第二类曲线积分的计算43131.doc

【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第二类曲线积分的计算43131.精品文档. 第二类曲线积分的计算定义 设,为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线上的函数,对任一分割,它把分成个小弧段；其中=.记各个小弧段弧长为,分割的细度为,又设的分点的坐标为,并记 , . 在每个小弧段上任取一点,若极限存在且与分割与点的取法无关,则称此极限为函数,在有向线段上的第二类曲线积分,记为或 也可记作 或 注：(1) 若记=,则上述记号可写成向量形式:.(2) 倘若为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,为定义在上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线的第二类曲线积分,并记为按照这一定义 , 有力场沿平面曲线从点到点所作的功为.第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二类曲线积分有 ,定积分是第二类曲线积分中当曲线为轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场沿空间曲线所作的功. 为空间曲线上的第二类曲线积分与第一类曲线积分的区别 首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是 第二类曲线积分就是 （1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的，是一小段弧的弧长，总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的坐标的增量，与是可正可负的。当积分的路径反向时，不变，而与反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。设曲线的参数方程为 则第一类曲线积分的计算公式为这里要注意，即对t的定积分中，下限比上限小时才有，也就有，这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿曲线上的点由A变到B，即t的下限对应曲线积分的起点A，他的上限对应曲线积分的起点A，t的上限对应终点B。历年真题1、设曲线，具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M和第四象限内的点N，为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的选项是(A) (B) (C) (D)(2007，数一，4分)【解析】设点，的坐标分别为，则有题设可知答案为B。2、计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段。 (2008，数一，9分)【解析】3、设是柱面与平面的交线，从轴正方向往轴负方向看去为逆时针方向，则曲线积分(2011，数一，4分)【解析】采用斯托克斯公式直接计算4、已知是第一象限中从点沿圆周到点,再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分(2012，数一，10分)【解析】5、已知的方程，起点为，终点为，计算曲线积分(2015，数一，10分)【解析】曲线L的参数方程为：