专题51-圆锥曲线中的对称问题(解析版).doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date专题51-圆锥曲线中的对称问题(解析版)专题51-圆锥曲线中的对称问题(解析版)【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.【方法点评】方法一 判别式法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步 假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；第二步 联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步 把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步 利用联立后方程的求出其中需求参数的范围.例1. 已知椭圆C：3x24y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4xm，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解得：<m<.【点评】对于此类问题有第一种解法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的产生.例2、在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零.（1） 求向量的坐标；（2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围.【解析】（1）设，则由，得.解得，或.，得，故.（3）设为抛物线上关于直线OB对称的两点，则：，整理得：，即为方程的两个相异实根.于是由，得.故当时，抛物线上总有关于直线OB对称的两点.【点拨】关于直线的对称圆的半径不变，只有圆心不同，所以欲求对称圆方程，只需求其圆心，即已知圆圆心的关于直线的对称点即可；若曲线上存在关于直线OB的对称两点，则该两点的连线与曲线有两相异交点，即判别式大于零，由此即可求出a的取值范围.【变式演练1】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围【变式演练2】求证：抛物线=1上不存在关于直线=对称的两点。证明  如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(、)、Q(，)且，、R，则：两式相减得：+=2，=2，再代入前一式得+2+2=0，其判别式=48<0。所以R这与题设矛盾。PQ两点不存在。方法二 点差法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步 设出两点和中点坐标（x，y）；第二步 用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；第三步 联立直线方程，求出交点，即中点；第四步 由中点位置及对应范围求出参数取值范围.例3、若抛物线y=-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线x=-对称的两点，则AB的方程可设为=+。解法二：曲线y=-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1，解方程组：+0=，代入=1得关于的二次方程：，由>0得>。点评：这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用求出参数范围.当然，不管是两种解法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.【变式演练3】如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；（）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值（II）解法一：作，来源:学&科&网Z&X&X&K垂足分别为，则由抛物线的定义知，记的横坐标分别为，则，解得类似地有，解得记直线与的交点为，则所以故【高考再现】1. 【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为；求p的取值范围.【答案】（1）（2）详见解析，（2）设，线段PQ的中点因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为由消去得因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以从而，化简得.方程（*）的两根为，从而因为在直线上，所以因此，线段PQ的中点坐标为因为在直线上所以，即由知，于是，所以因此的取值范围为考点：直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围2. 【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（I）若在线段上，是的中点，证明；（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（）见解析；（）【解析】（）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则，所以. .5分（）设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. .12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点3. 【2016湖南六校联考，理12】已知分别为椭圆的左、右顶点，不同两点在椭圆上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】设点则，从而，设，令，则即，当且仅当即取等号，取等号的条件一致，此时，故选D4. 【2016江西师大附中、鹰潭一中一联，理20】已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为18（1）求抛物线C的标准方程；（2）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由（）时， 同号，又，不论a取何值，t均与m有关， 即时，A不是“稳定点”；5. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A.单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是 .【答案】【解析】考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决6. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.（I）求；（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.【答案】（I）2（II）没有【解答】试题分析：先确定,的方程为,代入整理得,解得,得,由此可得为的中点,即.（II）来源:把直线的方程,与联立得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点. 考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.【反馈练习】1. 【2015届湖北省襄阳四中等四校高三下学期期中理科数学试卷】已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4；（）求点M的轨迹C的方程；（）若曲线C上存在两点A，B关于直线l:对称，求直线AB的方程【答案】（）（）【解析】试题分析： （1）结合图形知，点M不可能在轴的左侧，由抛物线的定义可知M的轨迹是抛物线，其中 （2）由点差法及的斜率为4可得 ，可得中点的坐标为， 即，注意检验试题解析：（1）结合图形知，点M不可能在轴的左侧，即M到点的距离等于M到直线的距离 M的轨迹是抛物线，为焦点，为准线M的轨迹方程是： （2）设则 相减得 又的斜率为4则 中点的坐标为， 即经检验，此时，与抛物线有两个不同的交点，满足题意考点：抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系. 2【2014届北京四中高三数学二模理科数学试卷】设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点. （1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程； （2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.【答案】（1）直线（即）的方程为或；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由已知条件推导出点的坐标为，由此能求出直线（即）的方程（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，三点共线即可（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，.又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，三点共线. 7分以下给出证明：由题意，设直线的方程为, , ，则. 由 得 ， 9分所以 ， ，. 10分在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为， 11分所以 ，所以点，三点共线，即点与点关于轴对称. 14分考点：直线与椭圆综合问题3【2017届河南豫北名校联盟高三理上精英对抗赛数学试卷】已知点是椭圆上任意一点，点到直线:的距离为，到点的距离为，且，直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【解析】试题分析：（1）设，则，代入化简得；（2）先求得，得到直线的方程，代入椭圆方程求得，进而求得直线的方程；（3）直线方程入，写出根与系数关系，代入，化简得所以直线方程为，直线总经过定点.来源:代入解，得（舍）, ，.即直线的方程为. ，直线方程为，直线总经过定点. 考点：直线与圆锥曲线位置关系.来源:4【2017届河北定州中学高三高补班上周练一数学试卷】已知椭圆C1：1 （ab0）的离心率为，P（2，1）是C1上一点来源:（1）求椭圆C1的方程；（2）设A、B、Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l与C1相交于不同于P、Q的两点C、D.点C关于原点的对称点为E证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）本小题要求椭圆标准方程，由离心率可得，再把点坐标代入，又得，的一个方程，两者联立可解得，；（2）设直线、的斜率分别为，则要证直线、与轴围成的三角形是等腰三角形，只需证，为此先得，从而有，于是可设直线方程为，同时设，由直线方程与椭圆方程可得，计算，可得结论（2）由题设知A、B的坐标分别为（2，1），（2，1）因此直线l的斜率为.设直线l的方程为：yxt.由得：x22tx2t240.当0时，不妨设C（x1，y1），D（x2，y2），于是 x1x22t，x1x22t24.设直线PD、PE的斜率分别为k1，k2，则要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1k20，所以直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.5【2016江西师大附中、鹰潭一中一联】已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为18（1）求抛物线C的标准方程；（2）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由【解析】（）由题意， ，抛物线C的标准方程为6【2016湖南六校联考】已知分别为椭圆的左、右顶点，不同两点在椭圆上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】设点则，从而，设，令，则即，当且仅当即取等号，取等号的条件一致，此时，故选D-