2022年6-1-5_和倍问题.题库教师版 .pdf

6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 1 of 231. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题2. 掌握寻找和倍的方法解决问题知识点说明：和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数， 这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数， 再求大数 .和倍问题的数量关系式是：和(倍数 +1)= 小数小数倍数 = 大数或和一小数 = 大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l份数(倍数1)= 两数差 . 解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。【例 1】根据线段图列式：例题精讲知识点拨教学目标和倍问题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 2 of 23【解析】 列式： 28(31)7 （米）【巩固】小敏有14元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的2倍？【解析】 小花现在的钱数：(1410)(12)8（元），小花给小敏：1082（元）【巩固】小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍. 爷爷比小华大多少岁？【解析】 小华： 72(17)9 （岁），爷爷：9763（岁），63954（岁）或 9(71)54 （岁） . 【例 2】有两盘苹果，如果从第一盘中拿2 个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同( 条件 A) ；如果从第二个盘中拿2 个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的2 倍( 条件 B).第一盘有苹果多少个? 【解析】 本题的数量关系更为隐蔽首先须理解条件表述语中隐含的数量关系条件 A 的数量关系为：第一盘中的苹果数比第二盘多2+2=4(个).从条件 B 可知，如果从第二个盘中拿 2 个放到第一盘里，那么第一盘就比第二盘多4+(2+2)=8(个)；此时，第一盘的苹果数是第二盘的2 倍(1)原来第一盘比第二盘多：2+2=4(个)或 22=4( 个) (2)从第二盘拿2 个到第一盘里，第一盘就比第二盘多：4+(2+2)=8(个)或 4+2 2=8( 个) (3)第二盘拿走2 个后剩下的苹果：8 (2-1)= 8(个) (4)第一盘原有苹果：8 2-2=14(个) 答：第一盘有苹果14 个【巩固】一个长方形的周长是36 厘米，长是宽的2 倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？【解析】 先求出长方形长和宽的和：362=18 （厘米）把长方形的宽看作1 份，长就是2 份，长和宽的和对应的就是3 份，所以长方形的宽是：18 （2+1 ）=6 （厘米）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 3 of 23长是： 6 2=12 （厘米）这个长方形的面积是：12 6=72 （平方厘米）【巩固】5箱苹果和5 箱葡萄共重75 千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2 倍。每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？【解析】 5 箱苹果和 5 箱葡萄共重75 千克，平均分成 5 份，1 箱苹果与1 箱葡萄重量和为： 75 5=15（千克）。把 1 箱葡萄的重量看作一份，重量为：15 （2+1 ）=5 （千克）；每箱苹果重量为：5 2=10 （千克）。【例 3】师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？【解析】 引导学生画图时，一定要注意“ 多 5 个” 的画图方法，并找和与份数之间的关系【详解】 从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作1份数， 师傅加工的个数就比3份数还多5个，如果师傅少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(1055) 个，这样这道题就转化为例5类型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.列式：如果师傅少做5个，师、徒共做： 1055100(个 )， 徒弟做了： 100(31)25 (个),师傅做了：25 3580(个)【巩固】实验小学共有学生956人，男生比女生2倍少4人. 问：实验小学男学生和女学生各有多少人？【解析】 女生： (9564)3320（人） ，男生：956320636（人）或320 24636（人）【巩固】两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3 倍，而乙组的学生人数比甲组的3 倍少40 人，求参加义务劳动的学生共有多少人？【解析】 把乙组学生人数看作1 份，画出线段图如下：甲组学生人数是乙组学生人数的3 倍，则甲组学生人数的3 倍就是乙组人数的（33= ）9 倍。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 4 of 23所以，乙组人数为：40 （9-1 ）=5 （人）；参加义务劳动的学生共有：5（1+3 ）=20 （人）。【巩固】商店运来橘子、苹果、香蕉共53 千克，橘子的重量是苹果的3 倍少 3 千克，香蕉的重量是苹果的 2 倍多 2 千克，橘子重多少千克? 【解析】 我们可以把苹果的重量看作1 份，如下图：如果橘子重量增加3 千克， 正好是苹果重量的3 倍，香蕉的重量减少2 千克， 正好是苹果重量的2 倍，这时三种水果的总重量变为：53 3254( 千克 )，正好是苹果重量的(132)倍，苹果有(53 32)(132) 5469(千克 )，橘子有 93 324( 千克 ) . 【例 4】实验小学三、 四年级的同学们一共制作了318件航模， 四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？【解析】 已 知四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，可以想到三年级同学制作的航模件数是1倍数两个年级共制作了318件，这318件就相当于123倍，这样就可以求得1倍数三年级同学的制作件数是：3183106(件)再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关系，求出四年级同学制作航模的件数是：1062212(件)或318 106212(件 )。【巩固】一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？【解析】 妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作为1倍数， 已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为：72(144 =8）(岁 )，妈妈的年龄是：8432(岁 )，爸爸和妈妈同岁为32岁【巩固】果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？【解析】 把梨树的棵数看作l份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于 ( 5+1) 份数，分别求出梨树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了. （法）梨树：54(51) 9 (棵)，苹果树：9545(棵 )，苹果树比梨树多：45936(棵) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 5 of 23（法）梨树：54(51)9 (棵)，苹果树比梨树多：9(51)36(棵) 【巩固】某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84 辆，西站有客车56 辆，每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11 辆车，几天后，东站车辆是西站的4 倍？【解析】 “每天从东站到西站有7 辆车，从西站到东站有11 辆车”，则每天东站增加（11-7= ）4辆车，西站减少4 辆车，但两站车辆总数不变为：84+56=140（辆）。要使东站车辆是西站车辆的4 倍，西站只能有车辆：140 （4+1 ）=28 （辆）。用西站需要减少的总车辆数除以每天减少的车辆数，可以得出所求天数：（56-28 ）4=7 （天）。所以，7 天后，东站车辆是西站的4 倍。【例 5】果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？【解析】 把梨树的棵数看作l份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于 ( 5+1) 份数，分别求出梨树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了. （法）梨树：54(51) 9 (棵)，苹果树：9545(棵 )，苹果树比梨树多：45936(棵) （法）梨树：54(51)9 (棵)，苹果树比梨树多：9(51)36(棵) 【巩固】甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相当于甲自学1天的时间问：甲、乙原定每天自学的时间是多少？【详解】 改变后，甲每天比乙多自学1小时，即60分钟它是乙现在五天自学的时间，即乙现在每天自学： 60(61)12（分） ，原来每天自学的时间是：123042（分）【巩固】光明小学有学生760 人，其中男生比女生的3 倍少 40 人，男、女生各有多少人？【解析】 把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3 倍还少40 人，如果用男、女生人数总和760 人再加上40 人，就等于女生人数的4 倍（见下图） 。女生人数：（760 40 ）（31）=200 （人）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 6 of 23男生人数： 200 3-40=560（人）或760-200=560（人）验算： 560 200=760（人）（560+40 ）200=3 （倍）。答：男生有560 人，女生有200 人。【巩固】红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56 张其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2 倍，蓝色纸盒里的彩票是红色纸盒的2 倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票? 【解析】 以黄色纸盒的彩票数为1 倍数， 红纸盒是这样的2 倍，蓝纸盒是红纸盒的2 倍，也就是黄纸盒的4 倍，一共就是(1+2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系，从而求出黄纸盒里有几张彩票56 (1+2+4)=8(张)黄纸盒里的彩票数；8 2=16( 张)红纸盒里的彩票数；16 2=32( 张)蓝纸盒里的彩票数。【例 6】有8只盒子 ，每只盒内放有同一种笔8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔这盒水彩笔共有多少支？【解析】 铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍， 因此这三种笔支数的和是钢笔数的3216倍1723333638424951289除以6余1，所以水彩笔的支数除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支【巩固】(第五届小数报数学竞赛初赛)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人的2倍，则丙手中卡片上的数是 _【解析】 根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数计算这六个数的总和是1193 1258 1842 1866 1912249410565，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193【例 7】（2008 第四届“ IMC国际数学邀请赛”（新加坡）四年级复赛）甲、乙、丙三个小朋友共有73名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 7 of 23块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有块巧克力【解析】 方法一：由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5块，此时乙的巧克力数为(735)(1 12)17 （块），丙原有172322（块）。方法二：如果丙吃掉3块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多3块；如果乙给甲2块糖，那么甲的糖就是乙的糖的2倍，即甲的糖加2是乙的糖减2后的2倍，说明甲的糖是丙的糖的2倍少2226块所以，丙有(7336)(1 12)19 块糖【巩固】甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数减3，丙校学生人数加4都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？【解析】 甲校学生人数为：(199934)(122)400（人），乙校学生人数为：400 23803（人），丙校学生人数为：400 24796（人） 甲、乙、丙三校的人数分别为400，803，796【巩固】学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍. 买来的乒乓球和羽毛球各多少个？【解析】 先引导学生认识一倍量和它的几倍量，并带领学生画线段图，借助图形来解决实际问题根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数，40个就相当于(4+1)份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘4就是乒乓球的个数. 羽毛球有：40(41)4058()个 ，乒乓球有：8432(个)【巩固】某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍， 每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍如果评出一、 二、三等奖各2人，那么每个一等奖的奖金是308元如果评出1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元? 【解析】 我们把每个三等奖奖金看作1份，那么每个二等奖奖金是2份，每个一等奖奖金则是4份当一、二、三等奖各评2人时，2个一等奖的奖金之和是(3082)元，2个二等奖的奖金之和等于1个一等奖的奖金308元，2个三等奖的奖金等于1个二等奖奖金(3082) 元所以奖金总额是：308 2308 30821078元当评1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖时，1个一等奖奖金看做4份，2个二等奖奖金224（份） ，3个三等奖奖金的份数是133（份），总份数就是：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 8 of 2344311（份） 这样， 可以求出1份数为10781198元，一等奖奖金为：984392（元）【例 8】甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为1999。已知甲校学生人数的2 倍和乙校学生人数减去 3 人与丙校学生人数加上4 人都相等。问甲、乙、丙各校学生人数是多少？【解析】 把甲校学生人数作为标准，画出线段图：把甲校人数看作1 份，乙校人数就是2 份多 3，丙校就是2 份少 4。我们把乙校人数减去3，丙校人数加上4，都凑成2 份，则总人数变成：1999-3+4=2000（人）。所以甲校人数为：2000 （1+2+2）=400 （人）；乙校人数为： 400 2+3=803（人）；丙校人数为：400 2-4=796（人）。【巩固】有 100 块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3 块，乙比丙多分了5 块，三位小朋友各分得多少块糖? 【解析】 此题从两个数量扩展到三个数量已知甲比乙多分了3 块，乙比丙多分了5 块，从线段图上可以清楚地看出：甲比丙多分了3 58(块 ) 如果甲少拿 7 块， 乙少拿 5块， 那么糖的总数就要减少8 513( 块)，总共就是100 1387( 块)87 块相当于丙所有的糖块数的3 倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖块的数量100 (35)5329( 块)丙29 5 34(块)乙34 3 37(块)甲【巩固】实验一小、实验二小两校共有学生2346 人，如果实验一小增加146 人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗? 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 9 of 23【解析】 已知两校的人数和是2346 人，而两校人数的差没有直接告诉我们只要求出两校人数的差，就能解决问题了差是多少呢 ?从图上可以看出，实验一小增加146 人，实验二小减少88 人，两校的学生人数就相等在实验一小人数没有增加，实验二小人数没有减少之前，两校的人数相差：146 88 234 (人)，利用 (和差 ) 2大数，就可以求出实验二小实际的人数：(2346 146 88) 21290( 人)实验二小2346 1290 1056( 人)实验一小本题也可以用和倍方法解【例 9】有5堆苹果，较小的3堆平均有18个苹果较大的2堆，苹果数之差为5个又较大的3堆平均有26个苹果，较小的2堆苹果数之差为7个最大堆与最小堆平均有22个苹果问：每堆各有多少个苹果 ? 【解析】 最大堆与最小堆共22244个苹果较大的2堆与较小的2堆共44 27590个苹果所以中间的一堆有：(18326390)221 个苹果；较大的2堆有：26 32157个苹果；最大的一堆有：(575)231 个苹果；次大的一堆有：573126个苹果；较小的2堆有：18 32133个苹果；次小的一堆有：(337)220 个苹果；最小的一堆有：20713个苹果【巩固】超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3 倍还多 10 颗售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3 颗巧克力糖和7 颗水果糖 最后巧克力糖全部装完，水果糖还剩下170 颗请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？【解析】 由题意，如果每袋里装3 颗巧克力糖和9 颗水果糖，则只剩下10 颗水果糖；现在每袋里装了3名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 10 of 23颗巧克力糖和7 颗水果糖，结果剩下了170 颗水果糖由此可以算出总的袋数为：(17010)(97)80（袋），因此水果糖总数为80 7170730（颗） ，巧克力糖总数为80 3240（颗） 【巩固】四年级有甲、乙、丙、丁四个班不算甲班，其余三个班的总人数是131 人；不算丁班，其余三个班的总人数是134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1 人问：这四个班共有多少人？【解析】 由题意，乙、丙、丁三个班总人数为131 人，甲、乙、丙三个班总人数为134 人，于是可以看出，甲班比丁班多3 个人又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1 人，也就是说乙、丙两班总人数是丁班的2 倍还多 2 人从而可以求出丁班的人数为：(1312)343（人） 因此这四个班的总人数为13443177（人）【例 10】 某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是样的开始时长蜡烛是短蜡烛长度的2倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的3倍短蜡烛燃烧掉的长度是5厘米问原来两根蜡烛各有多长？【解析】 我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上本题中两根蜡烛的长度差是不变的(因为两根蜡烛燃烧的速度一样)所以我们根据题意可知：原长蜡烛长度2倍原短蜡烛长度，差为1倍原短蜡烛长度；后长蜡烛长度3倍后短蜡烛长度，差为2倍后短蜡烛长度；所以原短蜡烛长度2倍后短蜡烛长度，也就是说短蜡烛燃烧了1倍后短蜡烛长度，为5厘米，所以原短蜡烛长10厘米，原长蜡烛长20厘米【巩固】某日停电， 房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持3小时，另一支可以维持5小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的3倍这次停电时间是多少小时？【解析】 两支蜡烛长度相同，一支可以维持3小时，另一支可以维持5小时，所以从两支蜡烛中取相同长度的部分，可以燃烧的时间之比为3:5现在可以维持5小时的那支蜡烛剩下的长度是另外一支的3倍，所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩下部分可以燃烧时间的3535倍，由于燃烧了相同的时间，所以这支剩下的部分可以燃烧的时间比另外一只剩下部分可以燃烧的时间名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 11 of 23要长532小时 所以另外一支剩下的部分可以燃烧的时间为2(51)0.5小时， 这次停电的时间为30.52.5小时【例 11】 某有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两色棋子已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多 ，第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的25，如果把三堆棋子集中到一起，那么白子占全部棋子的几分之几？【解析】 第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，那么我们不妨把第一堆里的黑子与第二堆里的白子调换一下，那么第一堆全是白子，第二堆全是黑子，且每堆总数不变因为第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的25，我们不妨把第三堆里的黑棋子看作2份，那么剩下的3份都是第二堆的黑子，所以每堆都是3份，共有339棋子，白子共134份，白子占全部棋子的49【例 12】 爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5 倍；如果冬冬帮爸爸搬10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2 倍请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？【详解】 由题意，如果爸爸多搬10 块，冬冬少搬10 块那么爸爸搬的砖头数是冬冬的5 倍；如果爸爸少搬10 块，冬冬多搬10 块，那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的2 倍对于前一种情况，如果让爸爸再多搬 100 块，冬冬再多搬20 块，那么爸爸搬的砖头块数仍然是冬冬的5 倍，也就是说如果爸爸多搬 110 块，冬冬多搬10 块，爸爸搬的砖头块数是冬冬的5 倍由以上的关系可以列式求出爸爸原计划搬的块数为：(11010)(52)21090 （块） ，冬冬原计划搬的块数为：(9010)51030（块）【巩固】某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，则参加室内、室外活动的共有多少人? 【解析】 原来室外、 室内活动人数相差480人，现把室内的50人改为室外活动，这样室外活动人数比室内人数多48050 2580(人)，这时室外活动人数正好是室内人数的5倍，580人相当于现在室内活动人数的514(倍)，这样可先求出现在室内活动人数为5804145，再求出室内、外人数之和： 145(51)870 人名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 12 of 23【例 13】 一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰田汽车的3 倍，如果每周销售2 辆丰田汽车和4 辆福特汽车， 丰田汽车销售完时还剩下30 辆福特汽车请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？【解析】 假设福特汽车的数量是3 份，丰田车的数量是1 份，根据福特车销售量是丰田车的两倍知道，销售完一份丰田车肯定要销售完2 份福特车，也就是说当丰田车销售完的时候，福特车应该只剩下1 份，所以我们知道1 份数量是30，那么原来的丰田车和福特车就分别应有30 辆和 90 辆。【巩固】大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300 级台阶的山坡，爸爸每步上3 级台阶，儿子每步上2级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级台阶？【解析】 大头儿子踏过的台阶数是：3002150（级 ） ，小头爸爸踏过的台阶数是3003100（级 ） ，父子俩每2 36（级）台阶要共同踏1 级台阶，共重复踏了300650（ 级 ）， 所 以 父 子 俩 共 踏 了 ：15010050200（级） 【例 14】 果园里有桃树、梨树、苹果树共552 棵.桃树比梨树的2 倍多 12 棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？【解析】 下图可以看出桃树比梨树的2 倍多 12 棵，苹果树比梨树少20 棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1 份数容易解答.又知三种树的总数是552 棵.如果给苹果树增加20 棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12 棵，那么就相当于梨树的2 倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵） ，相当于梨树棵数的4 倍。梨树的棵数： （552 20-12 ）（112）=560 4=140 （棵）桃树的棵数：140 212=292 （棵）苹果树的棵数：140-20=120（棵）答：桃树、梨树、苹果树分别是292 棵、 140 棵和 120 棵。【例 15】 甲、乙、丙3 数之和是183，乙比丙的2 倍少 4，甲比丙的3 倍多 7，求甲、乙、丙三数各是多少？【解析】 我们把丙数看作一份，画出线段图如下：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 13 of 23假如我们给乙数添上4 凑成 2 份，甲数减去7 凑成 3 份，则这时候三个数的总和为：183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。所以，一份数即丙数为：180 6=30 ；乙数为： 30 2-4=56；甲数为： 303+7=97。【巩固】549 是甲、乙、丙、丁4 个数的和 . 如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4 个数相等 . 求 4 个数各是多少？【解析】 上图可以看出， 丙数最小 .由于丙数乘以2 和丁数除以 2 相等，也就是丙数的2 倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4 倍.乙减 2 之后是丙的2 倍，甲加上2 之后也是丙的2 倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，以丙数为一份量，再分别求出其他各数。丙数是：（549 2-2 ）（2214）=549 9=61 甲数是： 61 2-2=120 乙数是： 61 22=124 丁数是： 61 4=244 验算： 120+12461+244=5491202=122 124-2=122612122 244 2122 答：甲、乙、丙、丁分别是120 、124 、61 、244. 【例 16】 大桶里有油60 千克，小桶里有油30 千克将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，大桶是小桶的4 倍问两个桶各剩油多少千克？【解析】 用下图表示它们的关系：卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题小桶所剩的油名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 14 of 23为倍数，大桶剩油是小桶剩油的4 倍，所以大桶剩油比小桶剩油多413（倍） 而大桶比小桶多的油总保持不变，是603030（千克 ） 再利用差倍问题的公式就可解决小桶剩下的油是：30310（千克 ） ，大桶剩下的油是：10440（ 千克 ） 【巩固】两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出7 千克，乙筐卖出19 千克后，甲筐余下的千克数是乙筐的3倍，两筐苹果原来各有多少千克？【解析】 用下图表示它们的关系：设乙筐余下的千克数为1 份，则甲筐余下的千克数为3 份，甲、乙两筐余下的苹果相差312（份）原来甲、乙两筐苹果的千克数相同，甲筐卖出7 千克，乙筐卖出19 千克，说明甲筐比乙筐少卖出19712（千克），也就是乙筐余下的苹果比甲筐少12 千克，所以甲、乙两筐余下的差是 12 千克，所对应的份数差是2，从而可以求出1 份及两筐苹果原来的重量，甲、乙两筐余下的苹果数相差19712（ 千克 ） ，乙筐余下苹果的数是12316（）（千克 ） ，甲、乙两筐原来各有苹果的数量61925（千克 ） 【巩固】甲水池有水2600 立方米， 乙水池有水1200 立方米， 如果甲水池里的水以每分种23 立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4 倍？【解析】 甲、乙两水池共有水：2600 1200=3800（立方米）甲水池剩下的水：3800 （4+1 ）=760 （立方米）甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）经过的时间（分钟） ：1840 2380（分钟）。【巩固】甲桶里有油470 千克，乙桶里有油190 千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2 倍？【解析】 甲、乙两桶油总重量：470+190=660（千克）：当甲桶油是乙桶油2 倍时，乙桶油是：660 （2+1 ）=220 （千克）：由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 15 of 23【巩固】有两根同样长的绳子，第一根截去12 米，第二根接上14 米，这时第二根长度是第一根长的3倍，这两根绳子原来长多少米？【解析】 用下图表示它们的关系：两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12 米，第二根绳子又接上14 米后，第二根的长度是第一根的3 倍应该把变化后的第一根长度看作1 倍，而121426（ 米） ，正好相当于第一根绳子剩下的长度的2 倍所以，当从第一根截去12 米后剩下的长度可以求出来了，那么第一 根 、 第 二 根 原 有 长 度 也 就 可 以 求 出 来 了 所 以 ， 第 一 根 截 去12 米 剩 下 的 长 度 ：12143113（）（）（ 米）两根绳子原来的长度：131225（米 ） 【巩固】北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300 朵。已知红花的朵数比黄花的2倍少 30 朵。问两种花各有多少朵？【解析】 我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30 朵，正好对应了3 份。所以黄花朵数为：（300+30）（1+2 ） =110 （朵）。红花朵数为：300-110=190（朵）。【例 17】 学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍. 买来的乒乓球和羽毛球各多少 ? 【解析】 先引导学生认识一倍量和它的几倍量，并带领学生画线段图，借助图形来解决实际问题根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数，40个就相当于(4+1)份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘4就是乒乓球的个数. 羽毛球有：40(41)4058()个 ，乒乓球有：8432(个)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 16 of 23【巩固】甲班和乙班共有图书160 本. 甲班的图书本数是乙班的3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？【解析】 设乙班的图书本数为1 份，则甲班图书为乙班的3 倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4 倍 .还可以理解为4 份的数量是160 本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：乙班： 160 （3+1 ） =40 （本）甲班： 40 3=120 （本）或160-40=120（本）验算： 120 40=160（本）120 40=3 （倍）答：甲班有图书120 本，乙班有图书40 本。【巩固】甲班有图书120 本，乙班有图书30 本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？【解析】 解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、 乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3 倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图） 。甲、乙两班共有图书的本数是：30 120=150（本）甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：2 13（倍）乙班现有的图书本数是：150 3=50 （本）甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）综合算式：（30 120 ）（2+1 ）=50 （本） 50-30=20（本）验算：（120-20 ）（30+20 ） 2（倍）（120-20 ）+ （30+20 ） 150 （本）答：甲班给乙班 20 本图书后，甲班图书是乙班图书的2 倍。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6-1-5. 和倍问题 . 题库教师版page 17 of 23【例 18】 二班的图书角里有故事书和连环画共47本，如果故事书拿走7本后，故事书的本数就是连环画的4倍. 原有连环画和故事书各有多少本