2022年机械振动理论中的些原理问答 .pdf
1.请指出弹簧的串、并联组合方式的计算方法。确定弹性元件的组合方式是串联还是并联的方法是什么？对两种组合方式分别加以说明。答：n 个刚度为ik 的弹簧串联，等效刚度niieqkk111；n 个刚度为ik 的弹簧并联的等效刚度为niieqkk1；并联弹簧的刚度较各组成弹簧“硬”，串联弹簧较其任何一个组成弹“簧软”。确定弹性元件是串联还是并联的方法：若弹性元件是共位移端部位移相等，则为并联关系；若弹性元件是共力受力相等，则为串联关系。2.非粘性阻尼包括哪几种？它们的计算公式分别是什么？答:非粘性阻尼包括：（1）库仑阻尼计算公式.sgn-xmgFe，其中， sgn 为符号函数，这里定义为)()()(sgntxtxx，须注意，当0)(x t时，库仑阻尼力是不定的，它取决于合外力的大小，而方向与之相反；（2）流体阻尼计算公式：是当物体以较大速度在粘性较小的流体（如空气 、 液 体 ） 中 运 动 是 ， 由 流 体 介 质 所 产 生 的 阻 尼 ， 计 算 公 式 为xxFns g n2；（3）结构阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼，计算公式为2XEs3.单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程是什么？其自然频率、振幅、初相角的计算公式分别是什么？答：单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程0tkxxm；自然频率：mkfnn212；振幅：2020nvxX；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页初相角：00 xvarcrann。4.对于单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法有哪几种？具体过程是什么？答：单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法：（1）静变形法：该方法不需要到处系统的运动微分方程，只需根据静变形的关系就可以确定出固有频率具体如下：mgkst，又mkn，将这两个式子联立即可求得stng；（2）能量法，该方法又可以分为三种思路来求自然频率。A：用能量法确定运动微分方程，然后根据运动微分方程来求自然频率。无阻尼系统满足能量守恒定律，因此有常数EVT，对该式进行求导可得0dtdEVTdtd根据此式即可导出运动微分方程，其中T 为质的动能， V 为弹簧的势能。B：用能量法直接确定固有频率：其原理是依据系统在任意时刻的能量和（势能，动能和）相等，因此取两个特殊时刻静平衡位置（动能达到最大值maxT）和最大位移处（势能达到最大maxV），可得maxT=maxV该方法不用导出系统运动微分方程，因此对于复杂系统非常有效。C：用能量法计算弹簧的等效质量，该方法利用弹簧的分布质量对系统振动频率的影响加以估计，从而得出较准确的频率值。3mmkn其中m为弹簧的质量。5.对于单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是什么？对无阻尼、小阻尼、过阻尼、临界阻尼的情况分别加以介绍。对于小阻尼情况，其阻尼自然频率、振幅、初相角的计算公式是什么？答：单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是0tkxtxctxm或022txtxtxnn。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页无阻尼：0，此时运动微分方程的特征方程的特征根为虚数，此时系统运动微分方程的解为：nXtxcos其中， X、由初始条件确定此时特征根在复平面虚轴上，且处于原点对称的位置，此时，tx为等幅振动。小 阻 尼 ： （10） ， 此 时 运 动 微 分 方 程 的 解 为 ：tXetxdtncos，其中nd21为有阻尼自然220020dnxvxX，dnxxv000arctan系统的特征根为共轭复数，具有负实部，分别位于复平面左半面与实轴对称的位置上；有阻尼系统的自由振动是一种减幅振动，其振幅按指数规律衰减，阻尼率越大，振幅衰减的越快；特征根的虚部的取值决定了自由振动的频率，阻尼系统的自然频率完全有系统本身的特性决定。初始条件0 x 与0v 只影响有阻尼自由振动的初始幅值与初相角。过阻尼：（1）tstseXeXtx2121，式中，1X 、2X 为由初始条件确定的常数，特征根为负实数，位于复平面的实轴上这时系统不产生振动很快就趋近平衡位置。临 界 阻 尼 （1） ， 此 时 系 统 微 分 方 程 的 解 为 ：txvxetxntn000临界阻尼mkc20，临界阻尼率0cc。6.对数衰减率的定义是什么？如何运用对数衰减率计算阻尼率？答：对数衰减率221122lnlndnAA。其中1A 、2A 为间隔 j精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页个周期 T 的振动位移的两个峰值，利用测得的峰值按公式jTtxtxjiiln1可以求得，然后利用公式224，当阻尼率很小时12，与 4相比可以略去，故的近似计算公式为2。7.对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，其振幅和相位差的计算公式是什么？放大系数的定义是什么？幅频特性的定义是什么？幅频特性曲线的特性有哪些？幅频特性的极大值点和极大值是什么？答：谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动：振幅22221nnAX，相位差：212arctannn。放大系数的定义：振幅X 与激励的幅值 A 成比例，即AHX， H是无量纲的，222211nnH， H表示动态振动的振幅X 较静态位移 A 放大的倍数，称为放大系数。幅频特性： H与振幅 X 之间仅差一个常数A，因此， H描述了振幅与激励频率之间的函数关系，故又称H为系统的幅频特性。幅频特性曲线的特性：(1)当0时， H=1，表明所有曲线从H=1 开始。当激励频率很低，即n时， H接近于 1，说明低频激励时的振动幅值接近于静态位移。这时的动态效应很小，强迫振动这一动态过程可以近似地用静变形过程来描述，1n的这一频率范围又被称为“准静态区”或“刚度区”。在这一区域内，振动系统的特性主要是弹性元件的作用结果。(2)当 激励 频 率很 高1n时 ， H1，且n时 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页0H，说明在高频率激励下，由于惯性的影响，系统来不及对高频做出响应，因而振幅很小。因此，称为“惯性区”，这一区域内，振动系统的特性主要是质量元件作用的结果。(3)在激励频率与固有频率相近的范围内，H曲线出现峰值，说明此时动态效应很大，振动幅值高出静态位移许多倍，当阻尼率较大时， H峰值较低，反之H的峰值较高。因此，这一频率范围又被称为“阻尼区”这一区域内振动系统的特性主要是阻尼元件作用的结果，在此区域中，增大系统的阻尼对振动有很强的抑制效果。(4)共振不发生在n处，而是发生在略低于n处， H的峰值点随的增大而向低频方向移动。当阻尼系数0.707 时，系统不会出现共振，且动态位移比静态位移小。(5)当=0 时，共振频率r等于自然频率n此时 H即振幅无穷大，这种情况下，共振振幅将随时间按线性关系增长。复频特性的极大值点：221nr，极大值：2121rH。8.品质因数、半功率点、半功率带宽的定义是什么？如何运用半功率带宽计算系统的阻尼率？答：品质因数：21nHQ；复频特性曲线中，在峰值两边，H等于2Q的频率，1、2称为半功率点，1与2之间的频率范围12称为半功率带宽。运用半功率带宽计算系统的阻尼率：利用H等于2Q构建等式，结合半功率点，半功率带宽的性质，化简后可得n212。通过激振实验得到H曲线，然后找出共振频率nr和半功率带宽12带入上式即可求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页出阻尼率。9.对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，相频特性的特点是什么？Nyquist 图的特点是什么？答：相频特性的特点：（1）当=0 时，00，即所有曲线从00开始。当激励频率很低时，n取值很小，接近于0，说明低频激励时振动位移tx与激励tf之间几乎是同相；（2）当n时，即tx与tf的相位相反；（3）当n时，2，这正是“阻尼区的特点。Nyquist 图的特点：（1）的变化范围为0，所以单自由度系统的Nyquist 图位于复平面的下半平面；（2）随着阻尼率的增大， Nyquist 曲线的“环”变小；（3）在共振区域附近，H取值很大，变化剧烈，故在Nyquist 图上，共振区域的描述更加清楚，而非共振区域则“缩”得很小，显然，这对于分析研究共振区域附近的特性是方便的。10.对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，库仑阻尼、流体阻尼、结构阻尼的等效阻尼系数的计算公式是什么？答：谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动库 伦 阻 尼 ：Xmgceq4； 流 体 阻 尼 ：Xceq38； 结 构 阻 尼 ：eqc。11.如何运用 Fourier 级数分析法对周期激励下的强迫振动响应进行分析？其幅频响应、放大系数和相位差分别是什么？答：运用Fourier 级数分析法对周期激励下的强迫振动响应进行分析的方法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页将周期激励分解为基波及其高次谐波的组合，再将对这些谐波的响应进行叠加这就是 Fourier级数分析法。基本步骤：将周期激励函数tf展开为 Fourier级数，然后根据叠加原理对基波和高次谐波的响应进行叠加：11010110000ptpipptpipptippptippppppeXeApHeApHeXtxtx复频响应：nnnnnpippippH0200202202112；放大系数：202200211nnpppH；相位差：200012arct annnpppp；式中，n是单自由度系统的自然频率。12.如何运用脉冲响应函数法对非周期激励下的强迫振动响应进行分析？运用该方法，当系统还受到初始激励的作用时，单自由度系统的全部响应是什么？脉冲响应函数法与Fourier变换法之间的关系是什么？答：（ 1）运用脉冲响应函数法对非周期激励下的强迫振动响应进行分析：基本思路是将激励tf分解为一系列强度为f的脉冲，先求得系统对每一脉冲单独激励的响应，再根据叠加原理对这一系列脉冲响应进行叠加。从而得到系统对整个激励tf的响应tx。（2）当系统还受到初始激励的作用时，单自由度系统的全部响应是：tdtddtdtdtevexdteFmtxnnn0020sincos1sin1（3）两种方法的关系：脉冲响应函数法与Fourier 变换法是解决同一问题（非周期激励下的强迫振动）的两种不同的方法，从物理意义上看，器根本不同在于对于非周期函数f（t）进行分解的方式不同：Fourie 变换法是将f（t）分解为一系列的谐波，而脉冲响应函数法则是将f（t）分解为一系列脉冲，不过这两种方法的基础都是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页叠加原理。从数学处理方法上看Fourier，变换法是求得f（t）的 Fourier 变换F，再在频域中由复频响应函数H与 F的成绩而求得响应的频谱函数X，HFX，最后再求 X的 Fourier 逆变换而得到响应tx。脉冲响应函数法则是直接在时间域中求激励函数f（t）与系统的单位脉冲响应函数th的卷积而得到tx。13.冲击的定义是什么？冲击的特点是什么？系统对半正弦脉冲冲击的响应分为几个阶段？每个阶段响应的表达式是什么？每个阶段的响应的最大峰值是什么？答：系统受到瞬态激励，器位移、速度、加速度突然发生变化的现象，称为冲击。冲击的特点是：冲击作用时，系统之间传递动能的时间远较系统振动的周期短。系统对正弦脉冲冲击响应分为两个阶段：载荷作用阶段和载荷拆除后的自由振动阶段。（1）载荷作用阶段的响应表达式为t0：ttkPdttmPtxnnntnsinsin11sinsin20000，最大峰值为：nnnmppkPtxx12112sin10max其中（2）载荷拆除后的响应表达式：ttxtxtxnnn其中sincos，最大峰值：2cos1220maxnnnkPx。14.对于两自由度无阻尼系统的自由振动，频率方程是什么？两个自然频率是什么？在每个自然频率下的振幅比是什么？固有振型的定义是什么？自然模精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页态的定义是什么？两个同步解的具体形式是什么？响应通解的表达式是什么？答：两自由度无阻尼系统的自由振动频率方程：024bcadda，两个自然频率即是频率方程的两个根1，2：bcaddada42121222,1。在两自然频率下的振幅：不能完全确定振幅1u ，2u ，只能确定它们的比值21uu：212111121dcbauur，222221222dcbauur；固有振型定义：当系统已频率1或2做同步简谐运动时，具有确定比值的一对常数11u、12u或21u、22u可以确定系统的振动形态，称之为固有振型，可用向量形式表示为：221222121111211111ruuuuruuuu，该式中1u，2u称为系统的模态向量，每一个模态向量和相应的自然频率构成系统的一个自然模态。两个同步解的具体形式为：1111111costCutx，11111112cosCrutx；2222121costCutx，22222122costCrutx。响应通解的表达式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页2222111122221111coscoscoscostrCtrCtxtCtCtx。15.弹性耦合和惯性耦合的定义分别是什么？自然坐标的定义是什么？对于两自由度系统的振动，坐标变换矩阵的表达式是什么？答：（ 1）弹性耦合定义：研究系统运动微分方程的矩阵形式，当其中的刚度矩阵是非对角矩阵，则称这种耦合方式为弹性耦合；惯性耦合的定义：研究系统运动微分方程的矩阵形式，当其中的质量矩阵是非对角矩阵，则称这种耦合方式为惯性耦合。（2）自然坐标的定义：是在对描述系统运动方程00212211tdxtcxtxtbxtaxtx的通解时提出的，引入自然坐标22221111coscostCtqtCtq则系统运动方程的通解可写作tqrtqrtxtqtqtx22112211（3）两自由度系统的振动，坐标变换矩阵的表达式是：2111rru16.什么叫拍击现象？对于双摆系统而言，运动微分方程的通解表达式是什么？拍频和拍的周期定义是什么？答：（ 1）当两自由度系统的两个自然频率很接近是，将会出现振幅以一种很低的频率周期变化的现象，即所谓拍击现象。（2）运动微分方程的通解：当02010，02010时，t101cos，t102cos当010，020，02010时，t201cos，t202cos当010，0201020时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页tttttttt2sin2sincoscos212cos2coscoscos21121202102121202101（3）拍频的定义：2212gLamk，拍的周期：2T。17.对于两自由度系统在谐波激励下的强迫振动，系统响应幅值的表达式是什么？对于无阻尼系统而言，系统响应幅值的表达式是什么？答：（ 1）两自由度系统在谐波激励下的强迫振动系统响应幅值表达式：21222112121221(zzzFzFzX21222112111212(zzzFzFzX其中：21122111ccimkkz，221221cikzz，32222322ccimkkz。（2）无阻尼时系统响应的幅值表达式：bcdabFFdX222121(bcdaFacFX222212(其中：121mkka，12mkb，22mkc，223mkkd18.广义坐标的概念是什么？对于多自由度系统而言，刚度系数、阻尼系数、质量系数的定义是什么？弹簧-质量-阻尼系统的规律是什么？答：（ 1）振动理论中，把能够完备的描述系统运动的一组独立参变量成为系统的广义坐标（“完备”是指能完全确定系统在任一时刻的位置或形状；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页“独立 ” 是指各个坐标都能在一定范围内任意取值期间不存在函数关系）。（2）刚度系数ijk：只在坐标jq上产生单位位移（其他坐标上的位移为零）而在jq上需要加的力；1, 2,10jrqjrnrqiijQk阻尼系数ijc：只在坐标jq上有单位速度（其他坐标上的速度为零）时在坐标jq上所需施加的力；1,2, 10jrqjrnrqiijQc质量系数ijm：只在坐标jq上有单位加速度（而其他坐标上的加速度为零）时在坐标jq上所需施加的力。1,2, 10jrqjrnrqiijQm（3）弹簧 -质量 -阻尼系统的规律：A刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的对角元素iik（或iic）为联结在质量im上的所有弹簧刚度（或阻尼系数）的和；B刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的非对角元素ijk（或ijc）为直接联结在质量im与jm之间的弹簧刚度（或阻尼系数），取负值；C一般而言，刚度矩阵和阻尼矩阵都是对称矩阵；D如果将系统质心作为坐标原点，则质量矩阵是对角矩阵，但一般情况下质量矩阵并不一定是对角的。19.对于 n 自由度无阻尼系统的自由振动，运动微分方程是什么？频率方程是什么？系统自由振动响应的通解是什么？答：（ 1）n自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程：0tqktqm频率方程：022ijijmk系统自由振动相应的通解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页nrnrrrrrrrtuCtqCtq11cos20.对于 n 自由度有阻尼系统的自由振动，运动微分方程是什么？对该方程解耦的方法是什么？具体分析说明。答：（ 1）对于 n 自由度有阻尼系统的自由振动运动微分方程：0tqktqctqm（2）解耦方法：采用自然坐标，并在两端左乘Tu，（1）中的运动微分方程变为：0tukutucutumuTTT，然后利用0rTrumusrnsr;,2, 1,，和0rTrukusrnsr;,2, 1,带入上式，得：0002ttCtr，可以看出质量矩阵与刚度矩阵均已对角化，但阻尼矩阵：ucuCT一般不对角，需要对角化。可以利用一些近似的方法将C 矩阵对角化。A如果在原来坐标中的阻尼矩阵c 可以近似地表示为质量矩阵与刚度矩阵的线性组合，即kmc，其中是大于或等于零的常数，在这种特殊情况下，坐标转换到自然坐标后，对应的阻尼矩阵 C 也将是个对角矩阵。B工程中的大多数机械振动系统中，阻尼都是非常小的，在这种情况下，虽然C 不是对角的仍可以用一个对角矩阵形式的阻尼矩阵近精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页似代替 C ，最简单的做法是将C 的非对角元素改为零。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
