高考文科数学专题复习方案立体几何中的翻折问题和探索性问题.doc

www.ks5u.com第3课时立体几何中的翻折问题和探索性问题考情分析翻折问题和探索性问题是近年来高考立体几何中的常见题型翻折是联结平面几何与立体几何的纽带，实现平面向空间的转化；探索性问题常以动点形式出现，是带着解析几何的味道出现在立体几何中的神秘杀手，让很多学生不知所措！对于这两类题目，破题的秘诀是“以静制动，静观其变！”热点题型分析热点1翻折问题1处理好翻折问题的关键是抓住两图的特征关系，画好翻折前后的平面图形与立体图形，并弄清翻折前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化，这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据2以翻折棱为基准，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，分别位于两个半平面内的几何元素之间的关系一般是变化的垂直于翻折棱的直线翻折后，仍然垂直于翻折棱(2019河北五校联考)如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，ABCD，ADCDAB2，E为AC的中点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体DABC中：(1)求证：BC平面ACD；(2)点F在棱CD上，且满足AD平面BEF，求几何体FBCE的体积解(1)证明：AC2，BACACD45，AB4，在ABC中，BC2AC2AB22ACABcos458，AB2AC2BC216，ACBC，平面ACD平面ABC，平面ACD平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)AD平面BEF，AD平面ACD，平面ACD平面BEFEF，ADEF，E为AC的中点，EF为ACD的中位线，由(1)知，VFBCEVBCEFSCEFBC，SCEFSACD22，VFBCE2.1解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变和不变一般情况下，线段的长度是不变的，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口2在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形如图1，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E，F分别在线段BC，AD上，EFAB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF平面ECDF，如图2.(1)求证：NC平面MFD；(2)若EC3，求证：NDFC；(3)求四面体NEFD体积的最大值解(1)证明：四边形MNEF和四边形EFDC都是矩形，MNEF，EFCD，MNEFCD，MNCD.四边形MNCD是平行四边形，NCMD.NC平面MFD，MD平面MFD，NC平面MFD.(2)证明：连接ED，平面MNEF平面ECDF，且NEEF，平面MNEF平面ECDFEF，NE平面MNEF，NE平面ECDF.FC平面ECDF，FCNE.ECCD，四边形ECDF为正方形，FCED.又EDNEE，ED，NE平面NED，FC平面NED.ND平面NED，NDFC.(3)设NEx，则FDEC4x，其中0<x<4，由(2)得NE平面FEC，四面体NEFD的体积为V四面体NEFDSEFDNEx(4x)V四面体NEFD22，当且仅当x4x，即x2时，四面体NEFD的体积最大，最大值为2.热点2探索性问题立体几何中的探索性问题主要是对位置关系、角的大小以及点的位置的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设(2019成都诊断)如图，在四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F分别在BC，AD上，EFAB，现将四边形ABEF沿EF折起，使BEEC.(1)若BE1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥ACDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离解(1)线段AD上存在一点P，使得CP平面ABEF，此时.理由如下：当时，过点P作PMFD交AF于点M，连接EM，则有，由题意可得FD5，故MP3，由题意可得EC3，又MPFDEC，故四边形MPCE为平行四边形，CPME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，CP平面ABEF成立(2)设BEx，AFx(0<x4)，FD6x，故VACDF2(6x)x(x26x)当x3时，VACDF有最大值，且最大值为3，此时EC1，AF3，FD3，DC2，FC，AC，AD3，在ACD中，由余弦定理得cosADC.sinADC，SADCDCDAsinADC3，设点F到平面ADC的距离为h，由于VACDFVFACD，即3hSADC，h，即点F到平面ADC的距离为.1对于存在型问题，解题时一般先假设其存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或者方程组，把“是否存在”问题转化为“是否有解”“是否在规定范围内有解”等问题2对于位置探索型问题，通常是利用空间线、面位置关系，引入参数，综合条件和结论列方程，解出参数从而确定位置(2019郑州模拟)在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且DAB60，EAEDAB2EF2，EFAB，M为BC的中点(1)求证：FM平面BDE；(2)若平面ADE平面ABCD，求F到平面BDE的距离解(1)证明：取BD的中点O，连接OM，OE，因为O，M分别为BD，BC的中点，所以OMCD，且OMCD，因为四边形ABCD为菱形，所以CDAB，因为EFAB，所以CDEF，又ABCD2EF2，所以EFCD.所以OMEF，且OMEF，所以四边形OMFE为平行四边形，所以FMOE.又OE平面BDE且FM平面BDE，所以FM平面BDE.(2)由(1)得FM平面BDE，所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离取AD的中点H，连接EH，BH，因为EAED，所以EHAD，因为平面ADE平面ABCD，且平面ADE平面ABCDAD，EH平面ADE，所以EH平面ABCD，因为BH平面ABCD，所以EHBH.因为四边形ABCD是菱形，所以ABAD2，又BAD60，所以ABD是等边三角形，所以BD2，BH.易得EH.在RtEBH中，因为EHBH，所以BE，因为EDBD2，所以BDE为等腰三角形，所以SBDE ，设F到平面BDE的距离为h，连接DM，因为SBDM1，所以由VEBDMVMBDE，得h，解得h.即F到平面BDE的距离为.专题作业1如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由解(1)证明：因为PC平面ABCD，DC平面ABCD，所以PCDC.又因为ACDC，且PCACC，所以DC平面PAC.(2)证明：因为ABCD，DCAC，所以ABAC.因为PC平面ABCD，AB平面ABCD，所以PCAB.又因为PCACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EFPA.又因为PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.2如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，DAB60，ABAD2CD2，侧面PAD底面ABCD，且PAD是以AD为底的等腰三角形(1)证明：ADPB；(2)若四棱锥PABCD的体积等于，问：是否存在过点C的平面CMN，分别交PB，AB于点M，N，使得平面CMN平面PAD？若存在，求出CMN的面积；若不存在，请说明理由解(1)证明：取AD的中点G，连接PG，GB，BD，PAPD，PGAD.ABAD，且DAB60，ABD是正三角形，BGAD，又PGBGG，PG，BG平面PGB，AD平面PGB.ADPB.(2)存在，理由如下：分别取PB，AB的中点M，N，连接CM，MN，NC，则MNPA；ABCD是梯形，且DC平行且等于AB，DC平行且等于AN，于是，四边形ANCD为平行四边形，NCAD，平面CMN平面PAD.由(1)知，MN1，CN2，易知PG平面ABCD，BC，四棱锥PABCD的体积为，PG，PG，在RtAGB中，得GB，PB，BM，在PBC与CBM中，PBCCBM，易知CG，PC，得CM，MN2MC2NC2，CMN是直角三角形，SCMNCMMN.3如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体(1)求证：AB平面ADC；(2)若AD1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离解(1)证明：因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BDDC，DC平面BCD，所以DC平面ABD.因为AB平面ABD，所以DCAB，又因为ADAB，且DCADD，所以AB平面ADC.(2)由(1)知DC平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即DAC为AC与其在平面ABD内的正投影所成角依题意得tanDAC，因为AD1，所以CD，设ABx(x>0)，则BD，因为ABDDCB，所以，即，解得x，故AB，BD，BC3.由于AB平面ADC，AC平面ADC，所以ABAC，又E为BC的中点，所以由平面几何知识得AE，因为BDDC，E为BC的中点，所以DE，所以SADE1 .因为DC平面ABD，所以VABCDVCABDCDSABD.设点B到平面ADE的距离为d.则由dSADEVBADEVABDEVABCD，得d，即点B到平面ADE的距离为.