北师大版高中数学选修2-2课时训练实际问题中导数的意义最大值最小值问题.doc

课堂练习(十四)(建议用时：60分钟)基础达标练一、选择题1函数f(x)x33x(x<1)()A有最大值，无最小值B有最大值、最小值C无最大值、最小值D无最大值，有最小值Af(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1(舍)当x(，1)时，f(x)>0，当x(1,1)时，f(x)<0.从而函数f(x)有最大值，无最小值，故选A.2如图所示，函数f(x)导函数的图像是一条直线，则()A函数f(x)没有最大值也没有最小值B函数f(x)有最大值，没有最小值C函数f(x)没有最大值，有最小值D函数f(x)有最大值也有最小值C由函数图像可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值3函数f(x)x33axa在(0,1)内有极小值，则a的取值范围为()A0a<1B0<a<1C1<a<1 D0<a<Bf(x)3x23a，则f(x)0有解，可得ax2又x(0,1)，0<a<1故选B.4已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是()AmBm>Cm Dm<A令f(x)2x36x20，得x0或x3.经检验，知x3是函数的最小值点，所以函数f(x)的最小值为f(3)3m.因为不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m，故选A.5做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A6 mB8 mC4 m D2 mC设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h.所用材料的面积设为S m2，则有S4xhx24xx2x2S2x，令S0，得x8，因此h4(m)二、填空题6当x1,1时，函数f(x)的值域是_0，ef(x)，x1,1令f(x)0，得x0或x2(舍去)f(1)e，f(0)0，f(1)，函数f(x)，x1,1的值域为0，e7若函数f(x)(a>0)在1，)上的最大值为，则a的值为_1f(x)，当x>时，f(x)<0，f(x)单调递减，当<x<时，f(x)>0，f(x)单调递增，当x时，f(x)，<1，不合题意，f(x)maxf(1)，a18做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27，且用料最省，则水桶的底面半径为_3设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r0)，则水桶的高为，所以Sr22rr2(r0)，求导数，得S2r，令S0，解得r3.当0r3时，S0；当r3时，S0，所以当r3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省三、解答题9日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)(80<x<100)，求净化到下列(1)90%；(2)98%纯净度时，所需费用的瞬时变化率解c(x)，c(90)5284，c(98)1 321故纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率为50.84元/t；纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率为1 321元/t.10设函数f(x)ln(2x3)x2(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解易知f(x)的定义域为.(1)f(x)2x.当<x<1时，f(x)>0；当1<x<时，f(x)<0；当x>时，f(x)>0，从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为fln 2.又因为fflnlnln<0，所以f(x)在区间上的最大值为fln.能力提升练1已知函数f(x)x3x26xa，若存在x01,4，使f(x0)2a成立，则实数a的取值范围是()A2aBaC2a16 Da16Df(x0)2a，即xx6x0a2a，可化为xx6x0a，设g(x)x3x26x，则g(x)3x29x63(x1)(x2)0，得x1或x2g(1)，g(2)2，g(1)，g(4)16.由题意，g(x)minag(x)max，a16.2已知函数f(x)(x2a)ex有最小值，则函数g(x)x22xa的零点个数为()A0B1C2 D取决于a的值Cf(x)2xex(x2a)exex(x22xa)exg(x)函数f(x)的最小值即其极小值，即f(x)0有解当有一解x0时，在x0两侧f(x)>0都成立，此时f(x)是单调递增的，没有极值，不符合题意，应舍去，因此f(x)0有两解，即x22xa0有两解，故g(x)有两个零点3一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为_km/h.20设轮船的速度为x km/h时，燃料费用为Q元，则Qkx3(k0)因为6k103，所以k，所以Qx3.所以行驶每千米的费用总和为yx2(x>0)所以yx.令y0，解得x20.因为当x(0,20)时，y<0，此时函数单调递减；当x(20，)时，y>0，此时函数单调递增，所以当x20时，y取得最小值，即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小4已知f(x)x2c(b，c是常数)和g(x)x是定义在Mx|1x4上的函数，对于任意的xM，存在x0M使得f(x)f(x0)，g(x)g(x0)，且f(x0)g(x0)，则f(x)在M上的最大值为_5因为g(x)x21(当且仅当x2时等号成立)，所以f(2)2cg(2)1，所以c1，所以f(x)x21，所以f(x)x.因为f(x)在x2处有最小值，且x1,4，所以f(2)0，即b8，所以c5，所以f(x)x25，f(x)，所以f(x)在1,2)上单调递减，在(2,4上单调递增，而f(1)85，f(4)8255，所以函数f(x)在M上的最大值为5.5设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 21且x>0时，ex>x22ax1解(1)由f(x)ex2x2a得f(x)ex2令f(x)0，得xln 2当x变化时，f(x)，f(x)的变化状态如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)，无极大值(2)设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知，当a>ln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是对任意xR，都有g(x)>0，所以g(x)在R上单调递增于是当a>ln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)>g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)>0.即exx22ax1>0，故ex>x22ax1