均值不等式练习题及答案.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date均值不等式练习题及答案标签:标题 均值不等式练习题及答案 均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件。 a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22 2. 若a,b?R，则 时取“=”） *a?b?ab 2若a,b?R，则a?b?*2ab ?2?* a?ba2?b2 ?ab?3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2 时等号成立。 平均数） 一、 基本技巧 技巧1：凑项 例 已知x? 技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。x?5 x2?7x?10的值域。 例 求y?x?1 技巧3：利用函数单调性 例 求函数y?2的值域。 技巧4：整体代换 例 已知x?0,y?0，且 19?1，求x?y的最小值。 xy 典型例题 1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 ?a?b?22. 已知x0,y0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd 是 A.0 B.1 C. D. 23. 若不等式x+ax+40对一切x平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是ab A.1B. C.4 D.3+22 5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 . 6. 已知x,y?R?，且满足xy?1，则xy的最大值为34 ab11?的最小值为 ab 1A B C 1 D 7. 设a?0,b? 0.3与3的等比中项，则 8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.65 9. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 ab?1； ； a2?b2?2；a3?b3?3； 11?ab 210.设ab0，则a?11?的最小值是 abaa?b1234 11.下列命题中正确的是 12A、y?x?的最小值是B 、y?的最小值是x C、y?2?3x?4 x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y的最小值是_ 、y?2?3x?4x的最小 均值不等式应用 一均值不等式 1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab 2. 若a,b?R*，则 a?b2 ? * ? a?b2 22 a?b时取“=”） ab 若a,b?R，则a?b?2 2 ab a?b?若a,b?R，则ab?） ? ? 2 a?b2 注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” 求最值的条件“一正，二定，三取等” 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 y3x解：y3x 11 yxxx 1 3x 值域为，+） 2x 1 x· 2； x 1 x· =2 x 1 22x1 当x0时，yxx 11 当x0时， yx= 2 xx 值域为 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知x? 54 ，求函数y ?4x?2? 14x?5 的最大值。 1 解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x? 54 ,?5?4x?0，?y?4x?2? 1 4x?5 不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项， ?2?3?1 ?3? 1? ?5?4x? 4x?55?4x? 当且仅当5?4x? 15?4x ，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求y?x的最大值。 解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x?8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。 当 ，即x2时取等号 当x2时，y?x的最大值为8。 32 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设0?x? ，求函数y?4x的最大值。 3 2 2x?3?2x?9 解：0?x?3?2x?0y?4x?2?2x?2? 222? 当且仅当2x?3?2x,即x? 3 ?3? ?0,?时等号成立。?2? 技巧三： 分离 例3. 求y? 的值域。 x?1 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。 x?7x?10 2 当 ,即 时 ,y?5?9。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。 y? ?7?g恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 ?B， g 当,即t=时 ,y?技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f?x? 2 ax 的单调性。 例：求函数y?的值域。 解：令 ?t，则y? 1t 2 ?t? 1t 因t?0,t?1，但t?因为y?t? 1t 1t 解得t?1不在区间?2,?，故等号不成立，考虑单调性。 52 在区间?1,?单调递增，所以在其子区间?2,?为单调递增函数，故y? ?5 ? 。 所以，所求函数的值域为?,?。 ?2 练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. y? x?3x?1 x 2 , y?2x? 1x?3 ,x? y?2sinx? 23 1sinx ,x? 2已知0?x? 1，求函数y?条件求最值 的最大值.；30?x? ，求函数y?. 1.若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a?3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解：a和3b都是正数，3a?3b23?3?23 a b a?b ?6 当3a?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是6 变式：若log4x?log4y?2，求 1x ? 1y 的最小值.并求x,y的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。：已知x?0,y?0，且 1x? 1x 9y 9y ?1，求x?y的最小值。 ?1?x 9? ? x?y?y? 错解：?x?0,y?0，且 ? ?1，?x?y? ? ?1 故 ?x?y?min 9y ?1。 错因：解法中两次连用均值不等式，在x?y?x? y，在1 x ?条件是 1x ? 9y 即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出 等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：?x?0,y?0, 1x?9 ?19?y9x ?10?6?10?1?1，?x?y?x?y? xyxyy? 当且仅当 yx ? 9xy 时，上式等号成立，又 ? 1x ? 9y ?1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?1。 1y 变式： 若x,y?R且2x?y?1，求1 x ? 的最小值 ? 已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y的最小值 xy y2 技巧七、已知x，y为正实数，且x1，求y 的最大值. 2 ab 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。 2 2 2 1 y 中y前面的系数为 ， y x 2 2 2 1y2· x· 21y 22 下面将x， 1y 分别看成两个因式：2 x2x2223 即y ·x 224 2 1y3 24 1 的最小值. ab 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 302b302bb30b 法一：a ，ab ·b b1b1b1由a0得，0b15 2t34t311616 令tb+1，1t16，ab234t2 ttt 1 ab1 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。 18 法二：由已知得：30aba2b a2b2ab0abab令uab则u2u300， 5u3 1 3，ab18，y18点评：本题考查不等式 a?b2 ? ab的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等 ? t· 16 t 式ab?a?2b?30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?b与ab之间的关系，由此想到不等式 a?b2 ? ab，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围. ? 变式：1.已知a>0，b>0，ab1，求ab的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数Wx y 的最值. abab 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单 22 3x y 22y ）x2y 25 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W0，W23x2y2x y 102x y 10 2·1020 W20 2 变式: 求函数y ? 12?x? 52 )的最大值。 解析：注意到2x?1与5?2x的和为定值。 y ?2 ?4?4?8 32 2 又y?0，所以0?y?当且仅当2x?1=5?2x，即x? 时取等号。故ymax? 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 应用二：利用均值不等式证明不等式 1已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a 2 ?b?c 22 ?ab?bc?ca 1）正数a，b，c满足abc1，求证：8abc 例6：已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求证：? ?1 ?1?1? ?1?1?1?a?b?c? 分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘， 又 1a?1? 1?aa ?b?ca ?a 1a 1?aa b?ca a 解：?a、b、c?R?，a?b?c?1。 ? ?1? 。同理 1b ?1? b ，?1? c 1c 。 上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1?1?1?1?a?b?c?。当且仅当时取等号。 ?1?1?1?8? 3abcabc? 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x?0,y?0且 1x?9y ?1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。 解：令x?y?k,x?0,y?0, 10k 3k 1x ? 9y ?1，? x?ykx ? 9x?9yky ?1.? 10k ? ykx ? 9xky ?1 ?1?2? 。?k?1，m?,16? 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a?b?1,P? lga?lgb,Q? 12 ,R?lg，则P,Q,R的大小关系是分析：a?b?1 lga?0,lgb?0 Q? 12 且ab，下列各式中最大的是 a+bab2aba+b2 2xR，下列不等式恒成立的是 Ax+1xB21224x x2?1 3已知x+3y-1=0，则关于2x?8y的说法正确的是 有最大值 有最小值22有最小值 有最大值22 4设实数x，y，m，n满足x+y=1，m+n=3那么mx+ny的最大值是 5设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是 a3+b32ab2aba+b+22a+2b 6下列结论正确的是 A当x>0且x1时，lgx+a?b?a?b 11B当x>0时，x+lgxx C当x2时，x11 2D当0 7若a、b、c>0且a+bc=4?2，则2a+b+c的最小值为 A?1 B3?1C23?D2?2 二填空题： 8设x>0，则函数y=24x的最大值为；此时x的值是 。 x 9若x>1，则log2xlogx2的最小值为；此时x的值是 。 x2?x?410函数y=在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_ x?1 x2 11函数f=4的最大值是 ；此时的x值为 _ x?2 三解答题： 12函数y=loga1的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求11?mn的最小值为。 13某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为多少吨？ 14已知x,y且xy1，求s= 312的最小值。 ?223?x12?y 参考答案： 一选择题： 2222221D解析：只需比较a+b与a+b。由于a、b，a 2B 3B解析：2?82?2xyx3y?222x3y?2x?3y 222 4。A解法一：设x=sin，y=cos，m=sin，n=cos，其中，其他略。 解法二、m+n=3?2?212x2+y22?2 3mx+ny。 5B解析： A、C由均值不等式易知成立；D中，若a 6B解析： A中lgx不一定为正；C中等号不成立；D中函数为增函数，闭区间上有最值。故选B。 7D 22222解析：=4a+4ab+4ac+2bc4a+2bc+4ab+4ac+2bc =4=4a+bc=44当且仅当b=c时等号成立。最小值22 为23?2。 二填空题： 82，2 92，2 x2?x?444?15，当且仅当x=3时等号成立。 10 。解析：y=x?x?1x?1x?1 112x2 ?11。解析：f=4，此时x2。x?2x2?222 x2 三解答题： 12解析：y=logax恒过定点，y=loga1恒过定点，-2m-n+1=0，即2mn1，1111n4m?22?8，最小值为8。 mnmnmn 13解析：设一年的总运费与总存储费用之和为y，则y? x=20时等号成立。最小值为160。001600?4?4x?2?4x160，当且仅当xx 14解析：s=312?3?x212?y22361222912?y)12237?12 137?236?12。评注：两次等号成立的条件都一样。-