高考数学二轮复习讲义专题七坐标系与参数方程.docx

专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019曲线的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式T22求极坐标系下的曲线方程T22点的极坐标、圆的极坐标方程、极坐标的应用T222018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解T22参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用T22参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用T222017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离T22直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题T22直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法T22(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用. 极坐标例1(2019全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(0>0)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.解(1)因为M(0，0)在曲线C上，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos2.设Q(，)为l上除P外的任意一点.连接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上，所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(， )，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，且APOM，所以的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ，.解题方略1.直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将xcos ，ysin 代入即可.(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造2，sin ，cos ，常用的技巧有式子两边同乘以，两角和与差的正弦、余弦展开等.2.求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用.(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.跟踪训练 (2019安徽省考试试题)在直角坐标系xOy中，直线l1：x0，圆C：(x1)2(y1)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为(R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求OAB的面积.解：(1)xcos ，ysin ，直线l1的极坐标方程为cos 0，即(R)，圆C的极坐标方程为22cos 2sin 320.(2)设A，B，将代入22cos 2sin 320，得22320，解得11.将代入22cos 2sin 320，得22320，解得21.故OAB的面积为sin1. 参数方程例2(2019全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.解(1)因为1<1，且x21，所以C的直角坐标方程为x21(x1)，l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，<<).C上的点到l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.解题方略参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法.(2)三角恒等式法：利用sin2cos21消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.(3)常见消参数的关系式：t1；4；1.跟踪训练(2019南昌市第一次模拟测试)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程；(2)设点M(2，1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|MB|的值.解：(1)由参数方程得普通方程(x4)2(y3)24，所以曲线C的极坐标方程为28cos 6sin 210.(2)设点A，B对应的参数分别为t1，t2，将(t为参数)代入(x4)2(y3)24，得t2t10，所以t1t21，直线l：(t为参数)，可化为所以|MA|MB|2t1|2t2|4|t1t2|4. 极坐标与参数方程的综合应用例3(2019福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2，点P的极坐标为.(1)求C的直角坐标方程和P的直角坐标；(2)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.解(1)由2得22sin22，将2x2y2，ysin 代入并整理得，曲线C的直角坐标方程为y21.设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为，所以xcos cos1，ysin sin 1.所以点P的直角坐标为(1，1).(2)法一：将代入y21，并整理得41t2110t250，1102441258 0000，故可设方程的两根分别为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1t2.依题意，点M对应的参数为，所以|PM|.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0，y0.由消去t，得yx.将yx代入y21，并整理得41x216x160，因为(16)2441(16)2 8800，所以x1x2，x1x2.所以x0，y0x0，即M.所以|PM|.解题方略极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标方程，然后求解.(2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题. 一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题.跟踪训练1.(2019东北四市联合体模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30，且经过点A(2，1).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：cos 3.从坐标原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|ON|12，记点N的轨迹为曲线C.(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|AQ|的值.解：(1)直线l1的参数方程为(t为参数)，即(t为参数).设N(，)，M(1，1)(0，10)，则又1cos 13，所以12，即4cos ，所以曲线C的直角坐标方程为x24xy20(x0).(2)设P，Q对应的参数分别为t1，t2，将直线l1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得40，即t2t30，130，t1，t2为方程的两个根，所以t1t23，所以|AP|AQ|t1t2|3|3. 2.(2019贵阳市第一学期监测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos.(1)判断直线l与曲线C的位置关系；(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求xy的取值范围.解：(1)由消去t得yx4，由2cos得cos sin ，由xcos ，ysin ，2x2y2得1，即C是以为圆心，1为半径的圆，圆心到直线yx4的距离d51，所以直线l与曲线C相离.(2)圆的参数方程为(为参数)，则xysin cos sin，又由R可得1sin1，则xy，所以xy的取值范围为，.专题过关检测 大题专攻强化练1.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为4cos ，.(1)求半圆C的参数方程；(2)若半圆C与圆D：(x5)2(y)2m(m是常数，m0)相切，试求切点的直角坐标.解：(1)半圆C的普通方程为(x2)2y24(0y2)，则半圆C的参数方程为(t为参数，0t).(2)C，D的圆心坐标分别为(2，0)，(5，)，于是直线CD的斜率k.由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t满足tan t，t，所以切点的直角坐标为，即(2，1).2.(2019全国卷) 如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1，0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标.解：(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos .所以M1的极坐标方程为2cos ，M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2cos .(2)设P(，)，由题设及(1)知若0 ，则2cos ，解得；若 ，则2sin ，解得或；若 ，则2cos ，解得.综上，P的极坐标为或或或. 3.(2019福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，为l的倾斜角)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为4sin ，直线，(R)与曲线E分别交于不同于极点O的三点A，B，C.(1)若，求证：|OB|OC|OA|；(2)当时，直线l过B，C两点，求y0与的值.解：(1)证明：依题意，|OA|4sin |，|OB|，|OC|，|OB|OC|4sin4sin4sin |OA|.(2)当时，直线与曲线E的交点B的极坐标为，直线与曲线E的交点C的极坐标为，从而，B，C两点的直角坐标分别为B(，1)，C(0，4)，直线l的方程为yx4，y01，.4.(2019江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为2cos ，若极坐标系内异于O的三点A(1，)，B，C(1，2，30)都在曲线M上.(1)求证：123；(2)若过B，C两点的直线的参数方程为(t为参数)，求四边形OBAC的面积.解：(1)证明：由题意得12cos ，22cos，32cos，则232cos2cos2 cos 1.(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2y22x0，将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2t0，解得t10，t2，在平面直角坐标中，B，C(2，0)，则21，32，1.四边形OBAC的面积SSAOBSAOC12 sin13sin.5.在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过点M(2，4).以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C的极坐标方程为sin22cos .(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|MB|40，求倾斜角的值.解：(1)因为倾斜角为的直线过点M(2，4)，所以直线l的参数方程是(t是参数).因为曲线C的极坐标方程为sin22cos ，所以2sin22cos ，所以曲线C的直角坐标方程是y22x.(2)把直线的参数方程代入y22x，得t2sin2(2cos 8sin )t200，由题意知，0，设t1，t2为方程t2sin2(2cos 8sin )t200的两根，则t1t2，t1t2，根据直线参数方程的几何意义知|MA|MB|t1t2|40，故或，又(2cos 8sin )280sin20，所以.6.(2019湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为cos.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值.解：(1)由cos，得2cos sin ，x2y2xy0，即圆C的直角坐标方程为.(2)设l上任意一点P(t，t2)，过P向圆C引切线，切点为Q，连接PC，CQ，圆C的圆心为C，半径r，|PQ|2，即切线长的最小值为2.7.(2019石家庄市模拟(一)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)当0r2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求的取值范围.解：(1)由题意知曲线C的普通方程为(x2)2y2r2，令xcos ，ysin ，化简得24cos 4r20.(2)法一：把代入曲线C的极坐标方程中，得224r20.令44(4r2)0，结合0r2，得3r24.方程的解1，2分别为点A，B的极径，122，124r20，.3r24，04r21，(2，).法二：射线l的参数方程为(t为参数，t0)，将其代入曲线C的方程(x2)2y2r2中得，t22t4r20，令44(4r2)0结合0r2，得3r24，方程的解t1，t2分别为点A，B对应的参数，t1t22，t1t24r2，t10，t20，.3r24，04r21，(2，).8.(2019洛阳市统考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)设曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3，M(x，y)是曲线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值.解：(1)根据消参可得曲线C1的普通方程为x2y50，2，232sin24，将代入可得：x24y24.故曲线C2的直角坐标方程为y21.(2)曲线C2：y21，经过伸缩变换得到曲线C3的方程为y21，曲线C3的方程为y21.设M(4cos ，sin )，根据点到直线的距离公式可得点M到曲线C1的距离d2(其中tan 2)，点M到曲线C1的距离的最大值为2.