高考数学二轮复习讲义专题六基本初等函数、函数与方程.docx

第2讲基本初等函数、函数与方程全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019指数式与对数式的大小比较T3函数的零点与三角恒等变换T52018由对数值求参数问题T13对数函数图象对称问题T72017对数函数的单调性与对称性T9(1)基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算，利用函数的性质比较大小，一般出现在第711题的位置，有时难度较大.(2)函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视. 基本初等函数的图象与性质例1(1)若当xR时，函数f(x)a|x|(a>0，且a1)满足f(x)1，则函数yloga(x1)的图象大致为()(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0，)时，函数f(x)是单调递减函数，则f(log25)，f，f(log53)的大小关系是()A.f<f(log53)<f(log25)B.f<f(log25)<f(log53)C.f(log53)<f<f(log25)D.f(log25)<f<f(log53)解析(1)由a|x|1(xR)，知0<a<1，又函数yloga(x1)的图象是由ylogax的图象向左平移一个单位而得，故选C.(2)因为f(x)在R上为偶函数，所以ff(log35)f(log35).由对数函数的单调性可知，log25>log35>1>log53>0.又因为f(x)在0，)上为单调递减函数，所以f(log53)>f(log35)>f(log25)，即f(log53)>f>f(log25).答案(1)C(2)D解题方略基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a的值不确定，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数.(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.(3)对于幂函数yx的性质要注意>0和<0两种情况的不同.跟踪训练1.若函数ya|x|(a>0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()解析：选Bya|x|的值域为y|y1，a>1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称.因此yloga|x|的图象应大致为选项B.2.(2019天津高考)已知alog27，blog38，c0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b解析：选A alog27>log242，blog38<log392且b>1，c0.30.2<0.301， c<b<a.故选A.3.已知函数f(x)logax(a0，且a1)满足ff，则f0的解集为()A.(0，1) B.(，1)C.(1，) D.(0，)解析：选C因为函数f(x)logax(a0且a1)在(0，)为单调函数，而且ff，所以f(x)logax在(0，)上单调递减，结合对数函数的图象与性质可由f0，得011，所以x1，故选C. 函数与方程 题型一确定函数零点个数或所在区间例2(1)(2019新疆乌鲁木齐地区三检)在下列区间中，函数f(x)ex3x4的零点所在的区间为()A. B.C. D.(2)(2019全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数为()A.2 B.3C.4 D.5解析(1)因为f(x)ex30，所以函数f(x)在R上单调递增.易知fe4e，因为e，所以e，所以f0，但f(1)e34e10，所以结合选项可知，函数f(x)的零点所在区间为，故选C.(2)令f(x)0，得2sin xsin 2x0，即2sin x2sin xcos x0， 2sin x(1cos x)0， sin x0或cos x1.又x0，2， 由sin x0得x0，或2，由cos x1得x0或2.故函数f(x)的零点为0，2，共3个.故选B.答案(1)C(2)B解题方略1.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.判断函数零点个数的3种方法题型二根据函数的零点求参数的范围例3(2019江西八所重点中学联考)已知f(x)若关于x的方程af(x)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是()A. B.C.(1，2) D.解析关于x的方程af(x)恰有两个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线ya恰有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可得实数a的取值范围是，故选B.答案B解题方略利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法跟踪训练1.若函数f(x)则函数g(x)f(x)1的所有零点之和等于()A.4 B.2C.1 D.0解析：选B令g(x)0，则f(x)1，得或解得x0或x2，所以函数g(x)f(x)1的所有零点之和等于2.故选B.2.对于实数a，b，定义运算“”：ab设f(x)(2x3)(x3)，且关于x的方程f(x)k(kR)恰有三个互不相同的实根，则k的取值范围为()A.(0，2) B.(0，3)C. D.解析：选B因为ab所以f(x)(2x3)(x3)其图象如图所示：由图可得，要使关于x的方程f(x)k(kR)恰有三个互不相同的实根，则k(0，3). 函数模型及其应用例4(1)(2019北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1，2).已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1C.lg 10.1 D.1010.1(2)某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料 200 千克，每千克饲料的价格为 1.8 元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天 0.03 元，购买饲料每次支付运费 300 元.则该场_天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.解析(1)设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2，由条件m126.7，m21.45，m2m1lg，得lg1.4526.725.25. lg25.2510.1， 1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.(2)设该场x(xN*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.036(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x1)6(x2)6(3x23x)(元).从而有y(3x23x300)2001.83x357417，当且仅当3x，即x10 时，y有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.答案(1)A(2)10解题方略1.应用函数模型解决实际问题常见类型(1)应用所给函数模型解决实际问题.(2)构建函数模型解决实际问题.2.求解函数应用问题的一般程序及关键(1)一般程序：.(2)解题关键：解答这类问题的关键是准确地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.跟踪训练1.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)已知某家庭2019年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4 m34 元二月份25 m314 元三月份35 m319 元若四月份该家庭使用了 20 m3 的煤气，则其煤气费为()A.11.5 元 B.11 元C.10.5 元 D.10 元解析：选A根据题意可知f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，解得A5，B，C4，所以f(x)所以f(20)4(205)11.5.2.(2019唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为 14.4 万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为 10%(即这辆车每年减少它的价值的 10%)，则大约使用_年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到 14.4万元.解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到 14.4 万元，依题意可得，14.4(10.9x)2.4x14.4.化简得x60.9x0.令f(x)x60.9x，易得f(x)为单调递增函数，又f(3)1.3740，f(4)0.063 40，所以函数f(x)在(3，4)上有一个零点.故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元.答案：4直观想象数形结合法在函数零点问题中的应用典例已知函数f(x)则函数yf(x)x4的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解析函数yf(x)x4的零点个数，即函数yx4与yf(x)的图象的交点的个数.如图所示，函数yx4与yf(x)的图象有两个交点，故函数yf(x)x4的零点有2个.故选B.答案B素养通路直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数.考查了直观想象这一核心素养.专题过关检测 A组“124”满分练一、选择题1.幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是()A.(0，)B.C.(，) D.(，0)解析：选D设f(x)xa，则2a，所以a2，所以f(x)x2，它是偶函数，单调递增区间是(，0).故选D.2.(2019全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a解析：选B由对数函数的单调性可得alog20.2<log210，由指数函数的单调性可得b20.2>201，0<c0.20.3<0.201，所以a<c<b.故选B.3.函数f(x)|x|3的零点所在区间为()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)解析：选B函数f(x)|x|3是单调减函数，因为f(1)10，f(2)10，所以f(1)f(2)0，可知函数f(x)|x|3的零点所在区间为(1，2).4.(2019广州市综合检测(一)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数hf(t)的图象大致是()解析：选B水位由高变低，排除C、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.5.若函数y(a>0，且a1)的定义域和值域都是0，1，则logaloga()A.1 B.2C.3 D.4解析：选C当a>1时，函数y在0，1上单调递减，1且0，解得a2；当0<a<1时，函数y在0，1上单调递增，0且1，此时无解.a2，因此logalogalog2log283.故选C.6.若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A.f(x)ex1 B.f(x)ex1C.f(x)ex1 D.f(x)ex1解析：选D与yex的图象关于y轴对称的图象对应的函数为yex.依题意，f(x)的图象向右平移1个单位长度，得yex的图象，f(x)的图象是由yex的图象向左平移1个单位长度得到的，f(x)e(x1)ex1.7.某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q(x)(台)进行统计，得数据如下：x(月份)12345Q(x)(台)691086根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数是()A.Q(x)axb(a0)B.Q(x)a|x4|b(a0)C.Q(x)a(x3)2b(a0)D.Q(x)abx(a0，b>0且b1)解析：选C观察数据可知，当x增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大约是关于Q(3)对称，故月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x3对称的，显然只有选项C满足题意，故选C.8.已知函数f(x)lg是奇函数，且在x0处有意义，则该函数为()A.(，)上的减函数B.(，)上的增函数C.(1，1)上的减函数D.(1，1)上的增函数解析：选D由题意知，f(0)lg(2a)0，a1，f(x)lglg，令>0，则1<x<1，排除A、B，又y1在(1，1)上是增函数，f(x)在(1，1)上是增函数.选D.9.设函数f(x)axk1(a>0，且a1)过定点(2，0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则g(x)loga(xk)的图象是()解析：选A由题意可知a2k10，解得k2，所以f(x)ax21，又f(x)在定义域R上是减函数，所以0<a<1.此时g(x)loga(x2)在定义域上单调递减，且恒过点(1，0)，故选A.10.(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.1，0) B.0，)C.1，) D.1，)解析：选C令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x).在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0，1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a<1时，仅有1个交点，不符合题意.当yxa在yx1下方，即a>1时，有2个交点，符合题意.综上，a的取值范围为1，).故选C.11.(2019贵阳市第一学期监测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0)上单调递减，若af，bf(log24.1)，cf(20.5)，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.bacC.cab D.cba解析：选D由题意，函数f(x)在(0，)上单调递增，因为函数yf(x)是定义在R上的偶函数，所以ff(log25)f(log25)，因为log25log24.1220.50，所以f(log25)f(log24.1)f(20.5)，即cba，故选D.12.(2019福州市质量检测)已知函数f(x)当xm，m1时，不等式f(2mx)f(xm)恒成立，则实数m的取值范围是()A.(，4) B.(，2)C.(2，2) D.(，0)解析：选B易知函数f(x)在xR上单调递减，又f(2mx)f(xm)在xm，m1上恒成立，所以2mxxm，即2xm在xm，m1上恒成立，所以2(m1)m，解得m2，故选B.二、填空题13.(2019广州市综合检测(一)已知函数f(x)x3alog3x，若f(2)6，则f_.解析：由f(2)8alog326，解得a，所以falog3alog32log32.答案：14.(2019河北模拟调研改编)已知函数f(x)loga(x1)(a0，且a1)在2，0上的值域是1，0，则实数a_；若函数g(x)axm3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为_.解析：函数f(x)loga(x1)(a0且a1)在2，0上的值域是1，0.当a1时，f(x)loga(x1)在2，0上单调递减，无解；当0a1时，f(x)loga(x1)在2，0上单调递增，解得a.g(x)3的图象不经过第一象限，g(0)30，解得m1，即实数m的取值范围是1，).答案：1，)15.已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为_元.解析：设利润为y元，租金定为3 00050x(0x70，xN)元.则y(3 00050x)(70x)100(70x)(2 90050x)(70x)50(58x)(70x)50204 800，当且仅当58x70x，即x6时，等号成立，故每月租金定为3 0003003 300(元)时，公司获得最大利润.答案：3 30016.已知函数f(x)在区间1，m上的最大值是2，则m的取值范围是_.解析：f(x)作出函数的图象，如图所示，因为函数f(x)在1，m上的最大值为2，又f(1)f(4)2，所以1<m4，即m(1，4.答案：(1，4B组“53”提速练1.定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0a1)的零点个数为()A.2B.3C.4 D.5解析：选D因为f(x)为奇函数，所以x0时，f(x)f(x)画出yf(x)和ya(0a1)的图象，如图共有5个交点，所以F(x)有5个零点.2.已知函数f(x)loga(2x2x)(a>0，且a1)，当x时，恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间是()A. B.(0，)C. D.解析：选A当x时，2x2x(0，1)，因为当x时，恒有f(x)>0，所以0<a<1，由2x2x>0得x>0或x<.又2x2x2，由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调递增区间为.3.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA4，M是PB上(P，B点除外)的一个动点，过点M作平面平面PAD，截棱锥所得截面面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数yf(x)的大致图象是()解析：选D法一：如图，过点M作MTPA交AB于点T，过点M作MNBC交PC于点N，过点N作NSPD交CD于点S，连接TS，则平面MTSN平面PAD，所以yS四边形MTSN.由PA平面ABCD，可得MT平面ABCD，所以平面与平面PAD之间的距离xAT，且四边形MTSN为直角梯形.由MTPA，MNBC，得，所以MT42(2x)，MN2x，所以yS四边形MTSN(MNST)(2x)(x2)4x2(0x2).故选D.法二：设M，N，S，T分别为棱PB，PC，CD，AB的中点，连接MN，NS，ST，MT，则易知四边形MTSN为直角梯形.易证CD平面PAD，平面MTSN平面PAD，所以此时x1，y(MNST)MT(12)23，即函数yf(x)的图象过点(1，3)，排除A、C；又当x0时，ySPAD244，所以排除B.故选D.4.(2019河北省九校第二次联考)若函数f(x)kx|xex|有两个正实数零点，则k的取值范围是()A.(0，) B.C.(0，1) D.(0，e)解析：选C令f(x)kx|xex|0，得kx|xex|，当x0时，k，令g(x)1，x0，则g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为g10，g(1)10，所以在上存在一个a，使得g(a)0，所以y|g(x)|的图象如图所示.由题意知，直线yk与y|g(x)|的图象有两个交点，所以0k1，故选C.5.已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A.(1，2 019) B.(1，2 020)C.2，2 020 D.(2，2 020)解析：选D法一：由于函数ysin x的周期为2，0x1，故它的图象关于直线x对称.不妨设0abc，则ab1，c1，故有abc2，再由正弦函数的定义域和值域可得f(a)f(b)f(c)0，1，故有0log2 019c1，解得c2 019.综上可得，2abc2 020，故选D.法二：作出函数f(x)的图象与直线ym，如图所示，不妨设abc，当0x1时，函数f(x)的图象与直线ym的交点分别为A，B，由正弦曲线的对称性，可得A(a，m)与B(b，m)关于直线x对称，因此ab1，当直线ym1时，由log2 019x1，解得x2 019.若满足f(a)f(b)f(c)，且a，b，c互不相等，由abc可得1c2 019，因此可得2abc2 020，即abc(2，2 020).故选D.6.已知在(0，)上函数f(x)则不等式log2xlog(4x)1f(log3x1)5的解集为_.解析：原不等式等价于或解得1x4或x1，所以原不等式的解集为.答案：7.某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长.记2016年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.617.008.87若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.则你认为最适合的函数模型的序号为_.解析：若模型为f(x)2xa，则由f(1)21a4，得a2，即f(x)2x2，此时f(2)6，f(3)10，f(4)18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)logxa，则f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)axb，由已知得解得所以f(x)x，xN，所以最适合的函数模型的序号为.答案：8.(2019吉林长春四校5月联考)已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)h(x)2x.若存在x1，1，使得不等式mg(x)h(x)0有解，则实数m的最大值为_.解析：因为g(x)h(x)2x，所以g(x)h(x)2x.又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以g(x)h(x)2x，联立，得g(x)，h(x).由mg(x)h(x)0，得m1.因为y1为增函数，所以当x1，1时，1，所以m，即实数m的最大值为.答案：