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Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)习题3-3 1. 按(x-4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4. 解 设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4. 因为 f(4)=-56, f ¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21, f ¢¢(4)=(12x2-30x+2)|x=4=74, f ¢¢¢(4)=(24x-30)|x=4=66, f (4)(4)=24, 所以 =-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x幂展开函数f(x)=(x2-3x+1)3. 解 因为 f ¢(x)=3(x2-3x+1)2(2x-3), f ¢¢(x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2), f ¢¢¢(x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3), f (4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2), f (5)(x)=360(2x-3), f (6)(x)=720; f(0)=1, f ¢(0)=-9, f ¢¢(0)=60, f ¢¢¢(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以 =1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6. 3. 求函数按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解 因为 , , , , ,所以 (0<q<1). 4. 求函数f(x)=ln x按(x-2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式. 解 因为 f ¢(x)=x-1, f ¢¢(x)=(-1)x-2, f ¢¢¢(x)=(-1)(-2)x-3 , × × × , ; (k=1, 2, × × ×, n+1), 所以 . 5. 求函数按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式. 解 因为 f(x)=x-1, f ¢(x)=(-1)x-2, f ¢¢(x)=(-1)(-2)x-3 , × × × , ; (k=1, 2, × × ×, n), 所以 (0<q<1). 6. 求函数f(x)=tan x的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解 因为 f ¢(x)=sec2x, f ¢¢(x)=2sec x×sec x×tan x=2sec2x×tan x, f ¢¢¢(x)=4sec x×sec x×tan2x+2sec4x=4sec2x×tan2x+2sec4x, f (4)(x)=8sec2x×tan3x+8sec4x×tan x+8sec4x×tan x; f(0)=0, f ¢(0)=1, f ¢¢(0)=0, f ¢¢¢(0)=2, 所以 (0<q<1). 7. 求函数f(x)=xex 的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式. 解 因为 f ¢(x)=ex+xex, f ¢¢(x)=ex+ex+xex=2ex+xex, f ¢¢¢(x)=2ex+ex+xex=3ex+xex, × × ×, f (n)(x)=nex+xex; f (k)(0)=k (k=1, 2, × × ×, n), 所以 . 8. 验证当时, 按公式计算ex的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求的近似值, 使误差小于0.01. 解 因为公式右端为ex的三阶麦克劳林公式, 其余项为 , 所以当时，按公式计算ex的误差 . . 9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1); (2)sin18°. 解 (1)设, 则f(x)在x0=27点展开成三阶泰勒公式为 (x介于27与x之间). 于是 , 其误差为 . (2) 已知 (x介于0与x之间), 所以 sin 18°, 其误差为 . 10. 利用泰勒公式求下列极限: (1); (2); (3). 解 (1). 因为, 所以 . (2) . (3) . 习题3-4 1. 判定函数f(x)=arctan x-x 单调性. 解 因为, 且仅当x=0时等号成立, 所以f(x)在(-¥, +¥)内单调减少. 2. 判定函数f(x)=x+cos x (0£x£2p)的单调性. 解 因为f ¢(x)=1-sin x³0, 所以f(x)=x+cos x在0, 2p上单调增加. 3. 确定下列函数的单调区间: (1) y=2x3-6x2-18x-7; (2)(x>0); (3); (4); (5) y=(x-1)(x+1)3; (6); (7) y=xne-x (n>0, x³0); (8)y=x+|sin 2x|. 解 (1) y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0, 令y¢=0得驻点x1=-1, x2=3. 列表得x(-¥, -1)-1(-1, 3)3(3, +¥)y¢+0-0+y 可见函数在(-¥, -1和3, +¥)内单调增加, 在-1, 3内单调减少. (2) ,令y¢=0得驻点x1=2, x2=-2(舍去). 因为当x>2时, y>0; 当0<x<2时, y¢<0, 所以函数在(0, 2内单调减少, 在2, +¥)内单调增加. (3), 令y¢=0得驻点, x2=1, 不可导点为x=0. 列表得x(-¥, 0)0(0, )(, 1)1(1, +¥)y¢-不存在-0+0-y0 可见函数在(-¥, 0), , 1, +¥)内单调减少, 在上单调增加. (4)因为, 所以函数在(-¥, +¥)内单调增加. (5) y¢=(x+1)3+3(x-1)(x+1)2. 因为当时, y¢<0; 当时, y¢>0, 所以函数在内单调减少, 在内单调增加. (6), 驻点为, 不可导点为, x3=a . 列表得xa(a, +¥)y¢+不存在+0-不存在+y 可见函数在, , (a, +¥)内单调增加, 在内单调减少. (7)y¢=e-xxn-1(n-x), 驻点为x=n. 因为当0<x<n时, y¢>0; 当x>n时, y¢<0, 所以函数在0, n上单调增加, 在n, +¥)内单调减少. (8)(k=0, ±1, ±2, × × ×), (k=0, ±1, ±2, × × ×). y¢是以p为周期的函数, 在0, p内令y¢=0, 得驻点, , 不可导点为. 列表得xy¢+0-不存在+0-y根据函数在0, p上的单调性及y¢在(-¥, +¥)的周期性可知函数在上单调增加, 在上单调减少(k=0, ±1, ±2, × × ×). 4. 证明下列不等式: (1)当x>0时, ; (2)当x>0时, ; (3)当时, sin x+tan x>2x; (4)当时, ; (5)当x>4时, 2x>x2; 证明 (1)设, 则f (x)在0, +¥)内是连续的. 因为 , 所以f (x)在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x>0时f (x)>f (0)=0, 即 , 也就是 . (2)设, 则f (x)在0, +¥)内是连续的. 因为 , 所以f (x)在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x>0时f(x)>f(0)=0, 即 , 也就是 . (3)设f(x)=sin x+tan x-2x, 则f(x)在内连续, f ¢(x)=cos x+sec2x-2. 因为在内cos x-1<0, cos2x-1<0, -cos x<0, 所以f ¢(x)>0, 从而f(x)在内单调增加, 因此当时, f(x)>f(0)=0, 即 sin x+tan x-2x>0, 也就是 sin x+tan x>2x. (4)设, 则f(x)在内连续, . 因为当时, tan x>x, tan x+x>0, 所以f ¢(x)在内单调增加, 因此当时, f(x)>f(0)=0, 即 , 也就是 . (5)设f(x)=x ln2-2ln x, 则f (x)在4, +¥)内连续, 因为 , 所以当x>4时, f ¢(x)>0, 即f(x)内单调增加. 因此当x>4时, f(x)>f(4)=0, 即x ln2-2ln x>0, 也就是2x>x2. 5. 讨论方程ln x=ax (其中a>0)有几个实根？ 解 设f(x)=ln x-ax. 则f(x)在(0, +¥)内连续, , 驻点为. 因为当时, f ¢(x)>0, 所以f(x)在内单调增加; 当时, f ¢(x)<0, 所以f(x)在内单调减少. 又因为当x®0及x®+¥时, f(x)®-¥, 所以如果, 即, 则方程有且仅有两个实根; 如果, 即, 则方程没有实根. 如果, 即, 则方程仅有一个实根. 6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子: f(x)=x+sin x . 解 单调函数的导函数不一定为单调函数. 例如f(x)=x+sin x在(-¥,+¥)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上, f ¢(x)=1+cos x³0, 这就明f(x)在(-¥, +¥)内是单调增加的. f ¢¢(x)=-sin x在(-¥, +¥)内不保持确定的符号, 故f ¢(x)在(-¥, +¥)内不是单调的. 7. 判定下列曲线的凹凸性: (1) y=4x-x2 ; (2) y=sh x; (3)(x>0); (4) y=x arctan x ; 解 (1)y¢=4-2x, y¢¢=-2, 因为y¢¢<0, 所以曲线在(-¥, +¥)内是凸的. (2)y¢=ch x, y¢¢=sh x. 令y¢¢=0, 得x=0. 因为当x<0时, y¢¢=sh x<0; 当x>0时, y¢¢=sh x>0, 所以曲线在(-¥, 0内是凸的, 在0, +¥)内是凹的. (3), . 因为当x>0时, y¢¢>0, 所以曲线在(0, +¥)内是凹的. (4),. 因为在(-¥, +¥)内, y¢¢>0, 所以曲线y=xarctg x在(-¥, +¥)内是凹的. 8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y=x3-5x2+3x+5 ; (2) y=xe-x ; (3) y=(x+1)4+ex ; (4) y=ln(x2+1); (5) y=earctan x ; (6) y=x4(12ln x-7), 解 (1)y¢=3x2-10x+3, y¢¢=6x-10. 令y¢¢=0, 得. 因为当时, y¢¢<0; 当时, y¢¢>0, 所以曲线在内是凸的, 在内是凹的, 拐点为. (2)y¢=e-x-xe-x, y¢¢=-e-x-e-x+xe-x=e-x(x-2). 令y¢¢=0, 得x=2. 因为当x<2时, y¢¢<0; 当x>2时, y¢¢>0, 所以曲线在(-¥, 2内是凸的, 在2, +¥)内是凹的, 拐点为(2, 2e-2). (3)y¢=4(x+1)3+ex, y¢¢=12(x+1)2+ex . 因为在(-¥, +¥)内, y¢¢>0, 所以曲线y=(x+1)4+ex的在(-¥, +¥)内是凹的, 无拐点. (4), . 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1. 列表得 x(-¥, -1)-1(-1, 1)1(1, +¥)y¢¢-0+0-yÇln2拐点Èln2拐点Ç 可见曲线在(-¥, -1和1, +¥)内是凸的, 在-1, 1内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2). (5),. 令y¢¢=0得, . 因为当时, y¢¢>0; 当时, y¢¢<0, 所以曲线y=earctg x在内是凹的, 在内是凸的, 拐点是. (6) y¢=4x3(12ln x-7)+12x3, y¢¢=144x2×ln x. 令y¢¢=0, 得x=1. 因为当0<x<1时, y¢¢<0; 当x>1时, y¢¢>0, 所以曲线在(0, 1内是凸的, 在1, +¥)内是凹的, 拐点为(1, -7). 9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式: (1) (x>0, y>0, x¹y, n>1); (2); (3) (x>0, y>0, x¹y). 证明 (1)设f(t)=tn, 则f ¢(t)=ntn-1, f ¢¢(t)=n(n-1)t n-2. 因为当t>0时, f ¢¢(t)>0, 所以曲线f(t)=t n在区间(0, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x>0, y>0, x¹y有 , 即 . (2)设f(t)=et, 则f ¢(t)=et, f ¢¢(t)=et . 因为f ¢¢(t)>0, 所以曲线f(t)=et在(-¥, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x, yÎ(-¥, +¥), x¹y有 , 即 . (3)设f(t)=t ln t , 则 f ¢(t)=ln t+1, . 因为当t>0时, f ¢¢(t)>0, 所以函数f(t)=t ln t 的图形在(0, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x>0, y>0, x¹y 有 , 即 . 10. 试证明曲线有三个拐点位于同一直线上. 证明 , . 令y¢¢=0, 得x1=-1, , . 例表得x(-¥. -1) -1y¢-0+0-0+yÇ-1ÈÇÈ 可见拐点为(-1, -1), , . 因为 , , 所以这三个拐点在一条直线上. 11. 问a、b为何值时, 点(1, 3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？ 解 y¢=3ax2+2bx, y¢¢=6ax+2b. 要使(1, 3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点, 必须y(1)=3且y¢¢(1)=0, 即a+b=3且6a +2b=0, 解此方程组得, . 12. 试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d 中的a、b、c、d, 使得x=-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上. 解 y¢=3ax2+2bx+c, y¢¢=6ax+2b . 依条件有 , 即. 解之得a=1, b=-3, c=-24, d=16. 13. 试决定y=k(x2-3)2中k的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y¢=4kx3-12kx, y¢¢=12k(x-1)(x+1). 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1. 因为在x1=-1的两侧y¢¢是异号的, 又当x=-1时y=4k, 所以点(-1, 4k)是拐点. 因为y¢(-1)=8k, 所以过拐点(-1, 4k)的法线方程为. 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即, . 同理, 因为在x1=1的两侧y¢¢是异号的, 又当x=1时y=4k, 所以点(1, 4k)也是拐点. 因为y¢(1)=-8k, 所以过拐点(-1, 4k)的法线方程为. 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即, . 因此当时, 该曲线的拐点处的法线通过原点. 14. 设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ¢¢(x 0)=0, 而f ¢¢¢(x0)¹0, 试问 (x0, f(x0)是否为拐点？为什么？ 解 不妨设f ¢¢¢(x0)>0. 由f ¢¢¢(x)的连续性, 存在x0的某一邻域(x0-d, x0+d), 在此邻域内有f ¢¢¢(x)>0. 由拉格朗日中值定理, 有 f ¢¢(x)-f ¢¢(x0)=f ¢¢¢(x)(x-x0) (x介于x0与x之间), 即 f ¢¢(x)=f ¢¢¢(x)(x-x0). 因为当x0-d<x<x0时, f ¢¢(x)<0; 当x0<x<x0+d 时, f ¢¢(x)>0, 所以(x0, f(x0)是拐点. 习题3-5 1. 求函数的极值: (1) y=2x3-6x2-18x+7; (2) y=x-ln(1+x) ; (3) y=-x4+2x2 ; (4); (5); (6); (7) y=ex cos x ; (8); (9); (10) y=x+tan x . 解 (1)函数的定义为(-¥, +¥), y¢=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1), 驻点为x1=-1, x2=3. 列表x(-¥, -1)-1(-1, 3)3(3, +¥)y¢+0-0+y 17极大值-47极小值 可见函数在x=-1处取得极大值17, 在x=3处取得极小值-47. (2)函数的定义为(-1, +¥), , 驻点为x=0. 因为当-1<x<0时, y¢<0; 当x>0时, y¢>0, 所以函数在x=0处取得极小值, 极小值为y(0)=0. (3)函数的定义为(-¥, +¥), y¢=-4x3+4x=-4x(x2-1), y¢¢=-12x2+4, 令y¢=0, 得x1=0, x2=-1, x3=1. 因为y¢¢(0)=4>0, y¢¢(-1)=-8<0, y¢¢(1)=-8<0, 所以y(0)=0是函数的极小值, y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值. (4)函数的定义域为(-¥, 1, , 令y¢=0, 得驻点. 因为当时, y¢>0; 当时, y¢<0, 所以为函数的极大值. (5)函数的定义为(-¥, +¥), , 驻点为. 因为当时, y¢>0; 当时, y¢<0, 所以函数在处取得极大值, 极大值为. (6)函数的定义为(-¥, +¥), , 驻点为x1=0, x2=-2. 列表x(-¥, -2)-2(-2, 0)0(0, +¥)y¢-0+0-y 极小值4极大值 可见函数在x=-2处取得极小值, 在x=0处取得极大值4. (7)函数的定义域为(-¥, +¥). y¢=e x(cos x-sin x ), y¢¢=-e xsin x. 令y¢=0, 得驻点, , (k=0, ±1, ±2, × × ×). 因为, 所以是函数的极大值. 因为y¢¢, 所以是函数的极小值. (8)函数的定义域为(0, +¥), . 令y¢=0, 得驻点x=e . 因为当x<e时, y¢>0; 当x>e时, y¢<0, 所以为函数f(x)的极大值. (9)函数的定义域为(-¥, +¥), , 因为y¢<0, 所以函数在(-¥, +¥)是单调减少的, 无极值. (10)函数y=x+tg x 的定义域为(k=0, ±1, ±2, × × ×). 因为y¢=1+sec 2x >0, 所以函数f(x)无极值. 2. 试证明: 如果函数y=ax3+bx2+cx +d 满足条件b2 -3ac<0, 那么这函数没有极值 . 证明y¢=3a x2+2b x+c. 由b2 -3ac<0, 知a¹0. 于是配方得到 y¢=3a x2+2b x+c, 因3ac-b2>0, 所以当a>0时, y¢>0; 当a<0时, y¢<0. 因此y=ax3+bx2+cx +d是单调函数, 没有极值. 3. 试问a为何值时, 函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解 f ¢(x)=acos x+cos 3x, f ¢¢(x)=-asin x-3 sin x. 要使函数f(x)在处取得极值, 必有, 即, a=2 . 当a=2时, . 因此, 当a=2时, 函数f (x)在处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为. 4. 求下列函数的最大值、最小值: (1) y=2x3-3x2 , -1£x£4; (2) y=x4-8x2+2, -1£x£3 ; (3), -5£x£1. 解 (1)y¢=6x2-6x=6x(x-1), 令y¢=0, 得x1=0, x2=1. 计算函数值得 y(-1)=-5, y(0)=0, y(1)=-1, y(4)=80, 经比较得出函数的最小值为y(-1)=-5, 最大值为y(4)=80. (2)y¢=4x3-16x=4x(x2-4), 令y¢=0, 得x1=0, x2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y(-1)=-5, y(0)=2, y(2)=-14, y(3)=11, 经比较得出函数的最小值为y(2)=-14, 最大值为y(3)=11. (3), 令y¢=0, 得. 计算函数值得 , , y(1)=1,经比较得出函数的最小值为, 最大值为. 5. 问函数y=2x3-6x2-18x-7(1£x£4)在何处取得最大值？并求出它的最大值. 解 y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1), 函数f(x)在1£x£4内的驻点为x=3. 比较函数值: f(1)=-29, f(3)=-61, f(4)=-47, 函数f(x)在x=1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29. 6. 问函数(x<0)在何处取得最小值？ 解 , 在(-¥, 0)的驻点为x=-3. 因为 , , 所以函数在x=-3处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在x=-3处取得最小值, 最小值为. 7. 问函数(x³0)在何处取得最大值？ 解 . 函数在(0, +¥)内的驻点为x=1. 因为当0<x<1时, y¢>0; 当x>1时y¢<0, 所以函数在x=1处取得极大值. 又因为函数在(0, +¥)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在x=1处取得最大值, 最大值为f (1)=. 8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 解 设宽为x长为y, 则2x+y=20, y=20-2x, 于是面积为 S= xy=x(20-2x)=20x-2x2. S ¢=20-4x=4(10-x), S ¢¢=-4. 令S ¢=0, 得唯一驻点x=10. 因为S ¢¢(10)-4<0, 所以x=10为极大值点, 从而也是最大值点. 当宽为5米, 长为10米时这间小屋面积最大. 9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V, 问底半径r和高h等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？ 解 由V=p r2h, 得h=Vp-1r-2. 于是油罐表面积为 S=2p r2+2p rh(0<x<+¥), . 令S ¢=0, 得驻点. 因为, 所以S在驻点处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为. 底直径与高的比为2r : h=1 : 1. 10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m2, 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？ 解 设矩形高为h , 截面的周长S, 则, . 于是 (), . 令S ¢=0, 得唯一驻点. 因为, 所以为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为时所用的材料最省. 11. 设有重量为5kg的物体, 置于水平面上, 受力F的作用而开始移动(如图). 设摩擦系数m=0.25, 问力F与水平线的交角a为多少时, 才可使力F的大小为最小？ 解 由F cos a =(m-Fsin a)m 得 (), , 驻点为 a = arctan m. 因为F 的最小值一定在内取得, 而F 在内只有一个驻点a = arctan m, 所以a=arctan m一定也是F 的最小值点. 从而当a=arctan0.25=14°时, 力F 最小. 12. 有一杠杆, 支点在它的一端. 在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体. 加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图). 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长? 解 设杆长为x (m), 加于杠杆一端的力为F, 则有 , 即. , 驻点为x=1.4. 由问题的实际意义知, F的最小值一定在(0, +¥)内取得, 而F在(0, +¥)内只有一个驻点x=1.4, 所以F 一定在x=1.4m处取得最小值, 即最省力的杆长为1.4m. 13. 从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角j取多大时, 做成的漏斗的容积最大？ 解 漏斗的底周长l、底半径r、高h 分别为 l=R×j, , . 漏斗的容积为 (0<j<2p). ，驻点为. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2p)内取得最大值, 而V 在(0, 2p)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当j 时, 漏斗的容积最大. 14. 某吊车的车身高为1.5m, 吊臂长15m, 现在要把一个6m宽、2m高的屋架, 水平地吊到6m高的柱子上去(如图), 问能否吊得上去？ 解 设吊臂对地面的倾角为j时, 屋架能够吊到的最大高度为h. 在直角三角形DEDG中 15sin j=(h-1. 5)+2+3tan j, 故 , . 令h¢=0得唯一驻点°. 因为, 所以j=54°为极大值点, 同时这也是最大值点. 当j=54°时, m. 所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m高, 现只要求水平地吊到6m处, 当然能吊上去. 15. 一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？ 解 房租定为x元, 纯收入为R元. 当x£1000时, R=50x-50´100=50x-5000, 且当x=1000时, 得最大纯收入45000元. 当x>1000时, , . 令R¢=0得(1000, +¥)内唯一驻点x=1800. 因为, 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R=57800. 因此, 房租定为1800元可获最大收入. 习题3-6 描绘下列函数的图形: 1. ; 解 (1)定义域为(-¥, +¥); (2), , 令y¢=0, 得x=-2, x=1; 令y¢¢=0, 得x=-1, x=1. (3)列表x(-¥, -2)-2(-2, -1)-1(-1, 1)1(1, +¥)y¢-0+0+y¢¢+0-0+y=f(x)È极小值È拐点Ç2拐点È (4)作图: 2. ; 解 (1)定义域为(-¥, +¥); (2)奇函数, 图形关于原点对称, 故可选讨论x³0时函数的图形. (3), , 当x³0时, 令y¢=0, 得x=1; 令y¢¢=0, 得x=0, . (4)列表x0(0, 1)1(1, )(, +¥)y¢+0-y¢¢0-0+y=f(x)0拐点Ç极大值Ç拐点È (5)有水平渐近线y=0; (6)作图: 3. ; 解 (1)定义域为(-¥, +¥); (2), 令y¢=0, 得x=1; 令y¢¢=0, 得, . (3)列表x1y¢+0-y¢¢+0-0+y=f(x)È拐点Ç1极大值Ç拐点È (4)有水平渐近线y=0; (5)作图: 4. ; 解 (1)定义域为(-¥, 0)È(0, +¥); (2), , 令y¢=0, 得; 令y¢¢=0, 得x=-1. (3)列表x(-¥, -1)-1(-1, 0)0y¢-无-0+y¢¢+0-无+y=f(x)È0拐点Ç无È极小值È (4)有铅直渐近线x=0; (5)作图: 5. . 解 (1)定义域为(n=0, ±1, ±2, × × ×) (2)是偶函数, 周期为2 p . 可先作0, p上的图形, 再根据对称性作出-p, 0)内的图形, 最后根据周期性作出-p, p以外的图形; (3), , 在0, p上, 令y¢=0, 得x=0, x=p ; 令y¢¢=0, 得. (4)列表x0py¢0+无+无+0y¢¢+无-0+无-y=f(x)1极小值È无Ç0拐点È无Ç-1极大值 (5)