第六章 二次型总结.doc
【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第六章 二次型总结.精品文档.第六章 二次型（一般无大题）基本概念1. 二次型: 个变量的二次齐次函数称为元二次型,简称二次型. 其中,则因此，二次型也记,称为二次型f的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵的秩称为二次型的秩，记作R（f）=R（A）.例题：写出下列二次型的矩阵：（p书126例6.1）2.合同矩阵的定义及性质2.1合同矩阵定义设均为阶方阵，若存在可逆矩阵，使得，则称矩阵与合同，记.实对称矩阵与合同的充要条件是二次型与有相同的正,负惯性指数.(A的正, 负惯性指数：A的特征值的个数)合同是矩阵之间的另一种关系，它满足（1）反身性，即；（2）对称性，即若，则有；（3）传递性，若和，则有因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 在数域中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.2.2 合同矩阵的性质性质1 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.性质2 在数域上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.性质3 矩阵合同与数域有关.例2 设均为数域上的阶矩阵,若合同，则,反之，若,问在上是否合同？证 若与合同，即存在可逆矩阵，使.由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故与有相同的秩.反之，若，则与在上不一定合同.例如，方阵=，=的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同.例3 设=，=，证明：如果与合同，与合同，则与合同.证 由于与合同，与合同，故存在满秩矩阵，使得，于是令，则有，即与合同.23 合同矩阵的判定定理1 两复数域上的阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩.定理2 两实数域上的阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差.2.4矩阵与合同矩阵的等价条件定理1 如果与都是阶实对称矩阵，且有相同的特征根.则，既相似又合同.定理2 若阶矩阵，中有一个是正交矩阵，则与相似且合同.定理3 若与相似且合同，与相似且合同，则与相似且合同.例5 已知=，=，=，试判断，中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同？分析矩阵的秩和矩阵,的秩不等，则不可能与，相似或合同，只有讨论， 了.解的秩为3，而，的秩为2，故和，既不相似又不合同.又的迹是8，而的迹是6，不相等，故和不相似，最后，是对称矩阵，而不是，所以，和也不合同.所以，矩阵，相互之间既不相似又不合同.3.二次型的标准型, 规范性标准型: 二次型经过合同变换化为称为的标准形.(在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,与所作的合同变换有关,但系数不为零的平方项的个数由唯一确定)规范形: 任一实二次型都可经合同变换化为规范形,其中为的秩, 为正惯性指数，为负惯性指数，且规范型唯一。4.化二次型为标准型方法(1) 配方法（任何二次型都可可由此化为标准型）如果二次型中至少含有一个平方项,不妨设,则对所有含有的项配方,经配方后所余各项中不再含有, 如此继续, 直至每一项都包含在各完全平方项中, 引入新变量,由, 得例：p书131例6.4如果二次型中不含平方项,只有混合项,不妨设, 则可令, ,然后按的方法继续做.例：p书131例6.5(2) 正交变换法设是阶实对称矩阵, 按以下步骤进行: 求出的全部特征值. 对每个(),求出的一个基础解系; 将正交化,单位化,得,它是单位正交向量组,而且是的属于的线性无关的特征向量. 以, 列向量, 构造出正交矩阵, 即为所求正交变换矩阵,使为对角矩阵. 再利用正交变换x=Py，二次型可化为标准型f=1y12+ 2y22+ nyn2,其中i为对角矩阵的对角元素，也为的全部特征值.因为对角矩阵的位置任意性，故二次型化为标准型的答案不唯一.例4 用正交变换化二次型为标准形. 解 f的矩阵为 A的特征多项式为A的特征值为（二重）, 可得A对应于的两个线性无关特征向量为显然已经正交. 得A对于的特征向量为将 ， ，作正交变换则. 例5 已知二次型通过正交变换化成标准形. （1）求参数a及所用的正交变换矩阵； （2）表示什么曲面？ 解 二次型f的矩阵为A的特征多项式为 由题设可知A的特征值为将代入, 得因, 故取, 这时, . 对于, 解, 即解得对应的特征向量为. 对于, 解, 即得对应的特征向量为. 对于, 解, 可得对应的特征向量为. 将单位化：故所用正交变换的矩阵为； （2）当时, 是椭球面. 例6 设二次型经正交变换化成.其中, , P是三阶正交矩阵. 试求常数a, b. 解 二次型f经变换前后的矩阵分别为故二次型f可写为由于且P为正交矩阵, 故且, 因此即等价于由此式可得为所求的常数. 注1：对于同一个二次型来说，他的标准型不唯一；注3：对二次型所有标准型当中所含有的项数是一致的，所含的正系数的个数也唯一.5. 二次型的正定性及正定矩阵(1) 如果实二次型，对任意一组不全为零的实数，都有，则称该二次型为正定二次型，正定二次型的矩阵称为正定矩阵。(2) 惯性定律设有实二次型 ，它的旨为r，有两个实可逆变换 x=Cy，及x=Pz使 及 则 中正数的个数相等.(3) 二次型正定的判别法：实二次型正定的充要条件是以下条件之一成立： 二次型的标准型中的n个系数全为正，即正惯性指数为； 的特征值全大于零； 的所有顺序主子式全大于零； 存在可逆矩阵，使 存在正交矩阵，使，, (4) 对称阵a正定的充要条件是：a的各阶顺序主子式都为正；对称阵a负定的充要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正.注：设为n阶矩阵，由的前k行和前k列构成k阶子式，成为矩阵的k阶顺序主子式.例1 用配方法化二次型为标准形, 并判断f的正定性 解 先将含x1的各项合并在一起, 配成完全平方, 再接着处理. 令（5-1）得二次型的标准形为因f的正惯性指数小于3, 故f非正定二次型. 例3 求l的值, 使二次型是正定的, 并讨论的情况. 解 f的矩阵为f正定的充要条件是A正定, 而A正定的充要条件是A的各阶顺序主子式全大于零. A的各阶顺序主子式为由以上各式可知, 当时, A的各阶顺序主子式全大于零, 此时A正定, 因而f正定. 当时, A的各阶顺序方子式非负, 此时f为半正定. 当时, A的各阶顺序主子式符号不确定, 此时f是不定的. 例4 设二次型问l取何值时, f为正定二次型？ 解 f的矩阵为 f正定的充要条件是A的顺序主子式全大于零. 事实上, A的顺序主子式为： 于是, f正定的充要条件是且. 联解不等式组：可得. 当时, f正定.
