2022年极坐标与参数方程 .pdf

1 第一讲极坐标与直角坐标的简单互换知识运用 1 平面直角坐标系中的伸缩变换类型一根据变换00:yyxx求出变化前或后的点或曲线方程【例 1】 1在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：x3x，2yy.求点2,31A经过 变换所得的点 A的坐标2 2015秋?南关区校级月考曲线x2+y2=1经过 ：变换后，得到的新曲线的方程为3 2015 秋?花垣县校级期中曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为： x2+y2=1，则曲线 C的方程为ABCD4x2+9y2=1 【解题思路提醒】记住区分1、点：变换前的点 P的坐标 ( x，y)与变换后的点 P的坐标 ( X，Y) 2、曲线：变换前 x、y 的曲线与变换后yx ，的曲线，3. 最后结果要用 x 、y 写出答案，题目一般变换后也是用x、y 表示，但是在解题过程书写需要写成yx ，【变式实践 1】12015春?浮山县校级期中曲线x2+y2=1经过伸缩变换后，变成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页2 曲线方程是A25x2+9y2=1 B9x2+25y2=1 C 25x+9y=1 D+=1 22014春?泰山区校级期末在平面直角坐标系中，曲线C：x2y2=36经过伸缩变换后，所得曲线的焦点坐标为A0，B，0C0，D ，0类型二 根据变化前后的方程求出变化【例 2】 1. 在同一直角坐标系中，求满足以下图形变换的伸缩变换：由曲线4x29y236 变成曲线 x2y21【解题思路提醒】求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求其变换方法一：将新旧坐标分清， 代入对应的曲线方程， 然后比较系数就可得到伸缩变换式；方法二：直接将一个曲线方程变形， 配凑成另一个方程的形式， 然后比较对应项得出伸缩变换 一般有一边变成一样的， 另外一边相同项相等， 例 2【变式实践 2】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页3 1. 2015春?大庆校级期中可以将椭圆+=1 变为圆 x2+y2=4 的伸缩变换为ABCD 2 将圆 x2 y2 1 变 换 为 椭 圆x29y24 1 的 一个 伸缩 变换 公式 为 ：Xaxa0，Ybyb0，求 a，b 的值知识运用 2 将点的极坐标与直角坐标的互换【例 3】将以下点的极坐标与直角坐标进行互化1将点 M的极坐标 4，143 化成直角坐标；2将点 N的直角坐标 (4，4 3) 化成极坐标 ( 0，0r, 直线与圆相离；当d=r, 直线与圆相切；当d0)，求曲线 C的普通方程(3 )(2015 西安质检 ) 假设直线 3x4ym 0 与圆x1cos ，y2sin ( 为参数 )相切，求实数 m的值(4)x1sin 2 ，ysin cos .化为普通方程【变式实践 1】1 2016春? 保定校级月考已知直线 l 的参数方程为t 为参数，则其直角坐标方程为Ax+y+2=0 Bxy+2=0 Cxy+2=0 D x+y+2=0 22016春? 邯郸校级月考与参数方程为t 为参数等价的普通方程为Ax2+=1 Bx2+=10 x1Cx2+=10y2Dx2+=10 x1，0y23、将参数方程 为参数化为普通方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页14 Ay=x2 By=x20y1 Cy=x+22x 1Dy=x+2 42015春? 邢台校级月考参数方程为参数的普通方程为Ay2x2=1 Bx2y2=1 C D52014 春? 七里河区校级期末 已知曲线的参数方程为为参数，则曲线的普通方程为Ax2=y+1xBx2=y+11x1Cx2=1yxD x2=1y1x1知识运用二直线与圆的综合运用【例 2】 12014? 蓟县校级一模圆， 为参数的圆心到直线，t 为参数的距离是A1 BC D3 （2） 2015? 海淀区模拟假设直线，t 为参数与圆， 为参数相切，则b=A4 或 6 B6 或 4 C1 或 9 D 9 或 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页15 3 2015? 黄山三模假设以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 参数方程为t 为参数，曲线 C的极坐标方程为 =4sin ，则直线 l 被曲线 C截得的弦长为 A BC D【变式实践 2】12015? 安徽三模直角坐标系xoy 中，以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为=2sin ，直线 l 的参数方程为t 为参数，则圆 C截直线 l 所得的弦长为A1 BC 2 D22 直线t 为参数被圆x32+ y+12=25所截得的弦长为 AB40C D 3 2014? 赣州二模直线t 为参数被曲线所截的弦长为ABCD4(2015 秋? 辽源校级期末设直线 l ：t 为参数 ，曲线 C1： 为参数，直线l 与曲线 C1交于 A，B两点，则 |AB|= A2 B1 C D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页16 52016? 岳阳校级一模已知曲线C的参数方程为 为参数，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系1求曲线 c 的极坐标方程2假设直线 l 的极坐标方程为 sin +cos =1，求直线 l 被曲线 c 截得的弦长62016? 大庆一模在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为t 为参数以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程是 =2sin I 求出直线 l 的普通方程与曲线C的直角坐标方程；II 设直线 l 与曲线 C的交点为 A，B，求|AB| 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页17 7、设直线 l 的参数方程为x3t cos ，y4t sin (t 为参数， 为倾斜角 ) ，圆 C的参数方程为x12cos ，y12sin ( 为参数 )(1) 假设直线 l 经过圆 C的圆心，求直线 l 的斜率；(2) 假设直线 l 与圆 C交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围8. (2016重庆巴蜀中学模拟 ) 已知曲线 C的参数方程是xcos ，ym sin (为参数 ) ，直线l的参数方程为x155t ，y4255t(t为参数 ) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页18 (1) 求曲线C与直线l的普通方程；(2) 假设直线 l 与曲线 C相交于 P，Q两点，且 | PQ | 455，求实数 m的值知识运用三直线参数几何方程的意义利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点 P( x0，y0) ，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0t cos ，yy0t sin ( t为参数 ) 假设 A，B为直线 l 上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段 AB的中点为 M ，点 M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1) t0t1t22；(2)| PM | | t0| t1t22；(3)| AB | | t2t1| ；(4)| PA | | PB | | t1t2|. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页19 提醒 直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1 时，t才有几何意义且其几何意义为： | t | 是直线上任一点 M ( x，y) 到 M0( x0，y0)的距离，即 | M0M | | t |. 【例 3】.(2015 东北三校联考 ) 已知在直角坐标系xOy中，曲线 C的参数方程为x14cos y24sin ( 为参数 ) ，直线 l 经过定点 P(3，5)，倾斜角为3. (1) 写出直线 l 的参数方程和曲线C的标准方程；(2) 设直线 l 与曲线 C相交于 A，B两点，求 | PA | | PB | 的值【解题方法提醒】1. 将直线的参数方程代入曲线普通方程就可以整理出来关于t 的一元二次方程02cbtat精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页20 abtt21，actt21，212212214-tt ()(tttt）【例 4】 (2015河北唐山模拟 ) 极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴， 两种坐标系中的长度单位相同， 已知曲线 C的极坐标方程为2(cos sin ) (1) 求 C的直角坐标方程；(2) 直线 l ：x12t ，y132t( t 为参数 ) 与曲线 C交于 A，B两点，与 y 轴交于 E，求的值【解题方法提醒】一：具备以下特征可以考虑用直线参数方程的几何意义1. 三点：一定点两交点，交点必须是定点所在直线跟一曲线两个交点2. 一直一曲：适用于一直线一曲线3. 求值：三点间的距离之间的值4. 为 1：直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1 时二：一定点到两动点距离之和例如例题的| EA | | EB | 或2121tttt2121tttt是由关于 t 的一元二次方程02cbtat的系数 a、c 的正负决定的，当 a、c 同号时2121tttt，当当 a、c 异号时2121tttt。【变式实践 3】1、(2015哈师大附中模拟 ) 已知在直角坐标系xOy中，曲线 C的参数方程为x14cos y24sin ( 为参数 ) ，直线 l 经过定点 P(3,5) ，倾斜角为3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页21 (1) 写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2) 设直线 l 与曲线 C相交于 A，B两点，求 | PA | | PB | 的值2. 已知直线 l ：xy10 与抛物线 yx2相交于 A，B两点，求线段 AB的长度和点 M (1,2) 到 A，B两点的距离之积3在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：sin22acos ( a0) ，过点P( 2，4) 的直线l ：x222t ，y422t( t 为参数 ) 与曲线 C相交于 M ，N两点(1) 求曲线 C的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2) 假设| PM | ，| MN | ，| PN | 成等比数列，求实数a 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页22 【强化练习】12016? 永州二模在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程是tytx23211t 为参数，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为： =4cos1把直线 l 的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；2已知点 P 1，0，直线 l 与曲线 C交于 M 、N两点，求 |PM|? |PN| 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 28 页23 22016? 锦州一模已知直线1 的参数方程为t 为参数，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=2sin 1求圆 C的直角坐标方程；2设圆 C与直线 l 交于点 A、B，假设点 P的坐标为3，求|PA|+|PB| 32016? 太原校级模拟 【坐标系与参数方程】 设直线 l 的参数方程为t 为参数，假设以直角坐标系xOy的 O点为极点， Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为 =1将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；2假设直线 l 与曲线 C交于 A、B两点，求 |AB| 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 28 页24 42016? 鹰潭一模已知曲线C的极坐标方程是 =4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l 的参数方程是t 是参数1将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程；2假设直线 l 与曲线 C相交于 A、B两点，且 |AB|=，求直线的倾斜角的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 28 页25 5. 2016? 湖南模拟在平面直角坐标系xOy中，以原点 O为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线 l 的极坐标方程为 cos=a，且点 A在直线 l 上1求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；2假设圆 C的参数方程为 为参数，试判断直线l 与圆 C的位置关系62016? 平果县模拟圆 C的极坐标方程为，极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线 l 的参数方程为t 为参数1求 C的直角坐标方程及圆心的极坐标2l 与 C交于 A，B两点，求 |AB| 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 28 页26 7. 2016? 大庆一模在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为t 为参数以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程是 =2sin I 求出直线 l 的普通方程与曲线C的直角坐标方程；II 设直线 l 与曲线 C的交点为 A，B，求|AB| 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 28 页27 82016? 广州模拟在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 C1：t为参数与曲线 C2： 为参数， a0假设曲线 C1与曲线 C2有一个公共点在x 轴上，求 a 的值；当 a=3时，曲线 C1与曲线 C2交于 A，B两点，求 A，B两点的距离92016? 重庆校级模拟已知曲线C的参数方程为： 为参数，直线 l 的参数方程为：t 为参数，点 P2，1，直线 l与曲线 C交于 A，B两点1写出曲线 C和直线 l 在直角坐标系下的标准方程；2求|PA| ? |PB| 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 28 页28 10、(2016大庆模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 经过点1 ,21P，倾斜角 6. 在极坐标系 (与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以 x 轴正半轴为极轴 ) 中，圆 C的极坐标方程为 22cos 4. (1) 写出直线 l 的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设 l 与圆 C相交于 A，B两点，求 | PA | | PB | 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 28 页