高考数学二轮复习讲义专题一三角恒等变换与解三角形.docx

第2讲三角恒等变换与解三角形全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019诱导公式及两角和的正切公式T7二倍角公式的应用T11正弦定理的应用及三角形面积计算T18正、余弦定理的应用T11正弦定理的应用T152018三角函数的定义及恒等变换T11二倍角公式及余弦定理T7二倍角公式T4正、余弦定理及三角形面积公式T16诱导公式及三角恒等变换T15三角形的面积公式及余弦定理T112017三角恒等变换、正弦定理解三角形T11利用正、余弦定理解三角形T16三角恒等变换求值问题T4三角恒等变换求值问题T15利用正弦定理解三角形T15(1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现.(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第411或第1416题位置上.(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17(或18)题位置上，难度中等.在17(或18)题位置上进行考查时，与“数列”交替进行考查(近三年文科多考“数列”). 三角恒等变换例1(1)(2019重庆市学业质量调研)已知sin cos(2)，则tan 2()A.B.C. D.(2)已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于()A. B.C. D.解析(1)法一：由sin cos(2)，得sin cos ，所以tan ，则tan 2，故选B.法二：由sin cos(2)，得sin cos ，所以tan 2，故选B.(2)0<<，0<<，<<.sin()，sin ，cos()，cos ，cos cos()cos cos()sin sin()，.答案(1)B(2)C解题方略三角函数求值的类型及方法给角求值解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形给值求值给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用.同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的给值求角实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围跟踪训练1.(2019全国卷)tan 255()A.2 B.2C.2 D.2解析：选Dtan 255tan(18075)tan 75tan(4530)2.故选D.2.(2019洛阳尖子生第二次联考)若复数zi是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为()A.7 B.C.7 D.7或解析：选A由复数z为纯虚数，得即又sin2cos21，所以sin ，所以tan ，于是tan7.3.(2019江西省五校协作体试题)若，且2sin2sin 2，则tan_.解析：由2sin2sin 2，得1cos 2sin 2，得cos 2sin 2，2cos，即cos，又，所以2，则tan，所以tantan.答案： 利用正、余弦定理解三角形题型一利用正、余弦定理进行边、角计算例2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan AtanB.(1)求角A的大小；(2)设D为AC边上一点，且BD5，DC3，a7，求c.解(1)在ABC中，tan Atan B，即，则tan A，又0<A<，A.(2)由BD5，DC3，a7，得cosBDC，又0<BDC<，BDC.又A，ABD为等边三角形，c5.变式1若本例(2)变为：a，求bc的取值范围.解：由余弦定理a2b2c22bccos A，可得b2c23bc，即(bc)233bc(bc)2，当且仅当bc时取等号，bc2，又由两边之和大于第三边可得bc>，bc(，2.变式2若本例(2)变为：ADBC，且a，求AD的取值范围.解：SABCADBCbcsin A，ADbc.由余弦定理得cos A，0<bc3(当且仅当bc时等号成立)，0<AD，即AD的取值范围为.解题方略正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.注意应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.题型二利用正、余弦定理进行面积计算例3(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围.解(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsinB.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由(1)知AC120，由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0<A<90，0<C<90.结合AC120，得30<C<90，所以<a<2，从而<SABC<.因此，ABC面积的取值范围是.解题方略三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式.(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.三角形面积公式还可用其它几何量表示S(abc)r，其中abc为三角形的周长，r为三角形内切圆的半径.题型三正、余弦定理的实际应用例4甲船从位于海岛B正南10海里的A处，以4海里/时的速度向海岛B行驶，同时乙船从海岛B以6海里/时的速度向北偏东60方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为_小时.解析如图，设经过x小时后，甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，则AD4x，BC6x，则BD104x，由余弦定理得，CD2(104x)2(6x)22(104x)6xcos 12028x220x10028.若甲船行驶2.5小时，则甲船到达海岛B，因而若x<2.5，则当x时距离最小，且最小距离为 ，若x2.5，则BC62.515>，因而当两船相距最近时，两船行驶的时间为小时.答案解题方略解三角形实际应用问题的步骤跟踪训练1.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A.6 B.5C.4 D.3解析：选A asin Absin B4csin C， 由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A， 6.故选A.2.(2019河南期末改编)在ABC中，B，AC，且cos2Ccos2Asin2Bsin Bsin C，则C_，BC_.解析：由cos2Ccos2Asin2Bsin Bsin C，可得1sin2C(1sin2A)sin2Bsin Bsin C，即sin2Asin2Csin2Bsin Bsin C.结合正弦定理得BC2AB2AC2ACAB，所以cos A，A，则CAB.由，解得BC.答案：3.(2019江西七校第一次联考)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin Asin B)(cb)(sin Csin B).(1)求角C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长.解：(1)由a(sin Asin B)(cb)(sin Csin B)及正弦定理，得a(ab)(cb)(cb)，即a2b2c2ab.所以cos C，又C(0，)，所以C.(2)由(1)知a2b2c2ab，所以(ab)23abc27，又Sabsin Cab，所以ab6，所以(ab)273ab25，ab5.所以ABC的周长为abc5. 解三角形与三角函数的交汇问题例5如图，在ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC10，BC15.(1)求ABC的面积；(2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10，0)，若函数f(x)Msin(x)的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式.解(1)在ABC中，由角B，A，C成等差数列，得BC2A，又ABC，所以A.设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可知a2b2c22bccos ，所以c210c1250，解得cAB55.因为CO10sin 5，所以SABC(55)5(3).(2)因为AO10cos 5，所以函数f(x)的最小正周期T2(105)30，故.因为f(5)Msin0，所以sin0，所以k，kZ.因为|<，所以.因为f(0)Msin 5，所以M10，所以f(x)10sin.解题方略解三角形与三角函数交汇问题一般步骤跟踪训练(2019湖南省五市十校联考)已知向量m(cos x，sin x)，n(cos x，cos x)，xR，设函数f(x)mn.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)2，bc2，ABC的面积为，求a的值.解：(1)由题意知，f(x)cos2xsin xcos xsin1.令2x，kZ，解得x，kZ，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)f(A)sin12，sin1.0A，2A，2A，即A.由ABC的面积Sbcsin A，得bc2，又bc2，a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)(2)2442(1)2，解得a1.数学建模解三角形的实际应用典例为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候观测仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测.如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100 m，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30.(1)求A，C两地间的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为340 m/s)解(1)设BCx m，由条件可知ACx340(x40)m.在ABC中，由余弦定理，可得BC2AB2AC22ABACcosBAC，即x21002(x40)22100(x40)，解得x380.所以AC38040420(m)，故A，C两地间的距离为420 m.(2)在RtACH中，AC420，HAC30，所以HCACtan 30420140，故这种仪器的垂直弹射高度为140 m.素养通路数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.本题中把求A，C两地间的距离问题建立数学模型，在ABC中，通过解三角形求AC的长，把求高度HC建立数学模型，在RtACH中，通过解三角形求HC的长.考查了数学建模这一核心素养. 专题过关检测 A组“633”考点落实练一、选择题1.(2019开封市定位考试)已知cos，则cos 2的值为()A.B.C. D.解析：选B因为cos，所以sin ，所以cos 212，故选B.2.(2019长春市质量监测一)函数f(x)sinsin x的最大值为()A. B.2C.2 D.4解析：选A法一：由已知得f(x)sin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函数的最大值为，故选A.法二：由已知得f(x)sin xcos xsin xsin xcos x，故函数的最大值为 ，故选A.3.(2019长春市质量监测一)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bacos Cc，则角A等于()A.60 B.120C.45 D.135解析：选A由bacos Cc及余弦定理，可得bac，即2b2b2a2c2bc，整理得b2c2a2bc，于是cos A，又0A，所以A60，故选A.4.(2019江西七校第一次联考)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba，a2，c，则角C()A. B.C. D.解析：选D由ba，得sin Bsin A.因为sin Bsin(AC)sin(AC)，所以sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin Asin C(sin C0)，cos Asin A，所以tan A.因为0A，所以A.由正弦定理，得sin C.因为0C，所以C.故选D.5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cos A，则ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形解析：选A根据正弦定理得<cos A，即sin C<sin Bcos A.ABC，sin Csin(AB)<sin Bcos A，整理得sin Acos B<0.又三角形中sin A>0，cos B<0，<B<，ABC为钝角三角形.6.(2018南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)的200千米处，若cos cos ，则v()A.60 B.80C.100 D.125解析：选C如图，台风中心为B，2.5小时后到达点C，则在ABC中，ABsin ACsin ，即sin sin ，又cos cos ，sin2cos2sin2cos21sin2cos2，sin cos ，sin ，cos ，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin 0，BC2AB2AC2，(2.5v)215022002，解得v100，故选C.二、填空题7.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_.解析：由余弦定理得b2a2c22accosB.又 b6，a2c，B， 364c2c222c2， c2，a4， SABCacsin B426.答案：68.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，2sin Asin B，且b6，则c_.解析：由余弦定理得a2b2c22bcb2c2bc，又2sin Asin B，由正弦定理可得，即a2b24c20，则b2c2bcb24c20.又b6，c22c240，解得c4(负值舍去).答案：49.(2019洛阳市统考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且tan B，则的值是_.解析：a，b，c成等比数列，b2ac，由正弦定理得sin2Bsin Asin C，tan B，sin B，. 答案：三、解答题10.(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cos ADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sin ADB.由题设知，ADB<90，所以cos ADB .(2)由题设及(1)知，cos BDCsin ADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcos BDC25825225，所以BC5.11.(2019重庆市学业质量调研)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为accos B，且sin A3sin C.(1)求角B的大小；(2)若c2，AC的中点为D，求BD的长.解：(1)SABCacsin Baccos B，tan B.又0B，B60.(2)sin A3sin C，由正弦定理得，a3c，a6.由余弦定理得b26222226cos 6028，b2.cos A.D是AC的中点，AD.BD2AB2AD22ABADcos A22()22213.BD.12.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.解：(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0<A<180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).因为0<C<120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.B组大题专攻强化练1.(2019江西七校第一次联考)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a2(bc)2bc.(1)求角A的大小；(2)若f(x)sin(2xA)，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后又向上平移了2个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及单调递减区间.解：(1)a2(bc)2bc，a2b2c2bc，cos A，又0A，A.(2)f(x)sin，g(x)sin2，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函数g(x)的单调递减区间为，kZ.2.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Acos Ccsin Acos Abcos A0.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积为4，且b，a，c成等差数列，求ABC的内切圆的半径.解：(1)由asin Acos Ccsin Acos Abcos A0，可知sin A(sin Acos Ccos Asin C)sin Bcos A，sin Asin(AC)sin Bcos A，sin(AC)sin B，sin Asin Bsin Bcos A，sin B0，sin Acos A，tan A，又A(0，)，A.(2)由题意可知SABCbcsin Abc4，bc16，又a2b2c22bccos A，a2(bc)23bc，又b，a，c成等差数列，a24a248，a4，bc2a8，ABC的周长为abc12，设ABC内切圆的半径为r，则r(abc)SABC，即r124，r.3.(2019武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C.(1)求B的大小；(2)求sin Acos C的取值范围.解：(1)锐角三角形ABC中，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C，故b2a2c2ac，cos B，又B，所以B.(2)由(1)知，CA，故sin Acos Csin Acossin Acos Asin.又A，CA，所以A，A，sin，故sin Acos C的取值范围为.4.(2019洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，ABC为锐角，ADBD，AC平分BAD，BC2，BD3，BCD的面积S.(1)求CD；(2)求ABC.解：(1)在BCD中，SBDBCsinCBD，BC2，BD3，sinCBD.ABC为锐角，CBD30.在BCD中，由余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcosCBD(2)2(3)222(3)9，CD3.(2)在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBDC.BCBD，BDC为锐角，cosBDC.在ACD中，由正弦定理得，即.在ABC中，由正弦定理得，即.AC平分BAD，CADBAC.由得，解得sinABC.ABC为锐角，ABC45.技法指导迁移搭桥1.常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如：()()，2()()，2()()，2，.2.常用的变式技巧主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及sin xcos x、sin xcos x的问题，常做换元处理，如令tsin xcos x，将原问题转化为关于t的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等. 典例在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值.快审题求什么想什么求角B的大小，想到角B的三角函数值.求三角函数值，想到由已知三角函数值求值.给什么用什么已知边角关系式，用正弦定理统一角.已知边的大小，用余弦定理求边.差什么找什么求sin(2AB)的值，缺少2A的三角函数值，应找A的三角函数值.稳解题(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又因为bsin Aacos，所以asin Bacos，即sin Bcos Bsin B，所以tan B.因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因为ac，所以cos A.所以sin 2A2sin Acos A， cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.题后悟道1.利用正、余弦定理求解问题的策略2.三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”.