2解题技巧：1.如向量用模表示，且已知两个向量的夹角，遇模，先平方后开方，如2.如向量用坐标表示，遇模不平方，直接按照坐标运算-