全等三角形常见辅助线的作法.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date全等三角形常见辅助线的作法1全等三角形常见辅助线的作法【知识梳理】1、全等三角形：全等三角形、能够完全重合的两个三角形。2、全等三角形的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”3、 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。（2）全等三角形的周长、面积相等。4、全等三角形常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答【例题精讲】例1：已知，如图ABC中，AB5，AC3，则中线AD的取值范围是_.例2：已知等腰直角三角形ABC中，ACBC，BD平分ABC，求证：ABBCCD【巩固】1.如图所示，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证: AFEF.2.已知ABC中，AD平分BAC，ABAC，求证：ABACBDDC3.如图所示，已知四边形ABCD中，ABAD，BAD60°，BCD120°，求证: BCDCAC. 例3：如图，已知在ABC中，B60°，ABC的角平分线AD，CE相交于点O求证：OEOD例4：如图，在ABC中，BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PNAB于N，PM AC于点M求证：BNCM例5：AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A，E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为。求证.【拓展】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BEDFEF，求EAF的度数. 【课后练习】1、如图，BAC60°，C40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求证：ABBPBQAQ2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BECF与EF的大小.3、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BECF的理由；（2）如果AB，AC，求AE、BE的长.【专题】证明线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）【例1】如图，四边形ABCD中，ADBC，点E是AB上一个动点，若B60°，ABBC，且DEC60°；求证：BCADAE考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定专题：动点型分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题解答：解：有BC=AD+AE连接AC，过E作EFBC交AC于F点B=60°，AB=BC，ABC为等边三角形，EFBC，AEF为等边三角形即AE=EF，AEF=AFE=60°所以CFE=120°                                 （3分）又ADBC，B=60°故BAD=120°又DEC=60°，AEF=60°所以AED=FEC                                 （1分）在ADE与FCE中，EAD=CFE，AE=EF，AED=FEC，所以ADEFCE所以AD=FC                                       （1分）则BC=AD+AE                                      （1分）点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形解决问题【巩固】已知：如图，在中，BAC、BCA的角平分线AD、CE相交于O。 求证：ACAECD在AC上截取CF=CD，连OF，由已知得CODCOF，COD=COF=AOE，COA=180°-（BCA+BAC）/2=180°-（180°-60°）/2=120°，COD=COF=AOE=60°，AOF=60°，AOFAOE，AF=AE，CD+AE=CF+AF=AC。（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）【例2】 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。 求证：EFBEDF【例3】已知：如图，在梯形ABCD中，ABCD，ACBD .求证：梯形ABCD 是等腰梯形.【例4】已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中点，且AEBE.求证：ADBCAB【巩固】如图所示，梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中点，且ADBCAB求证：DEAE。【例5】如图，梯形ABCD中，ABCD，CE 、BE 分别平分C和B，E 为AD的中点。求证：ABDCBC 【巩固】1.如图已知，ACBC, BDAD,AC=BD,求证：OB=OC2.如图所示，已知为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AEBD，连结CE、DE。 求证：ECED3.已知：如图所示，ABCD，ADBC，AECF。求证：EF4.已知：如图所示，中，。 求证：DEDF5.已知：如图所示，ABAC，。 求证：FDED6.如图 已知ABC中, BAC=900, AB=AC, BDAE于D, CEAE于E，求证：BD=DE+CE7.如图，于，于,若、，(1)求证：平分；(2)直接写出与之间的等量关系。8如图：ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQAD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长 9.如图，点O是等边ABC内一点，AOB=110°，BOC=a ，将BOC绕点C按顺时针方向旋转使DOC=60°得到ADC，连接OD（1）求证： COD是等边三角形（2）当a=150°，AOOC时，试判断AO、AD的数量关系，并说明理由（3）探究：当a为多少度时，AOD是等腰三角形？解：1）因为ADCBOC 所以OC=CD,BCO=ACD, 又BCO+ACO=60， 所以OCD=ACO+ACD=60 所以COD是等边三角形 2）由ADCBOC 所以ADC=BOC=150， 所以ADO=ADC-ODC=150-60=90 因为AOB=110°，=150度， 所以AOC=360-110-150=100 所以AOD=100-COD=100-60=40 所以AOD是直角三角形 3）ADO=-60，AOD=360-110-60=190- 分三种情况， 若AO=OD 2(-60)+(190-)=180， =110 若AO=AD -60=190-， =125 若AD=OD (-60)+2(190-)=180，-