全等三角形--知识梳理.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date全等三角形-知识梳理全等三角形 知识梳理 全等三角形 知识梳理一、知识网络二、基础知识梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS)三、典例赏析例1、如图： AD/BC,AB/CD你能找出其中的全等三角形吗？说明你的理由。解析：由AB/CD可得，由AD/BC可得，可得：，点评：通过间接条件得到直接条件，是解决问题时经常遇到的，目的是考查对知识的综合运用。你会做吗？变式1：改AD/BC,AB/CD为又如何？能得到一样的结论吗？变式2：若将“AD/BC,AB/CD”改为AD/BC，能得到一样的结论吗？例2、如图，平分于于，求证：证明：因为平分所以，因为所以所以，即是的平分线。因为所以（角平分线上的点到角边的距离相等）点评：本题主要应用了全等三角形的有关知识和角平分线性质，解决本题的关键是把要证明相等的两条线段看作一个平分线上的点到该角两边的距离。怎样添加辅助线作辅助线时应考虑以下几个方面：（1）充分利用条件，体现条件集中的原则，充分揭示题目中的各个条件间的不明显的关系；（2）恰当转化条件；（3）恰当转化结论下面举例说明例如图1，在ABC中，B=2C，BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC分析1： 因为B=2C，所以ACAB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，构造ABDAED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC即可转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC证明：在AC上取一点E，使得AB=AE，连结DE在ABD和AED中，AB=AE，BAD=DAE，AD=AD，ABDAED（SAS） BD=DE，B=AED又AED=EDC+C=B=2C， EDC=C ED=EC AB+BD=AC分析2： 因为B=2C，所以ABAC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造AEDACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC即可转化为证AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE证明：在AB的延长线上取一点E，使得AC=AE，连结DE在AED和ACD中，AE=AC，BAD=DAC，AD=AD， AEDACD（SAS）C=E又ABC=E+BDE=2C=2BDE， E=BDE BE=BD AB+BD=EAC分析3：若延长DB到点E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要证出ED=AC即可证明：延长DB到点E，使得AB=BE，连结AE，则有EAB=E，ABC=E+EAB=2E又ABC=2C， EC AE=AC又EAD=EAB+BAD=E+DAC=C+ DAC=ADE， AE=DE AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC评注：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上上述前两种方法实际上是通过翻折构造全等三角形,目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”这两种方法是证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法巧作辅助线，妙解题如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。试说明AD+BC=AB的理由。分析：此类问题在计算过程中，主要借助于三角形全等，根据全等三角形对应边相等，得出相关的等式，然后进行多次等量代换，就可以得出所要说明的结论。但是题目当中并没有全等三角形，应该作辅助线，可以有两种方法：一是截取法，二是延长法。解：第一种方法（截取法）：在AB上截取线段AF=AD，连结EF（如图2）。在ADE和AFE中所以ADEAFE（SAS）所以D=AFE因为ADBC，所以D+C=180°因为AFE+EFB=180°所以EFB=C在BEF和BEC中所以BEFBEC（AAS）所以BF=BC因为AB=AF+FB所以AB=AD+BC（等量代换）第二种方法（延长法）：延长线段AE和BC，相交于点F。因为ADBC，所以1=F，又因为1=2，所以2=F，在ABE和FBE中所以ABEFBE（AAS）所以AB=FB，AE=FE在ADE和FCE中所以ADEFCE（ASA）所以AD=FC因为FC+CB=FB所以AD+BC=AB（等量代换）-