全等三角形难题集锦超级好-5.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date全等三角形难题集锦超级好-5全等三角形-双等边1、（2007年成都）已知：如图，ABC中，ABC=45°，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。 (!)求证：BF=AC； (2)求证：CE=BF； (3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。2.（2012内江）已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60°，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系3（08河北中考第24题）如图14-1，在ABC中，BC边在直线l上，ACBC，且AC = BCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由4.如图1、图2、图3，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90º，（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（2）若COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？ （3）若COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：（1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答（2）证明DOBCOA，根据全等三角形的对应边相等进行说明解答：解：（1）相等在图1中，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOB=COD=90°，OA=OB，OC=OD，0A-0C=0B-OD，AC=BD；（2）相等在图2中，0D=OC，DOB=COA，OB=OA，DOBCOA，BD=AC点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角5（2008河南）（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题：证明题；探究型分析：此题的两个小题思路是一致的；已知QAP=BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得QAB=PAC；而根据旋转的性质知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS证得ABQACP，进而得出BQ=CP的结论解答：证明：（1）QAP=BAC，QAP-BAP=BAC-BAP，即QAB=CAP；在BQA和CPA中， AQ=AP QAB=CAP AB=AC ，BQACPA（SAS）；BQ=CP（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：QAP=BAC，QAP+PAB=BAC+PAB，即QAB=PAC；在QAB和PAC中， AQ=AP QAB=PAC AB=AC ，QABPAC（SAS），BQ=CP点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键5（2009山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片和且。将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点当旋转至如图位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是 当继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？AO与DO存在怎样的数量关系？请说明理由考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：（1）根据外角的性质，得AFD=D+ABC，DCA=A+ABC，从而得出AFD=DCA；（2）成立由ABCDEF，可证明ABF=DEC则ABFDEC，从而证出AFD=DCA；（3）BOAD由ABCDEF，可证得点B在AD的垂直平分线上，进而证得点O在AD的垂直平分线上，则直线BO是AD的垂直平分线，即BOAD解答：解：（1）AFD=DCA（或相等）（2）AFD=DCA（或成立），理由如下：方法一：由ABCDEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），ABC=DEF，BAC=EDFABC-FBC=DEF-CBF，ABF=DEC在ABF和DEC中， AB=DE ABF=DEC BF=EC ABFDEC，BAF=EDCBAC-BAF=EDF-EDC，FAC=CDFAOD=FAC+AFD=CDF+DCA，AFD=DCA方法二：连接AD同方法一ABFDEC，AF=DC由ABCDEF，得FD=CA在AFDDCA， AF=DC FD=CA AD=DA AFDDCA，AFD=DCA（3）如图，BOAD方法一：由ABCDEF，点B与点E重合，得BAC=BDF，BA=BD点B在AD的垂直平分线上，且BAD=BDAOAD=BAD-BAC，ODA=BDA-BDF，OAD=ODAOA=OD，点O在AD的垂直平分线上直线BO是AD的垂直平分线，BOAD方法二：延长BO交AD于点G，同方法一，OA=OD在ABO和DBO中， AB=DB BO=BO OA=OD ABODBO，ABO=DBO在ABG和DBG中， AB=DB ABG=DBG BG=BG ABGDBG，AGB=DGB=90°BOAD点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长EB使得BG=DF，易证ABGADF（SAS）可得AF=AG，进而求证AEGAEF可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90°即可解题解答：解：延长EB使得BG=DF，在ABG和ADF中，由 AB=AD ABG=ADF=90° BG=DF ，可得ABGADF（SAS），DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90°EAG+EAF=90°，EAF=45°答：EAF的角度为45°点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAF是解题的关键例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：计算题分析：（1）连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分ACB，CDAB，A=45°，CD=DA，则BCD=45°，CDA=90°，由DMDN得EDF=90°，根据等角的余角相等得到CDE=ADF，根据全等三角形的判定易得DCEADF，即可得到结论；（2）由DCEADF，则SDCE=SADF，于是四边形DECF的面积=SACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得SACD，从而得到四边形DECF的面积解答：解：（1）连CD，如图，D为等腰RtABC斜边AB的中点，CD平分ACB，CDAB，A=45°，CD=DA，BCD=45°，CDA=90°，DMDN，EDF=90°，CDE=ADF，（图1）（图2）（图3）在DCE和ADF中， DCE=DAF DC=DA CDE=ADF ，DCEADF，DE=DF；（2）DCEADF，SDCE=SADF，四边形DECF的面积=SACD，而AB=2，CD=DA=1，四边形DECF的面积=SACD=1 2 CDDA=1 2 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质6、已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明7（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB为一边作 正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出例8（2005年马尾）用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图131），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图132），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析：（1）利用全等三角形的判定得出ABEACF即可得出答案；（2）根据已知可以得出BAE=CAF，进而求出ABEACF即可；（3）利用四边形AECF的面积S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC求出即可解答：解：（1）得出结论是：BE=CF，证明：BAC=EAF=60°，BAC-EAC=EAF-EAC，即：BAE=CAF，又AB=AC，ABE=ACF=60°， BAE=CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA），BE=CF，（2）还成立，证明：BAC=EAF=60°，BAC+EAC=EAF+EAC，即BAE=CAF，又AB=AC，ABE=ACF=60°，即 BAE=CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA），BE=CF，（3）证明：ABEACF，SABE=SACF，四边形AECF的面积S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC；而SABC=1 2 S菱形ABCD，S=1 2 S菱形ABCD点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键解：（1）BE=CF. 证明：在ABE和ACF中， BAE+EAC=CAF+EAC=60°， BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60°，ABEACF（ASA）. BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和ACF8、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：证明题图1图2DCEAB分析：（1）此题根据ABC与AED均为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明ABEACD；（2）根据（1）的结论和已知条件可以证明DCBE 解答：证明：（1）ABC与AED均为等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=90°BAC+CAE=EAD+CAE即BAE=CAD，在ABE与ACD中，AB=ACBAE=CADAE=ADABEACD（2）ABEACD，ACD=ABE=45°又ACB=45°，BCD=ACB+ACD=90°DCBE点评：此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得9、 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长EB使得BG=DF，易证ABGADF（SAS）可得AF=AG，进而求证AEGAEF可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90°即可解题解答：解：延长EB使得BG=DF，在ABG和ADF中，由 AB=AD ABG=ADF=90° BG=DF ，可得ABGADF（SAS），DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90°EAG+EAF=90°，EAF=45°答：EAF的角度为45°点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAF是解题的关键7、D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。当绕点D转动时，求证DE=DF。若AB=2，求四边形DECF的面积。10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90°，求五边形ABCDE的面积 考点：全等三角形的判定与性质专题：应用题分析：可延长DE至F，使EF=BC，可得ABCAEF，连AC，AD，AF，可将五边形ABCDE的面积转化为两个ADF的面积，进而求出结论解答：解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，AB=CD=AE=BC+DE，ABC=AED=90°，CD=EF+DE=DF，在RtABC与RtAEF中， AB=AE ABC=AEF BC=EF RtABCRtAEF（SAS），AC=AF，在ACD与AFD中， AC=AF CD=DF AD=AD ACDAFD（SSS），SABCDE=2SADF=2×1 2 DFAE=2×1 2 ×2×2=4点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，应熟练掌握五、旋转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度 （1）如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明理由如果没有，那么点P在AC的什么位置时，PE、PF才具有（2）中的数量关系考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）证明ABEADF可推出AE=AF（2）本题要借助辅助线的帮助过点P作PMBC于M，PNDC于N，证明PMEPNF可推出PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系当点P在AC的中点时，PE，PF才具有（2）中的数量关系解答：解：（1）如图1，AE=AF理由：证明ABEADF（ASA）（2）如图2，PE=PF理由：过点P作PMBC于M，PNDC于N，则PM=PN由此可证得PMEPNF（ASA），从而证得PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系当点P在AC的中点时，PE、PF才具有（2）中的数量关系考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）证明ABEADF可推出AE=AF（2）本题要借助辅助线的帮助过点P作PMBC于M，PNDC于N，证明PMEPNF可推出PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系当点P在AC的中点时，PE，PF才具有（2）中的数量关系解答：解：（1）如图1，AE=AF理由：证明ABEADF（ASA）（2）如图2，PE=PF理由：过点P作PMBC于M，PNDC于N，则PM=PN由此可证得PMEPNF（ASA），从而证得PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系当点P在AC的中点时，PE、PF才具有（2）中的数量关系点评：本题考查的是正方形的性质以及全等三角形的判定例8（2005年马尾）用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图131），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图132），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.解：（1）BE=CF. 证明：在ABE和ACF中， BAE+EAC=CAF+EAC=60°， BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60°，ABEACF（ASA）. BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和ACF10、用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图所示），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。11已知AOB=90°，AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB或它们的反向延长线相交于D、E。当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：CD=CE当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。3、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合）， 以C为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。（1）说明：BCGDCE；（2）BG与CD有何关系？为什么？（3）将正方形GCEF绕点C顺时针旋转，在旋转过程中，（1）、（2）中的结论还成立吗？画出一个图形，直接回答，不必说明理由。12如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN（1）求证：AMBENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为ABC的费尔马点若点M为ABC的费尔马点，试求此时AMB、BMC、CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图，分别以ABC的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为ABC的费尔马点试说明这种作法的依据考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证AMBENB；（2）连接MN，由（1）的结论证明BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时AMB、BMC、CMA的度数；（3）根据（2）中费尔马点的定义，又ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上因此线段EC与BF的交点即为ABC的费尔马点解答：解：（1）证明：ABE为等边三角形，AB=BE，ABE=60°而MBN=60°，ABM=EBN又BM=BN，AMBENB（2）连接MN由（1）知，AM=ENMBN=60°，BM=BN，BMN为等边三角形BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小此时，BMC=180°-NMB=120°；AMB=ENB=180°-BNM=120°；AMC=360°-BMC-AMB=120°（3）由（2）知，ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上因此线段EC与BF的交点即为ABC的费尔马点点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大13如图，正方形中，求证： -