因动点产生的平行四边形问题(中考压轴题).doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date因动点产生的平行四边形问题(中考压轴题)因动点产生的平行四边形问题因动点产生的平行四边形问题例 1 2012年福州市中考第21题如图1，在RtABC中，C90°，AC6，BC8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/BC，交AB于点D，联结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接用含t的代数式分别表示：QB_，PD_；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ/AB时，四边形PDBQ为菱形请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ/AB时，四边形PDBQ为菱形点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.思路点拨1菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在ABC的平分线上，PQ/AB先求出点P运动的时间t，再根据PQ/AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度2探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径满分解答（1）QB82t，PD（2）如图3，作ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ/AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形过点P作PEAB，垂足为E，那么BEBC8在RtABC中，AC6，BC8，所以AB10 图3在RtAPE中，所以当PQ/AB时，即解得所以点Q的运动速度为（3）以C为原点建立直角坐标系如图4，当t0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)如图5，当t4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)直线EF的解析式是y2x6如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）经验证，点M（，t）在直线EF上所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t2时，PQ的中点为(2，2)设点M的运动路径的解析式为yax2bxc，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得 解得a0，b2，c6所以点M的运动路径的解析式为y2x6例 2 2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A为顶点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值图1动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，ACG的面积最大观察右图，我们构造了和CEQ中心对称的FQE和ECH，可以体验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H，因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，即t=2，ACG的面积取得最大值1观察CQ，EQ，EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。思路点拨1把ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD2用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答（1）A(1, 4)因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为ya(x1)24，代入点C(3, 0)，可得a1所以抛物线的解析式为y(x1)24x22x3（2）因为PE/BC，所以因此所以点E的横坐标为将代入抛物线的解析式，y(x1)24所以点G的纵坐标为于是得到因此所以当t1时，ACG面积的最大值为1（3）或考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE/QC，FEQC，所以四边形FECQ是平行四边形再构造点F关于PE轴对称的点H，那么四边形EHCQ也是平行四边形再根据FQCQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQCQ列关于t的方程，检验四边形EHCQ是否为菱形，如图2，当FQCQ时，FQ2CQ2，因此整理，得解得，（舍去）如图3，当EQCQ时，EQ2CQ2，因此整理，得所以，（舍去）图2 图3例 3 2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MOMA二次函数yx2bxc的图象经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据MOMA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m满分解答（1）当x0时，所以点A的坐标为(0，3)，OA3如图2，因为MOMA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为将代入，得x1所以点M的坐标为因此（2）因为抛物线yx2bxc经过A(0，3)、M，所以解得，所以二次函数的解析式为（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AECD，垂足为E在RtADE中，设AE4m，DE3m，那么AD5m因此点C的坐标可以表示为(4m，32m)将点C(4m，32m)代入，得解得或者m0（舍去）因此点C的坐标为（2，2） 图2 图3考点伸展如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点C的坐标为图4 例4 2011年江西省中考第24题将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“11江西24”，拖动点M向左平移，可以体验到，四边形ANEM可以成为矩形，此时B、D重合在原点观察B、D的位置关系，可以体验到，B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况思路点拨1把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来2B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程3根据矩形的对角线相等列方程满分解答（1）抛物线c2的表达式为（2）抛物线c1：与x轴的两个交点为(1，0)、(1，0)，顶点为抛物线c2：与x轴的两个交点也为(1，0)、(1，0)，顶点为抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB2抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、所以AE(1m)(1m)2(1m)B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE6所以2(1m)6解得m2情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE3所以2(1m)3解得图2 图3 图4如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AEMN2OM而OM2m23，所以4(1m)24(m23)解得m1（如图4）考点伸展第（2）题，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB2，AB边上的高为，所以ABM是等边三角形同理DEN是等边三角形当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合因为起始位置时BD2，所以平移的距离m1例5 2010年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10河南23”，拖动点M在第三象限内抛物线上运动，观察S随m变化的图象，可以体验到，当D是AB的中点时，S取得最大值拖动点Q在直线yx上运动，可以体验到，以点P、Q、B、O为顶点的四边形有3个时刻可以成为平行四边形，双击按钮可以准确显示思路点拨1求抛物线的解析式，设交点式比较简便2把MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA3当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程满分解答(1) 因为抛物线与x轴交于A(4,0)、C(2,0)两点，设ya(x4)(x2)代入点B(0,4)，求得所以抛物线的解析式为(2)如图2，直线AB的解析式为yx4过点M作x轴的垂线交AB于D，那么所以因此当时，S取得最大值，最大值为4(3) 如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ/OB，PQOB4设点Q的坐标为，点P的坐标为当点P在点Q上方时，解得此时点Q的坐标为（如图3），或（如图4）当点Q在点P上方时，解得或（与点O重合，舍去）此时点Q的坐标为(4,4) （如图5） 图3 图4 图5考点伸展在本题情境下，以点P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗？如图6，Q(2,2)；如图7，Q(2,2)；如图8，Q(4,4) 图6 图7 图8例6 2010年山西省中考第26题在直角梯形OABC中，CB/OA，COA90°，CB3，OA6，BA分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD5，OE2EB，直线DE交x轴于点F求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10山西26”，拖动点M可以在直线DE上运动分别双击按钮“DO、DM为邻边”、“ DO、DN为邻边”和“DO为对角线”可以准确显示菱形思路点拨1第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础2讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边满分解答(1)如图2，作BHx轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OHCB3在RtABH中，AH3，BA，所以BH6因此点B的坐标为(3,6)(2) 因为OE2EB，所以，E(2,4)设直线DE的解析式为ykxb，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，所以直线DE的解析式为(3) 由，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF10，DF如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点此时点M的坐标为(5,)，点N的坐标为(5,)如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO5，延长MN交x轴于P由NPODOF，得，即解得，此时点N的坐标为 图3 图4 考点伸展如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形 图5 图6例 7 2009年福州市中考第21题如图1，等边ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EHAC于H，过E作EFAC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PEEB设ECx（0x2）（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含的代数式表示）；（3）当（2）中 的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围图1动感体验 请打开几何画板文件名“09福州21”，拖动点E在BC上运动，观察面积随x变化的图象，可以体验到，当E是BC的中点时，平行四边形EFPQ的面积最大，此时四边形EFPQ是菱形拖动点M在BC的垂直平分线上运动可以改变E的大小，可以体验到，E与平行四边形EFPQ四条边交点的总个数可能为2，4，6，3，0思路点拨1如何用含有x的式子表示平行四边形的边PQ，第（1）题作了暗示2通过计算，求出平行四边形面积最大时的x值，准确、规范地画出此时的图形是解第（3）题的关键，此时点E是BC的中点，图形充满了特殊性3画出两个同心圆可以帮助探究、理解第（3）题：过点H的圆，过点C的圆满分解答（1）BE、PE、BF三条线段中任选两条（2）如图2，在RtCEH中，C60°，ECx，所以因为PQFEBE4x，所以（3）因为，所以当x2时，平行四边形EFPQ的面积最大此时E、F、P分别为ABC的三边BC、AB、AC的中点，且C、Q重合，四边形EFPQ是边长为2的菱形（如图3） 图2 图3过点E点作EDFP于D，则EDEH如图4，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是2个时，0r；如图5，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是4个时，r； 如图6，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是6个时，r2；如图7，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是3个时，r2时；如图8，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是0个时，r2时 图4 图5 图6 图7 图8考点伸展本题中E是边BC上的动点，设ECx，如果没有限定0x2，那么平行四边形EFPQ的面积是如何随x的变化而变化的？事实上，当x2时，点P就不存在了，平行四边形EFPQ也就不存在了因此平行四边形EFPQ的面积随x的增大而增大例8 2009年江西省中考第24题如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系图1动感体验 请打开几何画板文件名“09江西24”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，四边形PEDF可以成为平行四边形观察BCF的形状和S随m变化的图象，可以体验到，S是m的二次函数，当P是BC的中点时，S取得最大值思路点拨1数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长2当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程3把BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB满分解答（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是x1（2）直线BC的解析式为yx3把x1代入yx3，得y2所以点E的坐标为（1，2）把x1代入，得y4所以点D的坐标为（1，4）因此DE=2因为PF/DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP于是得到解得，（与点E重合，舍去）因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3因此m的变化范围是0m3 图2 图3考点伸展在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此于是解得（与点CE重合，舍去），（与点E重合，舍去）因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形图4-