2022年2021年北京高考数学试卷 .pdf

学习必备欢迎下载20XX年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学（理）本试卷共 5 页， 150分. 考试时长 120分钟。 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。第一部分 （选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知集合1,0,1A，| 11Bxx，则 AB（） A0B1,0C0,1D1,0,1（2） 在复平面内， 复数22i对应的点位于 （）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限（3） “”是“曲线sin 2yx过坐标原点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A1B23C2321D610987开始i=0,S=1i=i+1i2输出S结束2121SSS（5） 函数fx的图象向右平移1 个单位长度， 所得图象与曲线xye对称， 则fxA1xeB1xeC1xeD1xe（6）若双曲线22221xyab的离心率为3 ，则其渐近线方程为（）A2yx B2yx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载C12yx D22yx（7） 直线 l 过抛物线2:4C xy的焦点且与y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于（）A43B2C83D1623（8）设关于x、 y 的不等式组21000 xyxmym表示的平面区域内存在点00,P xy，满足0022xy，求得 m 的取值范围是（）A4,3B1,3C2,3D5,3二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分（9）在极坐标系中，点2,6到直线sin2 的距离等于 _（10） 若等比数列na满足2420aa，3540aa， 则公比q_， 前 n 项和nS_（11）如图， AB 为圆 O 的直径， P A 为圆 O 的切线， PB 与圆 O 相交于D，若3PA，:9 :16PDDB，则PD_，AB_（12）将序号分别为1，2，3，4，5，的 5 张参观券全部分给4 人，每人至少1 张，如果分给同一人的2 张参观券连号，那么不同的分法种数是_三、解答题15、在 ABC 中，3a，2 6b，2BA （1）求cos A的值； （2）求 c 的值DOPBA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载16、下图是某市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染某人随机选择3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留2 天 （1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分步列与数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17、 如图，在三棱柱111ABCA B C 中，11AAC C 是边长为 4 的正方形平面ABC平面11AAC C ，3AB，5BC （1）求证：1AA 平面ABC;（2）求证二面角111ABCB 的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D，使得1ADA B，并求1BDBC的值121377986158160217160220143572586空气污染指数02502001501005014日13日12日11日10日9日8日7日6日5日4日3日2日1日日期名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载18、 （本小题共13 分）设 l 为曲线ln:xCyx在点1,0 处的切线（1）求 l 的方程；（2）证明：除切点1,0之外，曲线C 在直线 l 的下方19、 （本小题共14 分）已知 A，B，C 是椭圆22:14xWy上的三个点， O 是坐标原点（1）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时， 求此菱形的面积； （ 2）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由C1B1A1CBA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载20、已知na是由非负整数组成的无穷数列，设数列前n 项的最大值为nA ，第 n 项之后各项1na，2na，的最小值记为nB ，nnndAB （ 1）若na为 2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4 的数列，写出1d 、2d 、3d 、4d 的值；（2）设d 是非负整数，证明：1,2,3,ndd n的充分必要条件是na是公差为d 的等差数列； （3）证明：若12a，11,2,3,ndn，则na的项只能是1 或者 2，且有无穷多项为1参考答案一、选择题二、填空题9 . 1 10. 2，122nnS11. 95,4 12. 96 13. 4 14. 2 551 2 3 4 5 6 7 8 B D A C D B C C 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载三、解答题15、解析： （ 1）由条件可以看出，已知两角关系，求角，明显应用正弦定理解决问题32 6326sinsinsinsin 2sin2sincosabABAAAAA即6cos3A （2）由已知两边和角求第三边，所以我们应用余弦定理求解22222262cos32 62263abcbcAcc，即281 50cc，所以5c或3c（舍）16、解析：（1）213P； （2）X0 1 2 P5134134135441201213131313E X（3）5，6，7 三天17、 解析： （1）111111A ACCAAACAAABCABCA ACC是正方形平面平面平面 由453ACBCACABAB（2）建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系1AA C B10 , 0 , 4A，0,3,0B，14,0,4C，10,3,4B114,0,0AC，10,3, 4A B，114, 3,0B C，10,0,4BB设平面11A BC的 法向量 为1111,nx yz， 平 面11B BC的法 向 量 为2222,nxyz， 所以111111110400,4,33400ACnxnyzA B n，11222221204303,4,0400B CnxynzBBn，12121616cos5525nnnn（3） 设点 D 的竖坐标为04tt， 在平面11BCC B 中作DEBC于E ， 根 据 比 例 关 系 可 知 ，3,4,4Dttt04t， 所 以3,4,4ADttt，0,3, 4AB又1ADA B ，94404tt，3625t，11925BDDEBCCC18、解： （1）21lnxyx，于是1 |1xy， 因此 l 的方程为1yx； （2） 只需要证明0 x，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载且1x时，ln1xxx 设1lnfxx xx，0 x， 则211121xxfxxxx，因此fx在0,1上单调递减， 在1,上单调递增 进而10fxf， 即原命题得证19 、解析 ： （ 1） 线段OB 的 垂直平分线为1x， 因此3AC， 进而 菱形面积为1123322OBAC （2）四边形 OABC 不可能是菱形只需要证明若OAOC，则A 点与 C 点的横坐标相等或互为相反数设OAOCr，则 A、C 为圆222xyr 与椭圆22:14xWy的交点因此22314xr，于是结论得证20、解： （1）11d，21d，33d，43d （ 2）充分性： 若na是公差为d 的等差数列，则11naand于是11nnAaand，11nnBaand因此1 ,2,3 ,nnndABdn必要性：若1,2,3,ndd n，假设ka 是第一个使得10nnaa的项， 则110kkkkkkkdABaBaa，与0ndd矛盾 因此na是不减的数列进而1nnnnndABaad ，即1nnaad ，因此na是公差为d 的等差数列（3）1：首先na中的项不能是0，否则1102da，矛盾 2：na中的项不能超过2，用反证法证明如下：若na中有超过2 的项， 设ka 是第一个大于2 的项na中一定存在项为1，否则与11d矛盾；当nk时，2na，否则与1kd矛盾；因此存在最大的 i 在 2 到1k之间，使得1ia， 此时2220iiiidABB， 矛盾综上，na中没有超过2 的项名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -