2022年《函数的单调性与最值》教案 .pdf

学习必备欢迎下载函数的单调性与最值适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60 知 识 点1.单调性的概念2.单调性的判断3.单调性的应用4.最值与值域问题教学目标1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值教学重点单调区间、判断单调性、求最值及利用它们求参数的取值范围教学难点函数的单调性与最值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载教学过程一、课堂导入问题 1：大家一起来举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语（蒸蒸日上、每况愈下、波澜起伏）问题 2：请你根据上述的成语分别给出一个函数，并在直角坐标系中绘制相应的函数图象. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载二、复习预习1、函数的概念2、函数的三要素3、函数的表示方法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载三、知识讲解考点 1 函数的单调性(1)单调函数的定义：增函数减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2. 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的(2)如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数， 那么就说函数 yf(x)在区间 D 具有(严格的 )单调性，这一区间叫做 yf(x)的单调区间名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载考点 2 函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件对于任意 xI，都有 f(x) M；存在 x0I，使得 f(x0)M. 对于任意 xI，都有 f(x) M；存在 x0I，使得 f(x0)M. 结论M 为最大值M 为最小值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载四、例题精析【例题 1】【题干】 讨论函数 f(x)axx21(a0)的单调性名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【解析】 由 x210，得 x 1，即定义域为 (，1) (1,1) (1，)当 x (1,1)时，设 1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211ax2x221ax1x22ax1ax2x21ax2x211 x221a x2x1x1x21x211 x221. 1x1x20，x1x210，(x211)(x221)0. 又 a0， f(x1)f(x2)0，函数 f(x)在(1,1)上为减函数设 1x1x2，则 f(x1)f(x2)ax1x211ax2x221名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a x2x1x1x21x211 x221， 1x10，x2210，x2x10，x1x210. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) f(x)在(1，)上为减函数又函数 f(x)是奇函数， f(x)在(，1)上是减函数 .名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【例题 2】【题干】 求函数 yx2x6的单调区间名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【解析】 令 ux2x6，yx2x6可以看作有 yu与 ux2x6 的复合函数由 ux2x60，得 x3 或 x2. ux2x6 在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而 yu在(0，)上是增函数 yx2x6的单调减区间为 (，3，单调增区间为 2，)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【例题 3】【题干】 已知 f(x)xxa(xa)，若 a0 且 f(x)在(1， )内单调递减，求 a 的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【解析】 任设 1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需 (x1a)(x2a)0 恒成立 a1.综上所述， a 的取值范围是 (0,1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【例题 4】【题干】 设函数 f(x)x21，对任意 x32， ，fxm4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，求实数 m 的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【解析】 由题意知，x2m214m2(x21)(x1)214(m21)在 x32， 上恒成立，即1m24m23x22x1 在 x32，上恒成立，当 x32时，函数 y3x22x1 取得最小值53，所以1m24m253，即(3m21)(4m23)0，解得 m32或 m32. 即实数 m的取值范围为，3232， .名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载五、课堂运用【基础】1(2012 广东高考 )下列函数中，在区间 (0，) 上为增函数的是 () Ayln(x2)Byx1 Cy12xDyx1x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析：选 A选项 A 的函数 yln(x2)的增区间为 (2，) ，所以在 (0，) 上一定是增函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2若 f(x)x22ax 与 g(x)ax1在区间 1,2上都是减函数，则a 的取值范围是 () A(1,0)(0,1) B(1,0)(0,1 C(0,1) D(0,1 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析：选 D函数 f(x)x22ax在区间 1,2上是减函数， a1.又函数 g(x)ax1在区间 1,2上也是减函数，a0.a 的取值范围是 (0,1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3若函数 f(x)loga(2x2x)(a0 且 a1) 在区间 0，12内恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增区间为 () A. ，14B. 14，C(0，) D. ，12名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析：选 D令 g(x)2x2x0，得 x0 或 x12，所以函数 f(x)的定义域为 ，12(0，) 易知函数 g(x)在 0，12上单调递增，所以在0，12上，0g(x)0 恒成立，故 0a0(a 是常数且 a0)对于下列命题：函数 f(x)的最小值是 1；函数 f(x)在 R 上是单调函数；若 f(x)0 在12，上恒成立，则 a 的取值范围是 a1；对任意的 x10，x20 且 x1 x2，恒有 fx1x220 在12，上恒成立，则 2a1210， a1， 故正确；由图象可知在 ( ， 0)上对任意的 x10， x20 且 x1 x2， 恒有 fx1x22f x1f x22成立，故正确答案：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【拔高】6讨论函数 f(x)mxx2(m0)的单调性名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解：函数定义域为 x|x2，不妨设 x1，x2 (，2)且 x1x2，f(x2)f(x1)mx2x22mx1x12mx2x12 mx1x22x12 x222m x1x2x12 x22. m0，x1，x2 (，2)，且 x1x2， x1x20. m x1x2x22 x120，即 f(x2)f(x1)，故函数 f(x)在区间 (，2)上是增函数同理可得函数 f(x)在区间 (2， )上也是增函数综上，函数 f(x)在(，2)，(2，)上为增函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载7已知函数 f(x)对任意的 a，bR 恒有 f(ab)f(a)f(b)1，并且当 x0时，f(x)1. (1)求证： f(x)是 R 上的增函数；(2)若 f(4)5，解不等式 f(3m2m2)3. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解：(1)证明：任取 x1，x2R, 且 x10，f(x2x1)1. f(x2)f(x1)f(x2x1)10，即 f(x2)f(x1)f(x)是 R 上的增函数(2)令 ab2，得 f(4)f(2)f(2)12f(2)1，f(2)3. 而 f(3m2m2)3，f(3m2m2)f(2)又 f(x)在 R 上是单调递增函数，3m2m22，解得 1m43.故原不等式的解集为1，43. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 29 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载课程小结函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“ 同则增，异则减 ” 的法则求解函数的单调区间名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 29 页 - - - - - - - - -