高考数学二轮复习讲义专题六函数的图象与性质.docx

专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019指数幂及对数值的大小比较T3利用奇函数的性质求函数解析式T6函数的奇偶性及单调性T12函数图象的识别T52018分段函数及函数的单调性、解不等式T12函数图象的识辨T3函数图象的识辨T9抽象函数的奇偶性及周期性T12函数的奇偶性及对数式运算T162017函数图象的识辨T8复合函数的定义域及单调性T8函数图象的识辨T7复合函数的单调性、对称性T9函数的奇偶性、函数值的求解T14分段函数、解不等式T16(1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第510或第1315题的位置上，难度一般.主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等.(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大. 函数的概念及其表示例1(1)已知f(x)(0a1)，且f(2)5，f(1)3，则f(f(3)()A.2B.2C.3 D.3(2)已知函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_.解析(1)由题意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3，联立，结合0a1，得a，b1，所以f(x)则f(3)19，f(f(3)f(9)log392，故选B.(2)当x1时，f(x)2x11，函数f(x)的值域为R，当x<1时，y(12a)x3a必须取遍(，1内的所有实数，则解得0a.答案(1)B(2)解题方略1.函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.2.分段函数问题的5种常见类型及解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解跟踪训练1.已知函数f(x)的定义域为0，2，则函数g(x)f的定义域为()A.0，3B.0，2C.1，2 D.1，3解析：选A由题意，函数f(x)的定义域为0，2，即x0，2，因为函数g(x)f，所以得0x3，即函数g(x)的定义域为0，3，故选A.2.函数f(x)2(2x2)的值域为()A.(2.4) B.2，4)C.2，4 D.(2，4解析：选B法一：因为f(x)2(2x2)，所以f(x)函数f(x)的图象如图所示，由图象得，函数f(x)的值域为2，4).法二：因为f(x)2(2x2)，当2x0时，f(x)2x，所以2f(x)4；当0x2时，f(x)2.综上，函数f(x)的值域为2，4).3.已知具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：f(x)x；f(x)x；f(x)其中满足“倒负”变换的函数是()A. B.C. D.解析：选B对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足.综上可知，满足“倒负”变换的函数是. 函数的图象及应用题型一函数图象的识别例2(1)(2019开封市定位考试)函数f(x)的大致图象如图所示，则函数f(x)的解析式可以是()A.f(x)x2sin|x|B.f(x)cos 2xC.f(x)cosD.f(x)(2)(2019福建五校第二次联考)函数f(x)x2ln(ex)ln(ex)的图象大致为()解析(1)由题中图象可知，在原点处没有图象，故函数的定义域为，故排除选项A、C；又函数图象与x轴只有两个交点，f(x)cos 2x中cos 2x0有无数个根，故排除选项B，正确选项是D.(2)因为f(x)(x)2ln(ex)ln(ex)x2ln(ex)ln(ex)f(x)，所以函数f(x)是偶函数，据此可排除选项C.当xe时，f(x)，据此可排除选项B、D.故选A.答案(1)D(2)A解题方略寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法知式选图从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置从函数的单调性，判断图象的变化趋势从函数的奇偶性，判断图象的对称性从函数的周期性，判断图象的循环往复知图选式从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域从图象的变化趋势，观察函数的单调性从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性从图象的循环往复，观察函数的周期性题型二函数图象的应用例3(1)函数f(x)是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是()A.a0 B.aC.1a D.a1(2)(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)<f(2x)的x的取值范围是()A.(，1 B.(0，)C.(1，0) D.(，0)解析(1)因为f(x)是R上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则解得a1，故选D.(2)f(x)函数f(x)的图象如图所示.结合图象知，要使f(x1)<f(2x)，则需或x<0，故选D.答案(1)D(2)D解题方略1.利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解.2.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.跟踪训练1.已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，)B.f(x)是偶函数，递减区间是(，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(，0)解析：选C将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值，得f(x)作出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减.2.(2019安徽五校联盟第二次质检)函数y的图象大致为()解析：选C因为函数y为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x0时，y ，所以函数y在(0，)上单调递减，所以排除选项B、D；又当x1时，y1，所以排除选项A，故选C.3.已知函数f(x)，则下列结论正确的是()A.函数f(x)的图象关于点(1，2)对称B.函数f(x)在(，1)上是增函数C.函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线ABx轴D.函数f(x)的图象关于直线x1对称解析：选A因为f(x)2，所以函数f(x)在(，1)上是减函数，排除B；画出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象排除C、D.因为f(x)f(2x)4，所以函数f(x)的图象关于点(1，2)对称. 函数的性质及应用例4(1)(2019广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f(x)其中aR，若f(5)f(4.5)，则a()A.0.5 B.1.5C.2.5 D.3.5(2)(2019济南市模拟考试)已知函数f(x)cos1，则f(x)的最大值与最小值的和为()A.0 B.1C.2 D.4解析(1)由f(x1)f(x1)，即有f(x2)f(x)，得f(x)是周期为2的函数，又f(5)f(4.5)，所以f(1)f(0.5)，即1a1.5，所以a2.5，故选C.(2)由已知得f(x)sin 2x1，因为ysin 2x，y都为奇函数，所以不妨设f(x)在xa处取得最大值，则根据奇函数的对称性可知，f(x)在xa处取得最小值，故f(a)f(a)sin 2a1sin(2a)12.故选C.答案(1)C(2)C解题方略函数3个性质及应用奇偶性具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上.尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)f(x)单调性可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性周期性利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解跟踪训练1.(2018全国卷)下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()A.yln(1x) B.yln(2x)C.yln(1x) D.yln(2x)解析：选B函数yf(x)的图象与函数yf(ax)的图象关于直线x对称，令a2可得与函数yln x的图象关于直线x1对称的是函数yln(2x)的图象.故选B.2.(2019河北省九校第二次联考)已知函数f(x)x32xsin x，若f(a)f(12a)>0，则实数a的取值范围是()A.(1，) B.(，1)C. D.解析：选Bf(x)的定义域为R，f(x)f(x)，f(x)为奇函数，又f(x)3x22cos x>0，f(x)在(，)上单调递增，由f(a)f(12a)>0，得f(a)>f(2a1)，a>2a1，解得a<1，故选B.3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1<x2)，都有x2f(x1)>x1f(x2)，记af(2)，bf(1)，cf(3)，则a，b，c之间的大小关系为()A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.a>c>b解析：选B因为对任意两个正数x1，x2(x1<x2)，都有x2f(x1)>x1f(x2)，所以>，得函数g(x)在(0，)上是减函数，又cf(3)f(3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c，故选B.数学抽象抽象函数与函数的三大性质典例定义在R上的奇函数f(x)满足ff(x)，当x时，f(x)log(1x)，则f(x)在区间上是()A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0解析当x时，由f(x)log(1x)可知f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数f(x)也单调递增，且f(x)<0.由ff(x)知，函数f(x)的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.故选D.答案D素养通路数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征.本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调性，由ff(x)得知f(x)的周期，进而得出f(x)在区间上的性质.考查了数学抽象这一核心素养.专题过关检测 A组“124”满分练一、选择题1.函数ylog2(2x4)的定义域是()A.(2，3) B.(2，)C.(3，) D.(2，3)(3，)解析：选D由题意得解得x2且x3，所以函数ylog2(2x4)的定义域为(2，3)(3，)，故选D.2.若函数f(x)满足f(1ln x)，则f(2)()A. B.eC. D.1解析：选B法一：令1ln xt，则xe1t，于是f(t)，即f(x)，故f(2)e.法二：由1ln x2，得x，这时e，即f(2)e.3.(2019长沙市统一模拟考试)下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是()A.f(x)sin xxB.f(x)ln(x1)ln(x1)C.f(x)D.f(x)解析：选D由题意，f(x)sin xx，该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，而f(x)cos x10，即在定义域内f(x)sin xx单调递减，故A不满足；对于B，研究定义域可得即该函数的定义域为(1，)，所以该函数是非奇非偶函数，故B不满足；对于C，函数的定义域为R，f(x)f(x)，所以该函数是偶函数，不满足图象关于原点对称的条件，故C不满足；对于D，函数的定义域为R，f(x)f(x)，所以该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，又f(x)>0，所以该函数在其定义域内单调递增，满足题目中的条件，故选D.4.(2019江西九江两校3月联考)已知函数f(x)x2axb的图象过坐标原点，且满足f(x)f(1x)，则函数f(x)在1，3上的值域为()A.0，12 B.C. D.解析：选B因为函数f(x)x2axb的图象过坐标原点，所以f(0)0，则b0.由f(x)f(1x)，可知函数的图象的对称轴为直线x，即，所以a1，则f(x)x2x，所以当x时，f(x)取得最小值，且最小值为.又f(1)0，f(3)12，所以f(x)在1，3上的值域为.故选B.5.函数f(x)的图象大致为()解析：选C函数f(x)是非奇非偶函数，排除A、B；函数f(x)的零点是xe1，当xe时，f(e)<，排除选项D.6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，则()A.f(25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(25)C.f(11)<f(80)<f(25)D.f(25)<f(80)<f(11)解析：选D因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1).因为f(x)在区间0，2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2，2上是增函数，所以f(1)<f(0)<f(1)，即f(25)<f(80)<f(11).7.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图象，则f(2 019)f(2 020)()A.2 B.1C.1 D.0解析：选B因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 019)f(2 0196733)f(0)，f(2 020)f(2 0206733)f(1)，由题中图象知f(0)0，f(1)1，所以f(2 019)f(2 020)f(0)f(1)011，故选B.8.(2019湖北武汉3月联考)设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的单调递减区间是()A.(，0 B.0，1)C.1，) D.1，0解析：选B由题意知g(x)x2f(x1)画出函数g(x)的图象(图略)，由图可得函数g(x)的单调递减区间为0，1).故选B.9.(2019湖北省部分重点中学4月联考)已知函数f(x)g(x)f(x)，则函数g(x)的图象大致是()解析：选D先画出函数f(x)的图象，如图(1)所示，再根据函数f(x)与f(x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数f(x)的图象，即g(x)的图象，如图(2)所示，故选D.10.(2019湖北武汉部分重点中学3月联考)已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(1)1，若f(2x1)1，则x的取值范围为()A.(，1 B.1，)C.0，1 D.(，01，)解析：选C由题意，得f(x)在(，0上单调递增，且f(1)1，所以f(2x1)f(1)，则|2x1|1，解得0x1.故选C.11.已知函数f(x)对于任意的x1x2，都有(x1x2)f(x2)f(x1)0成立，则实数a的取值范围是()A.(，3 B.(，3)C.(3，) D.1，3)解析：选D由(x1x2)f(x2)f(x1)0，得函数f(x)为R上的单调递减函数，则解得1a3.故选D.12.已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()A.有最小值1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值1，无最大值D.有最大值1，无最小值解析：选C作出函数g(x)1x2和函数|f(x)|2x1|的图象如图所示，得到函数h(x)的图象如图所示，由图象得函数h(x)有最小值1，无最大值. 二、填空题13.(2019山东济宁期末改编)已知函数f(x)若f(e)3f(0)，则b_，函数f(x)的值域为_.解析：由f(e)3f(0)得1b3(1)，即b2，即函数f(x)当x1时，yln x22；当x1时，yex2(2，e2.故函数f(x)的值域为(2，e2(2，).答案：2(2，e2(2，)14.(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)eax，若f(ln 2)8，则a_.解析：设x>0，则x<0. 当x<0时，f(x)eax， f(x)eax. f(x)是奇函数， f(x)f(x)eax， f(ln 2)ealn 2(eln 2)a2a.又 f(ln 2)8， 2a8， a3.答案：315.已知定义在R上的偶函数f(x)满足当x0时，f(x)loga(x1)(a>0，且a1)，则当1<f(1)<1时，a的取值范围为_.解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)f(1)loga2.因为1<f(1)<1，所以1<loga2<1，所以loga<loga2<logaa.当a>1时，原不等式等价于解得a>2；当0<a<1时，原不等式等价于解得0<a<.综上，实数a的取值范围为(2，).答案：(2，)16.(2019河北保定两校3月联考)对于函数yf(x)，若存在x0，使f(x0)f(x0)0，则称点(x0，f(x0)是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为_.解析：由“优美点”的定义，可知若点(x0，f(x0)是曲线yf(x)的“优美点”，则点(x0，f(x0)也在曲线yf(x)上.如图，作出函数yx22x(x0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为yx22x(x0).设过定点(0，2)的直线yk1x2与曲线yf(x)x22x(x0)切于点A(x1，f(x1)，则k1y|2x12，解得x1或x1(舍去)，所以k122.由图可知，若曲线yf(x)存在“优美点”，则k22.答案：(，22B组“53”提速练1.设yf(x)是R上的奇函数，且f(x)在区间(0，)上递减，f(2)0，则f(x)0的解集是()A.(，2)B.(0，2)C.(，2)(0，2) D.(2，0)(0，2)解析：选C根据题意，函数f(x)是奇函数，在区间(0，)上单调递减，且f(2)0，则函数f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)f(2)0.当x0时，若f(x)0，即f(x)f(2)，必有0x2，当x0时，若f(x)0，即f(x)f(2)，必有x2，即f(x)0的解集是(，2)(0，2).2.(2019全国卷)函数y在6，6的图象大致为()解析：选B yf(x)，x6，6， f(x)f(x)， f(x)是奇函数，排除选项C.当x4时，y7.97(7，8)，排除选项A、D.故选B.3.已知函数f(x)为偶函数，且函数f(x)与g(x)的图象关于直线yx对称，若g(3)2，则f(2)()A.2 B.2C.3 D.3解析：选D因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线yx对称，且g(3)2，所以f(2)3，因为函数f(x)为偶函数，所以f(2)f(2)3，故选D.4.(2019重庆4月调研)已知函数f(x)2xlog3 ，若不等式f>3成立，则实数m的取值范围是()A.(1，)B.(，1)C. D.解析：选D由>0，得2<x<2，因为y2x在(2，2)上单调递增，ylog3log3log3在(2，2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)3，所以不等式f>3成立等价于不等式ff(1)成立，所以解得<m<1.故选D.5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(nN*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数，给出下列函数：f(x)sin 2x；g(x)x3；h(x)；(x)ln x.其中是一阶整点函数的是()A. B.C. D.解析：选C对于函数f(x)sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h(x)，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(1，3)，所以它不是一阶整点函数，排除B.6.已知函数f(x)的图象关于点(3，2)对称，则函数h(x)f(x1)3的图象的对称中心为_.解析：函数h(x)f(x1)3的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f(x)的图象关于点(3，2)对称，所以函数h(x)的图象的对称中心为(4，1).答案：(4，1)7.设函数f(x)则满足f(x)f(x1)<2的x的取值范围是_.解析：当x<0时，f(x)f(x)x(x1)x(x1)，若x<0，则x1<1，由f(x)f(x1)<2得x(x1)(x1)x<2，即2x2<2，即x2>1，此时恒成立，此时x<0.若x1，则x10，由f(x)f(x1)<2得x(x1)(x1)(x2)<2，即x22x<0，即0<x<2，此时1x<2.若0x<1，则x1<0，则由f(x)f(x1)<2得x(x1)(x1)x<2，即0<2，此时不等式恒成立，此时0x<1，综上x<2，即不等式的解集为(，2).答案：(，2)8.若函数yf(x)满足：对于yf(x)图象上任意一点P(x1，f(x1)，总存在点P(x2，f(x2)也在yf(x)图象上，使得x1x2f(x1)f(x2)0成立，称函数yf(x)是“特殊对点函数”.给出下列五个函数：yx1；yex2；yln x；y(其中e为自然对数底数).其中是“特殊对点函数”的序号是_.(写出所有正确的序号)解析：由P(x1，f(x1)，P(x2，f(x2)满足x1x2f(x1)f(x2)0，知0，即.yx1.当P(1，1)时，由图象知满足的点P(x2，f(x2)不在yx1上，故yx1不是“特殊对点函数”；yex2.作出函数yex2的图象，由图象知，满足的点P(x2，f(x2)都在yf(x)图象上，则是“特殊对点函数”；yln x.当P(1，0)时，满足的点不在yln x上，故yln x不是“特殊对点函数”；y.作出函数y的图象，由图象知，满足的点P(x2，f(x2)都在yf(x)图象上，则是“特殊对点函数”.答案：