2022年《高等数学》试题与解答 .pdf

优秀学习资料欢迎下载高等数学（下）试卷（ A 卷 2005.7）试卷号 B020003 学校名 _ 学院_ 专业年级 _ 姓名_ 序号_ 任课教师 _ 题号一二三四五六七八九总成绩成绩阅卷人（请考生注意：本试卷为20XX 级用，共九道题，120 分钟）一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分5 小题 , 每小题 3 分, 共 15 分 ) 1. 设f x yx yxyxy( , )32231，则fy( , )3 2=（） 。(A) 41 (B) 40 (C) 42 (D) 39 2. 函数fx yxyyxxyxy( , )sinsin11000，则极限lim( , )xyfx y00= （） 。(A) 不存在(B) 等于 1 (C)等于零(D) 等于 2 3 若),(yxf在关于y轴对称的有界闭区域D上连续， 且),(),(yxfyxf则二重积分Ddxdyyxf),(的值等于（） 。AD的面积B0 CDdxdyyxf),(2D),(yxf4设 0na), 2, 1(1nn，则下列级数中可断定收敛的是（）. A1nna；B1) 1(nnna；C1nna；D12)1(nnna5. 设二阶线性非齐次方程)()()(xfyxqyxpy有三个特解xy1，xey2，xey23，则其通解为（） 。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载 A.xxeCeCx221； B.xxeCeCxC2321； C.)()(221xxxexCeeCx； D.)()(2221xeCeeCxxx二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分6 小题 , 每小题 3 分, 共 18 分 ) 1函数yxyaxxyxf22),(22在点)1, 1(处取得极值， 则常数a_。2若曲面2132222zyx的切平面平行于平面02564zyx，则切点坐标为。3、 函数22),(zxyzyxf在点(2,-1,1)处沿向量)32,32,31(n所指方向的方向导数为。4)(xf是以 2为周期的函数，且在（， 上有表达式xxxxf0,0,0)(，)(xS是)(xf的傅立叶级数的和函数，则)(S= . 5. 设f(x) 有 连 续 导 数 ，2)1(f， L是 单 连 通 域 上 任 意 简 单 闭 曲 线 ， 且则 f(x)= . 6. 微分方程2222xxexyyy的通解为。三（10 分） 、计算二重积分dxeydyyx1103. 四（10 分） 、设),(xyyxfz具有连续的二阶偏导数，求yxzyzxz2,。五（10 分） 、设)(xyy满足方程xeyyy223，且其图形在点)1,0(与曲线12xxy相切，求函数)(xy。六（10 分）计算Ldyxyxdxyy)34()2(23，其中L是沿曲线21xy从点)0, 1(到点)1 ,0(的圆弧。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载七、（10 分）求幂级数1nnnx的收敛区间及和函数，并计算极限)321(lim32nnanaaa)1(a。八（10 分） 、计算曲面积分dxdyazaxdydz2)(，其中有向曲面为下半球面222yxaz取下侧，a为大于零的常数。九、 （7 分） 设1),(22yxyxD，),(yxu与),(yxv在 D 上具有一阶连续偏导数，jyvxviyuxuGjyxuiyxvF,),(),(，且在 D 的边界曲线 L（正向）上有yyxvyxu),(, 1),(，证明dGFD名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载20XX 级高等数学（下）试卷解答(A 卷 2005.7) 试卷号： B020003 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分5 小题 , 每小题 3 分, 共 15 分 ) 1、设fx yx yxyxy( , )32231，则fy( , )3 2=（C ） 。(A) 41 (B) 40 (C) 42 (D) 39 2、 函数f x yxyyxxyxy( , )sinsin11000， 则极限lim( , )xyfx y00= （C ） 。(A) 不存在(B) 等于 1 (C)等于零(D)等于 2 3若),(yxf在关于y轴对称的有界闭区域D上连续，且),(),(yxfyxf则二重积分Ddxdyyxf),(的值等于（B ） 。AD的面积B0 CDdxdyyxf),(2D),(yxf4设 0na),2, 1(1nn，则下列级数中可断定收敛的是（D ）. A1nna；B1) 1(nnna；C1nna；D12)1(nnna5、设二阶线性非齐次方程)()()(xfyxqyxpy有三个特解xy1，xey2，xey23，则其通解为（ C ） 。 A.xxeCeCx221； B.xxeCeCxC2321； C.)()(221xxxexCeeCx； D.)()(2221xeCeeCxxx二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分6 小题 , 每小题 3 分, 共 18 分 ) 1、 函 数yxyaxxyxf22),(22在 点) 1, 1(处 取 得 极 值 ， 则 常数a名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载_-5_。2、若曲面2132222zyx的切平面平行于平面02564zyx，则切点坐标为)2,2, 1(。3、 函数22),(zxyzyxf在点(2,-1,1)处沿向量)32,32,31(n所指方向的方向导数为310。4)(xf是以 2为周期的函数，且在（， 上有表达式xxxxf0,0,0)(，)(xS是)(xf的傅立叶级数的和函数，则)(S=（2） . 5 、 设f(x) 有 连 续 导 数 ，2)1(f， L是 单 连 通 域 上 任 意 简 单 闭 曲 线 ， 且则 f(x)= x2 +1 . 6、微分方程2222xxexyyy的通解为)2(222Cxeyx三（10 分） 、计算二重积分dxeydyyx1103. 解：原式 =dyeydxxx0103 5分=211023dxexx 7分=)1(611e 10分四（10 分） 、设),(xyyxfz具有连续的二阶偏导数，求yxzyzxz2,。解：2121,xffyzyffxz 4分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载分分分10)(9)()(62221211222211211221212fxyffyxffxffyxfffyfyyfyffyxzyyxz五（10 分） 、设)(xyy满足方程xeyyy223，且其图形在点)1,0(与曲线12xxy相切，求函数)(xy。解：由条件知)(xyy满足1)0(, 1)0(yy 2分由 特 征 方 程2, 1023212rrrr,对 应 齐 次 方 程 的 通 解xxeCeCY221 4分设特解为xAxey*，其中 A为待定常数，代入方程，得xxeyA22* 6分从而得通解xxxxeeCeCy2221, 8分代入初始条件得0, 121CC最后得xexxy)21 ()( 10分六（10 分）计算Ldyxyxdxyy)34()2(23，其中L是沿曲线21xy从点)0, 1(到点)1 ,0(的圆弧。解：32yyP，234xyxQ，2234,32yQyPxy，2yxPQ2 分为了利用格林公式，补加OABO，使OABOL成为闭曲线，且为所围区域D的边界曲线的正向。dyxyxdxyyOABOOABOLL)34()2(236 分01102xdxydydD210 分或Ldyxyxdxyy)34()2(23=dttttttttcos)sincos3cos4()sin)(sinsin2(2023=dttttttsincos3cos4sinsin220222425 分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载=dttttttsincos3cos4sinsin22022242=25 分七、（10 分）求幂级数1nnnx的收敛区间及和函数，并计算极限)321(lim32nnanaaa)1(a。解：1nnnx的收敛区间为），（11 2分设)11()(1xnxxsnn，而)()()(1111nnnnnnxxxxxnxxs 5分211)1(1)(xxxxxxxxnn11x 8分)321(lim32nnanaaa=2)1(1aaas 10分八（10 分） 、计算曲面积分dxdyazaxdydz2)(，其中有向曲面为下半球面222yxaz取下侧，a为大于零的常数。解：取xoy为 xoy面上的圆盘222ayx，方向取上侧，则xoyxoydxdyazaxdydzdxdyazaxdydzdxdyazaxdydz222)()()( 2分xyDdxdyadvaz2)32(4 分aaaadrrdda2302220323sincos28 分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载4444032212sincos4aaaadrrda 10分九、 （7 分） 设1),(22yxyxD，),(yxu与),(yxv在 D 上具有一阶连续偏导数，jyvxviyuxuGjyxuiyxvF,),(),(，且在 D 的边界曲线 L（正向）上有yyxvyxu),(, 1),(，证明dGFD证明：dGFDDyxyxduvvvuu)()(2 分Dyyxxduvvuuvvu)()(Dduvyuvx)()(4 分ydyydxuvdyuvdxLL6 分Dd7 分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -