2022年电大《离散数学》期末综合复习资料参考答案.doc
电大离散数学期末综合复习资料小抄一、判断题1. （ ）命题联结词Ø，Ù，Ú是最小联结词组。2. （ ）（PÙQ）ÙØP为矛盾式。3. （ ）（ØPÚQ）Ù（Q®R）®（P®R）为重言式。4. （ ）A、B、C是任意命题公式，如果AÚCÛBÚC，一定有AÛB。5. （ ）若集合A上的二元关系R是对称的，RC一定是对称的。6. （ ）R是A上的二元关系，R是自反的，当且仅当r(R)=R。7. （ ）集合A上的等价关系确定了A的一个划分。8. （ ）有理数集是可数的。9. （ ）若函数f，g为入射则其复合函数也为入射。10. （ ）R是集合A上的关系，R有传递性的充要条件是RoRÍR。11. （ ）设<A，*>是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。如果该代数系统中存在幺元e和零元q，则e¹q。12. （ ）交换群必是循环群。13. （ ）一个群可以有多个等幂元。14. （ ）模格一定是分配格。15. （ ）每个有向图中，结点入度数总和等于结点出度总和。16. （ ）图G的邻接矩阵A，Al中的i行j列表示结点vi到vj长度为l路的数目。17. （ ）任何图中必有偶数个度数为奇数的结点。18. （ ）有向图中，它的每一个结点位于且只位于一个单侧分图中。19. （ ）任意平面图最多是四色的。20. （ ）不存在既有欧拉回路又有汉密尔顿回路的图。二、填空题1 设P：“天下雨”，Q：“他骑自行车上班”，R：“他乘公共汽车上班”。则命题“除非下雨，否则他就骑自行车上班”可符号化为 。“他或者骑自行车，或者乘公共汽车上班”可符号化为 2 设N(x)：x是自然数；J(x)：x是奇数；Q(x)：x是偶数，用谓词公式符号化命题“任何自然数不是偶数就是奇数”。3 设P(x)：x是运动员，Q(x)：x是教练。则命题“不是所有运动员都是教练”可符号化为。4 设D=a,b；P(a,a)=P(b,b)=T；P(a,b)=P(b,a)=F。则公式("x)($y)(P(x,y)®P(y,x)的真值是。5 集合A=Æ,Æ的幂集P(A)为6 集合A=1,2，B=a,b,c,d，C=c,d,e，则A´(B-C)为7 试用空集Æ构成集合A（A¹Æ）= 和B= ，使得AÎB且AÍB都成立。并且A´B=。8 设A=1,2,3，R=<1,2>,<2,1>,<1,3>,<1,1>，传递闭包t(R)为 。9 设A=1,2,3，B=x,y，f：A®B，则不同的函数个数为 个。10 Q为有理数集，Q上定义运算*为a*b=a+b-ab，则<Q,*>的幺元为 。11 代数系统<Sk,+>，其中Sk=x|xÎZÙx>=K，+为普通加法，则<Sk,+>是一个半群的必要条件是 。12 设G为v个结点e条边的连通平面图，则面r等于 。13 一棵树有n2个结点度数为2，n3个结点度数为3，nk个结点度数为k，则度数为1的结点的个数为 。14 设T为根树，若每个结点的出度都小于等于m，则T称为 树，若除 外，每个结点的出度都等于m，则T称为完全m叉树。15 设<A，£>是偏序集，如果A中任意两个元素都有 和 ，则称<A，£>为格。三、解答题1. 将公式(P®Q) Ù (Q®R)®(P®R)化成与之等价且仅含Ø、Ú、Ù的公式。2. 将下列命题符号化：（1）他虽聪明但不用功。（2）除非你努力否则你将失败。（3）我们不能既划船又跑步（4）仅当你走我才留下。3. 用谓词表达式符号化下列命题：（1）所有老的国家选手都是运动员。（2）某些教练是年老的，但是健壮的。（3）任何自然数不是偶数就是奇数。（4）不是所有运动员都是教练。4. 求命题公式Ø(P®Q)的主合取范式。5. 求命题公式PÙ(P®Q)的主析取范式。6. 设集合A1, 2, 3，A上的关系R<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3, 3>, （1）画出R的关系图；（2）写出R的关系矩阵；（2）问R具有关系的哪几种性质(自反、反自反、对称、反对称、传递)。7. 构造一非空偏序集，它存在一子集有上界，但没有最小上界。它还有一子集，存在最大下界但没有最小元。8. 以下哪些是函数？哪些是入射？哪些是满射？对任意一个双射，写出它们的逆函数。a) f: Z®N, f(x)=x2+1b) f: N®Q, f(x) = 1/xc) f: 1,2,3®a,b,c, f=<1,b>,<2,c>,<3,a>d) f: N®N, f(x)=2xe) f: R´R®R´R, f(x,y)=<y+1,x+1>9. 设S=1,2,3,4,6,12，D为S上的整除关系，（1）试写出该关系并画出哈斯图；（2）设子集B=2,3,6，试求B的最大元、最小元、极大元和极小元；（3）试求B的上界、上确界、下界和下确界。10. 设集合A有m个元素，B有n个元素，则A到B的关系有多少个？A到B的函数有多少个？11. 判定下列代数系统是否为群，请说明原因。（1）<R,+>，其中R为实数集，+为普通加法；（2）<I,´>，其中I为整数集，´为普通乘法 12. 设群<G,*>的运算表如下：*eabeeabaabebbea试写出<G,*>的所有子群，及其相应的左陪集。13. 设G=<V,E>，V=V1,V2,V3,V4的邻接矩阵：0 1 0 11 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 A(G)=（1）试画出该图。（2）V2的入度d-(V2)和出度d+(V2)是多少？（3）从V2到V4长度为2的路有几条？v1v3v2v5v414. 试求下面有向图的强分图、单侧分图和弱分图15. （1）画一个有欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。（2）画一个有欧拉回路，但没有汉密尔顿回路的图。（3）画一个没有欧拉回路，但有汉密尔顿回路的图。V1V2V3V4V54325112216. 下图给出的赋权图表示五个城市及对应两个城镇间公路的长度。是给出一个最优的设计方案使各城市间有公路连通。17. 设有一组权3、4、13、5、6、12，（1）求相应的最优树（要求构造的过程中，每个分支点的左儿子的权小于右儿子的权）。（2）设上述权值分别对应英文字母b、d、e、g、o、y，试根据求得的最优树构造前缀码，并对二进制序列0100110110010001011译码。四、证明题1. A ®(BÙC),(E®ØF)®ØC,B®(AÙØS)ÞB®E2. 试证明命题公式为永真式。3. 试证明：(PÚQ) (P®R) (Q®S) ÞSÚR4. 用推理规则证明：("x)(P(x)®Q(x) Þ($x) P(x)®($y)(P(y)ÙQ(y)5. 对所有集合A、B和C，有(AÇB)ÈC=AÇ(BÈC)，当且仅当CÍA。6. 若R和S是集合A上的等价关系，试证明RÇS也是A上的等价关系。7. 证明集合0,1和(0,1)是等势的。8. 设f: X->Y和g: Y->Z是函数，使得g°f是一个满射，且g是一个入射。证明f是满射。9. 设<G1,*>,<G2,°>是两个群，在G1´G2上定义运算为：<a1,b1><a2,b2>=<a1*a2,b1°b2>，证明< G1´G2,>是一个群。10. f是群<G,°>到群<G,*>的同态映射，e是G中的幺元则，f的同态核K=x|xÎG且f(x)=e构成的代数系统<K,°>是<G,°>的子群。11. 证明在格中，若a£b£c，则（1）aÚb=bÙc（2）(aÙb)Ú(bÙc)=b=(aÚb)Ù(aÚc)12. 若有n个人，每个人恰有三个朋友，证明n必为偶数。13. 证明当且仅当G的一条边e不包含在G的回路中时，e才是G的割边。14. 画出K3,3图，并证明其不是欧拉图，也不是平面图。15. 设G为连通图，证明当且仅当边e是G的割边时，e才在G的每颗生成树中。16. 设T是非平凡的无向树，T中度数最大的结点有2个，它们的度数为k（k>=2），证明：T中至少有2k-2片树叶。17. 设G=<V,E>有11个结点，m条边，证明G或者其补图G是非平面图。部分参考答案一、判断题1. （错误）2. （正确）3. （正确）4. （错误）5. （正确）6. （正确）7. （正确）8. （正确）9. （正确）10. （正确）11. （正确）12. （错误）13. （错误）14. （错误）15. （正确）16. （正确）17. （正确）18. （正确）19. （正确）20. （错误）5
