上海海事大学11-12数值分析试A卷答案.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date上海海事大学11-12数值分析试A卷答案上海海事大学2007-2008学年第 2 学期上海海事大学2011-2012学年第 2 学期研究生 数值分析 课程考试试卷A（答案）学生姓名： 学号： 专业：一 填空题（每小格2分共30分）1. 利用Jacobi迭代法求解Ax=b时，其迭代矩阵是；当系数矩阵A满足 严格对角占优 时，Jacobi迭代法收敛 。 x 0 1 2 42. 已知函数有数据 f 1 9 23 3 则其3次Lagrange插值多式的基函数为 插值余项为 3. 求解常微分方程初值问题 的Euler公式为， 它是1 阶方法。4. 设则差商 7 05. 对于求解Ax=b，如果右端有的扰动存在而引起解的误差为，则相对误差 6. Gauss型数值求积公式的代数精度具有2n+1_次，求积系数的表达式为,且b-7. 幂法是求矩阵按模最大 特征值和特征向量的计算方法Jacobi法是计算 实对称矩阵的所有 特征值和特征向量的计算方法 8. 对于给定的正数k，Newton法解二次方程的迭代公式为 二设函数，已知，试利用切比雪夫多项式最小零偏差的性质，求函数在区间-1，1上的次数低于4的最佳一致逼近。 （5分） 解：由切比雪夫多项式最小零偏差的性质得：故：三 用代数精度确定求积公式的求积系数，并指出其具有的代数精度。（7分）解： 具有三次代数精度。四 当具有四阶连续导数时，试求出二阶三点数值微分公式 的截断误差。（6分） 解： 故：五设是关于互异节点的Lagrange插值基函数，试证明： （7分）解：设的n+1阶导数存在，则有： 当时，所以有当时（）， 所以又时 ， 取时，有。六设有方程组Ax=b，其中A为对称正定矩阵，迭代公式为使迭代序列收敛到Ax=b的解，试讨论参数的取值范围。（7分）证明：可以得 迭代矩阵，特征值为，又A对称正定，所以特征值非负，设如，则，故时，成立，所以迭代收敛。七在0，2上具有四阶连续导数，已知，和试用Newton-Hermite插值法求满足上列条件的一个次数不超过3的插值多项式，并估计误差。（7分） 解：,由得 又=，八对于迭代函数，试讨论：1） 当C取何值时，产生的序列局部收敛于。2） C取何值时迭代至少具有二阶收敛速度。 （7分）解：，且连续。由定理得，也即时迭代局部收敛。又：当，即C=时，迭代至少是二阶收敛的。九设，证明：右矩形求积公式 当，试从几何上说明右矩形求积公式与实际积分数值大小关系；试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。（9分）解：因为：； 故： =当时，又：分划a,b得：，k=1,2,n得复合公式：所以：=其中：有：十 求系数，使求解常微分方程初值问题的数值解公式 的局部误差为 （7分）解：设部长，且，。 因，故又，比较得，十一. 对于初值问题， 若函数在区域，满足 条件，试说明二阶Runge-Kutta方法 在条件下是收敛的。 并用该方法求解初值问题 ， 讨论绝对稳定性对步长的限制。 （8分）解：因为： 所以： ， 其中 由收敛定理得：二阶Runge-Kutta方法是收敛的。另： 由 ， 得。-