九江三中高中数学竞赛专题讲座立体几何.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date九江三中高中数学竞赛专题讲座立体几何竞赛试题选讲之 立体几何竞赛试题选讲之六：立体几何一、选择题部分1. （2006吉林预赛）正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直 线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l的条数为 （ C ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于32.（2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面AB均成角，则这样的直线l的条数为（B） A. 1 B .2 C. 3 D .43(集训试题)设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（ ）A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值C既有最大值又有最小值，两者不等D是一个与面QPS无关的常数解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为，PC与面PAB所成角为，则vS-PQR=SPQR·h=PQ·PRsin)·PS·sin。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，SPQR·d=PRS·d+SPRS·d+PQS·d=PQ·PRsin+PS·PRsin+PQ·PS·sin，故有：PQ·PR·PS·sin=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常数。故选D。4（2006年江苏）过空间一定点的直线中，与长方体的12条棱所在直线成等角的直线共有（C）A0条B1条C4条D无数多条5.（2006天津）已知为四面体的侧面内的一个动点，且点与顶点的距离等于点到底面的距离，那么在侧面内，动点的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是（ D ）A圆或椭圆 B椭圆或双曲线 C双曲线或抛物线 D抛物线或椭圆6（2006年南昌市）四棱锥的底面是单位正方形(按反时针方向排列),侧棱垂直于底面,且,记,则（C）ABCD7（2005年浙江）正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形； 下述选项正确的是（B）A(1)(2)(5) B(1)(2)(4) C(2)(3)(4) D(3)(4)(5) 【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。 选 【 B 】8(2005全国)如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（ ）AS为定值，不为定值 BS不为定值，为定值CS与均为定值 DS与均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值.当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。选B.9.（2006浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C）A2006 B CD.解： 正2n边形，对角线共有 条.计算与一边平行的对角线条数，因，与平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C.1,3,510（2005四川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有120条.解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条.原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部.1,3,51,3,5二、填空题部分1（2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为,则的最大值为_.2（2006天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 3（2006年上海）在ABC中，已知，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC相交于点E，使得，且DE将ABC的面积两等分，则 4（2006年上海）在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，n平方米，p平方米，则它的体积为 立方米5（2006陕西赛区预赛）用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为，能包容此框架的最小球的半径为，则等于 .6（2006年江苏）长方体中，已知，则对角线的取值范围是 第7题图7(2005全国)如图，四面体DABC的体积为，且满足 则.解：即又等号当且仅当时成立，这时面ABC，.8（2004 全国）如图、正方体中，二面角的度数是_.解：连结，垂足为E，延长CE交于F，则， 连结AE，由对称性知是二面角的平面角.连结AC，设AB=1，则中，在.的补角，.【原创】2008年高考立体几何问题研究综述直线、平面、简单几何体是高考的必考内容。一般以客观题的形式考查基础知识，以解答题的形式考查综合问题。2008年高考立体几何的考点主要包括：空间位置关系的判断与论证，空间角与距离的计算，直线、平面、简单几何体与其它知识的交汇与运用等。试题设置形式和数量不一：有12份试卷是“两小一大”共三道题、4份试卷是“一小一大”共两道题、全国和四川卷是“三小一大”共四道题、江苏卷仅一道大题，分值由1327不等，平均分不足22，题目难度一般仍在中等左右。1、客观题的考查研究11、线面位置关系的判断问题例1. （湖南5）设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是( )A.若m,n,则mn B.若m,n,m,n,则C.若，m,则m D.若，m，m,则m解析 对每个选支逐一分析判断，可得正确答案（D）。评注 本题综合考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，同类的还有天津5、安徽4。线面位置关系的判断是立体几何的基本知识和基本技能，是高考的必考内容，多出现在填空、选择题中。12、几何元素的计数问题abcEFG图1例2.（辽宁11）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ）A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条解析 方法1：易知三条异面直线A1D1，EF，CD平行于同一平面，记它们依次为a,b,c,在直线a上任取一点E，过E作直线（如图1）。设直线确定平面，直线确定平面，又两平面有公共点E，故它们必交于过E的一条直线。在内直线与交于E，则必与的平行线b相交，记交点为F；同理记直线与c的交点为G，则直线与直线a,b,c分别交于点E，F，G。因为点E是任取的，故这样的直线有无数条。方法2：过直线a的平面旋转扫过全空间时，除去与b,c都平行的平面外，其余位置上的平面都与b,c同时相交（记交点为M，N），这些同时与b,c相交的平面中，除一个会出现MNa外，其余的直线MN都与直线a相交，因此这样的直线有无数条。方法3：在直线EF上任取一点P，则P与直线A1D1确定一个平面，该平面与直线CD必有交点，记为Q，直线PQ与直线A1D1共面且不平行，故它们必有交点，这样直线PQ与直线A1D1，EF，CD都相交，又直线PQ随P的变化而变化，故这样的直线有无数条。评注 本题以正方体为载体研究三条异面直线有公共交线的问题，有一定的难度，极易错选为（C）（3条直线为DE，），同类的试题还有四川。例2源于“1997年全国高中联赛题：如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么，与直线a,b,c都相交的直线有（D）（A）0条，（B）1条，（C）多于1的有限条，（D）无穷多条”。此赛题中的直线a,b,c可以不共面，故可“不妨构造平行六面体”求解，而例2不可用这种方法求解。几何元素的计数问题可较好地考查空间想象能力和思维的发散能力。13、组合体问题例3.（1）（江西16）如图2，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图3）。有下列四个命题：图2图3A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）图4（2）（海南15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _（3）（重庆 9)如图4，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）（A）V1= (B) V2= （C）V1> V2（D）V1< V2解析 （1）、图2中设底面积为S，正四棱锥的高为h，则a=，故A错；侧放时，有一半的水填在空白，而水的体积与上面空白体积相等，故B对；任意摆放时，如水面与正四棱锥的侧面平行时，水面不会恰好是侧面，因而水面不会恰好过点；由两次操作可知D正确，因此填B,D。（2）、设该六棱柱的高为h。由底面正六边形的周长为3，得底面边长为，过底面中心的对角线长为1，底面正六边形面积为，则有。过底面中心和球心的六棱柱的截面矩形的对角线即球的直径为2，故球的体积为。（3）、设小球半径为r，则大球半径为2r， ， ，故选（D）。评注 （1）是多面体与多面体的组合，其过程和结果都具有开放性；（2）是多面体与球的组合，关键是找准最佳截面；（3）是球与球的组合，无需求出具体的V1与V2。球的知识在2008年的高考中考查相当多，理科19套数学卷中有12套考查了球的问题，主要考查求距离（如安徽16、湖南9等考球面距离）、面积（如四川、山东6等）和体积等。它们有的单独考查，有的以球为载体综合考查。组合体问题有利于考查学生的解题目标意识、运动变化思想、问题或图形的分解与重组能力，以及综合解决问题的能力。14、交汇性问题高考命题以能力立意，注重在知识的交汇处命制试题。因而交汇型试题在近年的高考中频繁出现， 2008年高考立体几何中的交汇型客观试题有如下特点。141、与简易逻辑交汇例5 （天津4）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）（A） （B） （C） （D）解析 题设条件比较零散，宜逐一检验：A和D中a与b的位置关系不确定；B中a与b平行；C中a b，故选（C）评注 简易逻辑知识年年考，这是直接考查（还如上海13），但多是融入大题中隐性考查。142、与平面几何知识类比交汇例6.（全国卷16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件 ；充要条件 （写出你认为正确的两个充要条件）解析 可对平行四边形的两个具体的充要条件进行类比推广，如答案可为：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等评注 本题是有限度的开放性问题，它将平面几何中平行四边形的判定定理类比推广到立体几何的四棱柱中。不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要考生具有较好的基础知识和敏锐的洞察力。143、与函数交汇例7.（北京8）如图5，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO解析 设的中点分别为E，F，连结BE，EF，则点N在折线BE上，且当N在BE上时有，故，所以，又正方体中的为定值，故的轨迹为直线，排除C，D；又y的最大值只在x=BF时取得，故选（B）。评注 本题将一次函数寓于正方体中，考查最基本的三角形相似、三角函数、直线方程等知识，将数与形较好地结合在一起。2008年高考理科立几客观题中，还有与三角函数（都是正弦或余弦）的交汇题5道，如全国16、全国10、福建6等。144、与不等式交汇例8 （海南12）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）A. B. C. 4 D. ABCD图6解析 假设这条棱是长方体ABCD-的体对角线A，如图6，设AB=x,BC=y,C=z,则其在正视图、侧视图与俯视图中的投影分别是D、B与AC,故有，又，代入整理得，所以，故选C。评注 本题以三视图为载体，将长方体的体对角线与三条互不相等的面对角线巧妙地联系在一起，考查三视图知识以及运用不等式知识求线段和的最值问题，三视图试题还有广东5和山东6。145、与解析几何交汇ABP图7例9（浙江10）如图7，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是（ ）A圆 B椭圆C一条直线 D两条平行直线解析 直接求点的轨迹方程是不现实的。 的面积为定值，把定线段AB看作底，则P到AB的距离为定值，故P点在一个圆柱上；又P点在平面上，所以P点的轨迹是该平面斜截该圆柱的交线椭圆，故选（B）。评注 本题由空间图形生成圆锥曲线，考查用交轨法求轨迹，以及数形结合、空间想象和问题转化的能力。146、与排列组合交汇ABC图8例10 （重庆16）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在图8的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 _种（用数字作答）.解析 方法1：设4种颜色的灯泡为a,b,c,d, 因为共顶点的3条线段的4个顶点的灯泡不同色，故有种；如设点A、A1、B、C依次放灯泡a,b,c,d,，则C1可放a或b，若C1放a则B1放c；若C1放b则B1放a或c,即此时B1，C1有3种按法；又图中有6个顶点，上述过程中都计算重复了一次，所以每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种。方法2：分3类求解，四点装四种不同颜色的灯泡，有=48；四点装三种不同颜色的灯泡，有=144；四点装2种不同颜色的灯泡，有=24。所以共有48+144+24=216种方法。评注 图8就是一个三棱台，要注意条件“同一条线段两端的灯泡不同色”的限制，还可以绘树状图求解。本题考查排列组合知识的综合运用、分类讨论的思想方法、逻辑推理能力，以及数学的应用性与思维的深刻性。-