第3章 机械振动与机械波.doc

【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第3章 机械振动与机械波.精品文档.第3章 机械振动与机械波3-1判断下列运动是否为简谐振动？（1） 小球沿半径很大的水平光滑圆轨道底部小幅度摆动；（2） 活塞的往复运动；（3） 质点的运动方程为（4） 质点的运动方程为（5） 质点摆动角度的微分方程为 答：（1）是简谐振动，类似于单摆运动；（2）不是简谐振动； （3）是简谐振动，为同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成； （4）不是简谐振动，为不同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成； （5）不是简谐振动。3-2物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12，周期T=2。当时，物体的位移x=0.06，且向x轴正方向运动。求：(1)此简谐振动的表达式；(2)时物体的位置、速度和加速度；(3)物体从向轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间。解：（1）设此简谐振动的表达式为：，则振动速度,振动加速度由题意可知：m，s，则(rad/s) 又因为时m且，把初始运动状态代入有： ，则 又因为时，所以时 故此简谐振动的表达式为： m(2) 把代入简谐振动表达式：（m） 把代入简谐振动速度表达式：(m/s) 把代入简谐振动加速度表达式：(m/s2)(3) 由旋转矢量法可知，物体在向轴负方向运动时，相位为，而物体从向轴负方向运动第一次回到平衡位置时，相位为，旋转的角度，则所需的时间为：=0.83(s)k2v习题3-3 图3-3 如图示，质量为的子弹以速度水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动。设弹簧的劲度系数，木块的质量为，桌面摩擦不计，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程。解：（1）子弹进入木块后，与木块一起做简谐振动，子弹与木块的作用时间短，在水平方向动量守恒且弹簧没有形变，设子弹进入木块后木块的位置为坐标原点，水平向右的方向为正方向，子弹进入木块后与木块的共同速度为，则，代入数据得：(m/s)，子弹与木块相互作用时，弹簧没有形变，即该简谐振动的初始位置，弹簧简谐振动的圆频率，代入数据得：(rad/s)，所以代入数据得：m。(2) 由时，且向X轴的正方向运动，所以，所以振动方程为： m34一重为p的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的劲度系数标明在图上。试求图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率。解：a图中两弹簧是串联的，总劲度系数， 弹簧振子的固有频率为。b图中两弹簧是并联的，总劲度系数，弹簧振子的固有频率为。CRmgO3-5 一匀质细圆环质量为，半径为，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期。解：设转动轴与细圆环的交点为坐标原点，过原点的竖直轴为Y轴，由转动轴定理可知，该圆环的小幅度摆动的平衡位置为圆环的质心在Y轴时，由平行轴定理可知，圆环对通过环上一点而与环平面垂直的水平轴的转动惯量为：把圆环沿逆时针方向拉离平衡位置转动，则圆环对转轴的重力矩为，方向为增大的反方向，由转动轴定理：，即，由于环做小幅度摆动，所以sin，可得微分方程，摆动的圆频率为：，周期为：3-6 横截面均匀的光滑的U型管中有适量液体如图所示，液体的总长度为L，求液面上下微小起伏的自由振动的圆频率。解：如图所示建立坐标，两边液面登高时为坐标原点，向上为Y轴正方向，左边液面上升y，则右边液面下降y，U型管的横截面面积为，液体的密度为，则左右液面的压力差为：，方向为Y轴的负方向，由牛顿第二定律：可知，即，故液面上下微小起伏的运动为简谐振动，其振动的圆频率3-7 如图一细杆AB一端在水平槽中自由滑动，另一端与连接圆盘上，圆盘转轴通过o点且垂直圆盘和OX轴，当圆盘以角速度做匀速圆周运动时，写出槽中棒端点B的振动方程，自行设计参数，利用mathematica软件或matlab软件画出振动图线。解：在óAOB中，AB长度不变，设为l，圆半径OA不变设为R，OA与OB的夹角设为，则B点的坐标x满足关系式：上式表明，x是时间t的周期函数，但不是谐振动函数。取,画图如下。3-8质量为kg的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作振动，式中以秒计，以米计。求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；（2）振动的速度、加速度的最大值；（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；画出这振动的旋转矢量图，并在图中指明、2、10等各时刻的矢量位置。解：（1）由振动的运动学方程可知：振幅m，圆频率rad/s，周期(s)，初相位。（2）振动的速度：，振动速度的最大值为：(m/s)，振动的加速度：，振动加速度的最大值为：(m/s2)（3）最大回复力：(N)，振动能量：(J)平均动能和平均势能：(J)3-9 质量为的物体，在弹性力作用下作简谐振动，劲度系数，如果开始振动时具有势能和动能，求：（1） 振幅多大？经过平衡位置的速度。（2） 位移为多大时，动能恰等于势能？解：（1）简谐振动能量守恒，其总能等于任意时刻的动能与势能之和，即，所以振幅(m)，在平衡位置时，弹簧为原长（假设弹簧座水平方向谐振动），此时只有动能，即(J)，所以速度(m/s).（2）要使(J)，即(J)，则位移(m)。3-10 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅简谐振动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的位相差，并作旋转矢量图表示之。解：设它们的振动方程为，OxA当时，可得位相为由于它们在相遇时反相，可取它们的相差为，同理当时，可得位相为，它们的相差为矢量图如图所示3-11 已知两个同方向简谐振动如下：（1） 求它们合成振动的振幅和初位相；（2） 另有一同方向简谐振动，问为何值时，的振幅为最大？为何值时，的振幅为最小？为何值时，的振幅最小？解：（1）由同频率、同方向的简谐振动合成可知：，其中m，m，所以它们的合振动振幅为：m，它们合振动的初相位：。（2）由同频率、同方向的简谐振动合成可知，同相位振动，其合成振幅最大；反相位振动，其合成振幅最小。所以要使的振幅为最大，则；要使的振幅为最小，则时；要使的振幅最小，则。3-12 三个同方向，同频率的简谐振动为,求：（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式；（2）合振动由初始位置运动到所需最短时间（为合振动振幅）。解：（1）合振动的圆频率为(rad/s)，(m)，根据公式得(m）合振幅为：= 0.16(m)，初位相为：。 合振动的方程为：（2）当时，可得，解得或由于，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为t = 0.0125(s)313 将频率为的标准音叉振动和一待测频率的音叉合成，测得拍频为，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率。01212解：标准音叉的频率为：(Hz)，拍频为：(Hz)，待测音叉的固有频率可能是：(Hz)，也可能是：(Hz)。在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于，可知其频率将减小如果待测音叉的固有频率，加一小块物体后，其频率将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率，即387Hz。3-14 火车提速是社会发展的必然趋势。假如你是火车提速的决策者之一，试问：从物理学角度，你会考虑哪些问题？答：铁轨的抗震能力、铁轨与火车共振时铁轨的耐压力等。3-15 说明以下几组概念的区别和联系： (1) 振动和波动；（2）振动曲线和波动曲线；（3）振动速度和波动速度；解：（1）振动是物体在平衡位置做往复运动；波动是振动在介质中的传播； （2）振动曲线表示的是物体运动的位移随时间函数关系，用曲线表示；波动曲线表示的某一时刻不同质元离开平衡位置的位移，用曲线表示。 （3）振动速度是描述物体运动的快慢，用表示；波动速度表示振动传播的的快慢，与介质和波的类型有关。3-16 已知一波的波函数为()（1）求波长、频率、波速及传播方向；（2）说明时波函数的意义,并作图表示。解： （1）与波函数的标准方程进行对比可知：波长(m)，t/sy/cm500.10.20.3频率(Hz)，波速(m)，传播方向沿X轴的正方向。（2）当时波动方程就成为该处质点的振动方程：振动曲线如图3-17 已知波的波函数为（SI）（1）写出时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点？（2）画出时的波形曲线。解：（1）波峰位置时，则时，波峰位置的坐标为：；当时，为离原点最近的波峰位置。由波函数为可知波速为m/s，则该波从坐标原点传播到所用时间为(s)，该波峰在s时通过坐标原点。（2），该波动函数为：A-Au0.15 555555555555Ox/my/m3-18 一平面波在介质中以速度 m·s-1沿负方向传播。已知在传播路径上的某点的振动方程为。（1）如以点为坐标原点，写出波函数；（2）如以距点5米处的点为坐标原点，写出波函数；（3）计算B、C两点振动的相差。解：（1）以A点为坐标原点，波动方程为：（2）以B点为坐标原点，波动方程为：（3）以A点为坐标原点，则m、m，、两点的振动方程分别为则、两点的振动的相差为：。3-19 一列简谐波沿轴正向传播，在，时刻的波形如图所示。试求：(1)点的振动表达式；(2)波动表达式；(3)画出点的振动曲线。解：（1）设P点的振动方程为：由题设可知：振幅m，波长m，由、时刻的波形图，可知该波在s内，波向右传播了，则可知该波的周期s，波速m/s，波的圆频率rad/s。当时，即，由于波沿x轴正向传播，所以P点在此时向上运动，速度大于零，所以P点的振动表达式为：（2）P点的位置是m，所以波动方程为：t/sy/m0.2O0.51（3）在x = 0处的振动方程为：曲线如图所示3-20一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅、圆频率分别为A和，波速为U，设t0时的波形曲线如图所示。（1）写出波函数 求距0点分别为/8，和3/8两处质点在t0时的振动速度。解：（1）设该波的波函数为：，由时刻的波形图可知，且向下振动，故，所以波函数为：（2）振动速度：，把、和、分别代入振动速度表达式，则有：3-21 一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅A=10cm，波的圆频率=7rad·s-1，当t=1.0s时，x=10cm处的a质点正通过其平衡位置向Y轴负方向运动，而x=20cm处的B质点正通过Y=5.0cm点向Y轴正方向运动。设该波的波长10cm，求该平面波的表达式。解：由题意和旋转矢量法可知在s时，质点的相位为，质点相位为，、两质点为相差为，所以该波的波长：，即cm，设该平面波的的表达式为：，因为s时，质点的相位为，所以，所以该平面波的的表达式为：3-22 一简谐波沿正向传播，波长，周期，已知处质点的振动曲线如图所示。（1）写出处质点的振动方程；（2）写出波的表达式；（3）画出时刻的波形曲线。解：（1）设处的质点的振动方程为：，其中，由振动曲线图可知，当时，因此，且时，处质点向下振动，即，所以x/my/m1O-10.5u2/3所以处的质点的振动方程为：。（2）波的表达式为：（3）时刻的波形方程为：，波形曲线如图所示3-23 比较简谐振动能量与简谐波波动能量特征，若简谐波传播时某体积元的的动能为0.2J,则势能多少？总能量多少？答：简谐振动的能量守恒，即振动的动能与势能的代数和不变；而简谐波传播时某体积元的动能与势能总是相等，固当某质元的动能为时，其势能也为，其总能为动能与势能的代数和，即。3-24 一平面简谐声波在空气中传播，波速，频率为。到达人耳时，振幅，试求人耳接收到声波的声强的大小？此时声强相当于多少分贝？已知空气密度。解：质点的圆频率为：(rad/s)，声波的平均能量密度为：(J/m3)，平均能流密度为：(W/m2)，标准声强为：(W/m2)，此声强的分贝数为：(dB)。3-25 与为两相干波源，光强均为I0,相距波长，比的位相超前。问、连线上在外侧各点的合成波的光强如何？又在外侧各点的光强如何？xS1xS2/4x解：合成波的光强正比于振幅的平方，即如图所示，设S1在其左侧产生的波的波动方程为：那么S2在S1左侧产生的波的波动方程为：由于两波源在任意点x产生振动反相，所以合振幅为零，所以合成波的光强为0。S1在S2右侧产生的波的波动方程为：，那么S2在其右侧产生的波的波动方程为：由于两波源在任意点x产生振动同相，所以合振幅为单一振动的两倍，所以合成波的光强为。3-26 简述驻波的形成条件和特点（提示：突出驻的含义）；查找资料，探索驻波在本专业的应用有哪些？答：在同一介质中两列振幅相同的相干波，沿同一直线相向传播时，产生特殊的干涉现象，叠加形成的波叫驻波。驻波没有波形和能量的传播，其实质为各质元做振幅不等的简谐振动，振幅最大的质元位置为波腹，振幅最小的质元位置为波节，波腹只有动能，波节只有势能，能量只在相邻波节与波腹间相互转化。3-27 一条琴弦上产生驻波，相邻节点间的距离为65cm，弦的振动频率为，求波的传播速度和波长。解：相邻波节之间的距离为，所以波长(cm)，波速：(m/s)3-28 两波在一很长的弦线上传播，设其表达式为用厘米、克、秒（cm、g、s）制单位，求： （1）各波的频率、波长、波速；（2）节点的位置；（3）在哪些位置上，振幅最大？解：（1）对比波函数的标准形式：可知，波的频率：(Hz)；波长：(cm)；波速：(cm/s)。（2）驻波方程为：波节位置为：，则(cm), 其中（3）振幅最大的位置即为波腹位置：，则(cm)， 其中3- 29 海面上波浪的波长为120m，周期为10s。一只快艇以24m/s的速度迎浪开行，它橦击海浪的频率是多大？多长时间橦击一次？如果它顺浪开行，它橦击海浪的频率又是多大？多长时间橦击一次？解：海浪的波速：(m/s)，海浪的频率：(Hz)，快艇迎浪开行，则撞击海浪的频率为：(Hz)，撞击间隔：(s)；快艇顺浪开行，则撞击海浪的频率为：(Hz)，撞击间隔：(s)；3-30 一声源的频率为1080Hz，相对地面以30m·s-1速率向右运动。在其右方有一反射面相对地面以的速率向左运行。设空气中声速为。求：（1）声源在空气中发出的声音的波长；（2）反射回的声音的频率和波长。解：（1）声音在声源垂直方向的波长为：(m)，在声源前方的波长为：(m)，在声源后方的波长为：(m)。（2）反射面接收到的频率为：= 1421(Hz)将反射面作为波源，其频率为，反射声音的频率为= 1768(Hz)反射声音的波长为：=0.1872(m)。3-31 动脉内血液的流速一般是0.32m/s，今沿血流方向发射4.0MHz的超声波，该红血球反射的回波振动与原发波振动所形成的拍频是多少？已知声波在人体内的传播速度为。解：红血球接收到的超声波频率为：(Hz)红血球作为反射源反射回的超声波频率为：(Hz)拍频：（(Hz)