2022年《梯形》典型例题 .pdf
学习必备欢迎下载梯形典型例题例 1已知： 如图， 四边形 ABCD为矩形， 四边形 ABDE为等腰梯形，BDAE /。求证：.BCDBED例 2已知，如图，梯形ABCD 中，BCADDCAB,/，延长 AB 到 E，使DCBE，求证：.CEAC例 3 如图，把边长为 2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法画出来：（1）不是正方形的菱形一个； （2）不是正方形的矩形一个； （3）梯形两个；（4）不是矩形、菱形的平行四边形一个； （5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。例 4 如图，已知：四边形ABCD 是等腰梯形，其中BCAD，若5AD，2CD，8AB. 求：梯形 ABCD 的面积 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 5 如图，已知：在梯形ABCD 中，BCAD /，AC、BD 相交于点 O. 求证：DOCAOBSS. 例 6 已知：如图，梯形 ABCD 中，CDAB/，80C，50D，4AB，10DC. 求 BC 的长. 例 7 已知：如图，在梯形ABCD 中，CDAB/，过 B 作ADBE /，过 D 作ACDE /交 BE 于 E. 求证：ABCDCESS. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载参考答案例 1分析要证BCDBED，则考虑这两个三角形中对应边、对应角的相等关系。而BDBDCDABDE,，且BCADBE，则问题得证，本题要证对应的角相等也并不困难。证明四边形 ABCD 为矩形，.,ADBCABDC四边形 ABDE 为等腰梯形，且BEAD、为其对角线，ADBEABDE,。在BED 和BCD 中，BCBEDCDE,，又BDBD，.BCDBED例 2证法一由 ABCD 是等腰梯形，.BCDADC又ABDC /，.CBEDCB在ADC 与CBE中，BEDCCBEADCBCAD,，于是ADC CBE，故CEAC。证法二如图，连结 BD，由BEDCBEDC,/可知四边形 DCEB 为平行四边形，所以.CEDB又 ABCD 为等腰梯形，于是BDAC，故.ECAC证法三如图，作AECF于AEDMF ,于 M。在AMD 与BFC 中，90,CFBDMABCADCBFDAM，所以.,BFAMBCFADM又CFDMABDC/,/，故.MFDC又由BEDC，可得.BEBFMFAM所以 F 为 AE 的中点， CF 为 AE 的垂直平分线，所以.ECAC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载证法四如图，连结 BD。由BEDCABDC,/知四边形 BECD 为平行四边形，所以32。又 ABCD 是 等 腰 梯 形 ， 所 以.BDAC又 由ABABBCAD,， 可 知B A DA B C。所以., 31, 21CEAC说明：本题采用了几种常用的作辅助线的方法证得结论，目的是说明解与梯形有关的问题经常用这些作辅助线的方法。例 3 分析画出这些图形的关键是认识这些图形，也可以动手剪出这样的四个直角三角形，动手拼一拼，拼的过程中要注意把相等的两条边拼在一起。解例 4 分析：由已知条件知，梯形ABCD 是等腰梯形，由于等腰梯形是一个轴对称图形， 由图中的辅助线很容易想到BFAE. 在此基础上应用勾股定理，就可以解决问题 . 解答：过点 D、C 作ABDE于 E，ABCF于 F. 则根据等腰梯形的轴对称性可知：BFAE. ABCFABDEABDE,/，四边形 CDEF 是矩形 . EFDC. 3)28(21)(21CDABAE在ADERt中，根据勾股定理有，4352222AEADDE204) 82(21ABCDS梯形. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载说明等腰梯形是一个轴对称图形， 在计算等腰梯形的有关量时， 就要从上底的两个端点作下底的垂线， 从而产生一个矩形和两个全等的直角三角形，然后我们就可以根据等腰梯形的对称性， 矩形自身的性质以及全等的直角三角形的性质解决问题例 5 分析图中有两条线 AD 和 BC 是平行的，也就是说一条直线上的各点到另一条直线的距离相等 所以如果出现同底的三角形， 就可以保证其面积相等，因此，在这个图形中就能出现面积相等的三角形证明：BCAD /，A、D 两点到 BC 的距离相等 . 即ABC中 BC 边上的高与DBC 中 BC 边上的高相等 . DBCABCSS（等底等高）. OBCDBCOBCABCSSSSCODAOBSS说明本题中，我们也可以用BAD 和CAD 的面积相等，推出AOB 和COD 的面积相等， 等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用 . 例 6 解法 1 如图，延长 DA，CB 交于 F. 80,50,/CDCDAB，802,501CD508050180FDF1CDCFABBF,. 6410ABCDFBCFBC解法 2 如图，作ADBD /，交 DC 于 E. 4,50,/ABDCDAB，501,4DABDE在CBE中，80,501C，50EBCEBC1CECB10DC，6410ABCDDECDCEBC分析本题综合考查了梯形的性质及等腰三角形的判定，易错点是作辅助线后探索不出图中所含的等腰三角形. 解题关键是作出恰当的辅助线. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 7 分析 ：计算面积，我们可以通过面积的计算公式，但同时，对于一些特殊的图形可采取特殊的方法，如，同底同高的两个三角形面积相等，同底等高的三角形和平行四边形的面积比为2:1. 那么由给出条件中的几对平行线，可考虑构造几个平行四边形 . 延长 DC 交 BE 于 F，延长 AC 交 BE 于 M，则图中就有两个平行四边形，即AMED 和ABFD. 而且这个平行四边形的底都为AD，且高都是 AD，BE 平行线之间的距离， 即它们的高也相等， 所以它们的面积相等 . 继续观察图形可发现ABC 的面积恰好是ABFD 面积的一半，DCE 的面积恰好是AMED 的一半 . 因此可证明这两个三角形的面积相等. 证明：延长 DC 交 BE 于 F，延长 AC 交 BE 于 M. 则四边形 ABFD 和四边形 AMED 皆为平行四边形，且（同底等高）又（等底等高），（同底等高），DCEABCSS. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -
