2022年《信号与线性系统分析》重要公式汇总 .pdf

学习必备欢迎下载信号与线形系统重要公式第一章：信号与系统1.1 单位阶跃函数(t) 单位冲激函数(t)1.2 冲激函数的性质：( )()( )( ) ( )(0) ( )( ) ( )(0)( )( )(0)( )(0) ( )( )( )(0)( )( )( 1)(0)nnnf ttftf tt dtff ttftftf tt dtff tt dtf11111111111111( ) ()( ) ()( ) ()( )()( )( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()( )f tt tf tttf tt t dtf ttt dtf tf tttf tt tf tttf tt t dtf t( )()( )1()( )1 1()( )11()( )nnnattaatta aatta a()( )()()()( )()( )nnnntt ntt n为偶数为奇数1.3 线形系统的性质：齐次性可加性( )( )T afaf1212( )( )( )( )T ffT fT f1 1221122( )( )( )( )T a fa faT fa T f零输入响应，零状态响应，全响应( )(0),0 xyTx( ) 0 , ( )fyTf( )()( )xfyyy第二章连续系统的时域分析法全解 =齐次解（自由响应）( )hy t+特解（强迫响应）( )pyt全响应 =零输入响应( )xyt + 零状态响应( )fyt( )( )( )hpy tytyt= ( )( )xfytyt零输入响应是指激励为零，仅由系统的初始状态所引起的响应，用( )xyt表示。零状态响应是指初始状态为零，仅由激励所引起的响应，用( )fyt表示。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1( )iintxxiy tC e1( )( )iintffpiytCeytixC和ifC都为待定系数111( )( )( )iiiiinnntttipxfpiiiytCey tC eC ey t（自由响应）（强迫响应）（零输入响应）（零状态响应）2.2 冲激响应和阶跃响应一个 LTI 系统，当其初始状态为零，输入为单位冲激函数( ) t时所引起的响应，简称为冲激响应。用( )h t表示，即冲激响应为激励为( ) t时的零状态响应。一个 LTI 系统， 当其初始状态为零、输入为单位阶跃函数( ) t时所引起的响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。用g(t)表示。阶跃响应是( ) t时，系统的零状态响应。冲激响应( ) t与阶跃响应( )t的关系：( )( )dttdt( )( )ttt dx同一系统阶跃响应( )h t与冲激响应( )g t的关系( )( )dg th tdt( )( )tg tt dx2.3 卷积积分1212( )( )*( )( )()f tf tftfftd零状态响应的另一种方法( )*( )fyf th t2.4 卷积积分性质12211231213123123() *()() *()() *()()() *()() *()() *()*()() *() *()ftftftftftftftftftftftftftftftftft函数与冲激函数的卷积1111212122112121122122112( ) *()() *()()( ) *()() *()()() *()()() *()() *()()()() *(),() *()() *()()ftttftftftttttftftttttttttfttttfttttftttftftftfttfttfttfttfttt若则卷积的微分与积分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1221(1)(1)(1)1212(1)(1)(1)1212(1)(1)(1)(1)1212()()()12()() *()() *(),()() *()() *()()() *()() *()()() *()() *()()() *()ijijftftftftftftftftftftftftftftftftftftftftftftft若则导数积分推论第三章离散系统的时域分析31 全响应( )y k=零输入响应( )xyk+零状态响应( )fyk1( )nkxiiiykC1()()inkffipiykCyk11( )( )innkkiifipiiy kCCyk差分方程的经典解全解( )y k=齐次解( )hyk+特解( )pyk1( )( )( )( )nkhpiipiy kykykCyk不同特征根所对应的齐次解特征根特解( )hyk单实根kCr重实根121210rkrkkkrrCkCkC kC一对共轭复根1,2jajbpecos()sin()kp CkDk或cos(),kjApkAeCjDr重共轭复根121121cos()cos()rkrkrrrrArpkArpk00cos()kA Pk不同激励所对应的特解激励( )f k特解( )pykmk1110mmmmp kpkp kp所有特征根均不为1 1110rmmmmkp kpkp kp有r为 1 的特征根makpa当a等于特征时名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载10kkp kap a当a是特征单根时1110rkrkkkrrp k apkap kap a当a是r重特征根时。cos()ksin()kcos()sin()PkQkcos(),jAkAePjQ当所有特征根均不等于je32 单位序列和单位序列响应当 LTI 离散系统的激励为单位序列( )k时，系统的零状态响应称为单位序列响应，用( )h k表示。当 LTI 离散系统的激励为单位阶跃序列( )k时， 系统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用( )g k表示。单位序列响应与阶跃响应的关系0( )( )()( )( )(1)kijg kh ih kjh kg kg k连续系统冲激响应与阶跃响应的关系()()()()tgthddgthtdt几种数列的求和公式序号公式说明1 101,11(1),1kkjjaaaaka0k2 1221121,111,1kkkjj kaaaaakka1221,k kkk可为正或负整数，但3 011jjaa1a4 111kjj kaaa1a1k 可为正或负整数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5 0(1)2kjk kj0k6 211221()(1)2kj kkkkkj1221,k kkk可为正或负整数，但7 20(1)6kjk kkj（2 +1）0k33 卷积和1212( )( )*( )( )()if kfkfkf ifki卷积和的性质12211231213123123( )*()( )*()( )*( )( )()*( )()*( )()*( )*( )( )*( )*( )fkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfk任一序列( )f k与单位序列的卷积121211112121212( )*( )()*( )( )()*()()( )*()( )*()()()*()( )*()*()( )*()()iif kkkif if kkkkkkkkf kttf ikikf kkf kkkkf kkkkkf kkkkf kkk1212111211122122112( )( )*( ),( )*()()*( )()()*()()*()()f kfkfkfkfkkfkkfkf kkfkkfkkfkkfkkf kkk若则11(),()()*()(1)( ),kkkkkbakabh kakbkbakbkab第四章傅里叶变换和系统的频域分析4.1 信号分解为正交函数4.2 傅里叶级数110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载其中,nna b为傅里叶系数，2T，02222221( )22( )cos(),0,1,2,2( )sin(),0,1,2,TTTTnTTnaf t dtTaf tnt dt nTbf tnt dt nT01( )cos()2nnnAf tAnt00Aa22,1,2,3,nnnAabnar c t a n ()nnnba00cos,1,2,sin,1,2,nnnnnnaAaAnbAn43 傅里叶级数的指数形式1( )2njjntnnf tA ee令12nnjjnnnA eF eF( )jntnnf tF e111cossin()222njnnnnnnnnFA eAjAajb221( ),0 ,1,2 ,Tj ntTnFft ed t nT44 傅立叶变换和逆变换22( )1( )TjntTnjntnnF Tft edtftF TeT()( )1( )()2limjnTjtF jF Tf t edtf tfjed在 f(t)是实函数时：(1)若 f(t)为 t 的偶函数，即f(t)=f(-t)，则 f(t)的频谱函数F(j)为 的实函数，且为 的偶函数。(2) 若 f(t)为 t 的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则 f(t)的频谱函数F(j )为的虚函数，且为的奇函数。表 4-1 常用傅里叶变换编号( )f t()F j1 ( )rgt()2Sa2 ()2tSa2()rg名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3 ( ),0ateta1aj4 ( ),0atteta21()aj5 ,0atea222aa6 ( ) t17 12()8 1()tt0jte9 0cost00()()10 0sint00()()j11 ( ) t1()j12 ( )Sgn t1,(0)0Fj13 1t()jSgn14 ( )Tt()15 jntnnF e2()nnFn16 1( ),0(1)!nattetan1()naj4.5 傅里叶变换的性质1 线形11221122( )( )()()a f ta fta Fja Fj2 奇偶性实部虚部()()( )( )cos()( )sin()()( )()jtjF jf t edtf tt dtjf tt dtRjXF je名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载实部和虚部分别为()( )cos()Rf tt dt()( )sin()Xf tt dt频谱函数的模和相角分别为22()()()F jRX()()arctan()()XR1、若f(t) 是时间t 的实函数，则频谱函数()Fj的 实部()R是角频率的偶函数，虚部()X是角频率的奇函数，()F j是的偶函数，()是的奇函数。2、 如果( )f t是时间t的实函数， 并且是偶函数， 则0()()2( )cos()FjRf tt dt频谱函数()Fj等于()R，它是的实偶函数3、如果( )f t是时间t的实函数，并且是奇函数，则0()()2( ) si n()Fjj Xjftt dt频谱函数()Fj等于( )jX，它是的虚奇函数。4、()ft的傅里叶变换若 f(t) 是时间t 的实函数()()()()()()FjRjXRjXFj()()()ftFjFj则有（ 1）()(),( )()()() , ( )()RRXXF jFj（2）()()()ftFjFj（3）( )(),()0,()( )f tftXFjR如则( )() ,()0 ,()(ftftRFjj X如则若 f(t) 是时间t 的实函数（1）()(),()()()() ,( )()RRXXF jFj（2）()()()ftFjFj3 对称性( )(),()2( )f tF jfjtF若则名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4 尺度变换1( )(),()()f tFjf atFjaa若则对实常数 a(a0), 有5 时移特性( )(),f tFj若则00()()jtf tteFj1()()bjaf atbeF jaa实常数 a和b(a0), 有6 频移特性000( )(),( ) ()jtf tFjf t eF j若且为常数，则00011( )cos() () ()22f ttF jF j00011( )sin() () ()22f ttF jjF j7 卷积定理时域卷积定理11121222( )()( )( )()()( )()f tFjf tftFjFjftFj若则频域卷积定理11121222( )()1( )( )()()( )()2f tFjf tftFjFjftFj若则其中1212( )( )( )()f tftfftd8 时域微分( )( )(),( )()()nnf tFjftjFj若则时域积分( 1)()( )(),( )(0)()Fjf tFjftFj若则9 频域微分( )(),()( )()nnf tF jjtf tFj若则频域积分( 1)1( )(),(0) (0)( )()f tF jFf tFjjt若则名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载10 能量谱22221( )()(),()()2Eft dtF jdF jdfF j取功率谱222222()()()11lim( )limlim,lim( )2TTtTtTtTtTF jFjF jPft dtddfTTTT取傅里叶变换的性质4.6 周期信号的傅里叶变换一、正、余弦函数的傅里叶变换000001cos()() ()()2jtjttee000001sin()() ()()2jtjtteejj名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载47LTI 系统的频域分析1、 虚指数函数( )jtf te作用于 LTI 系统所引起的零状态响应，设冲击响应h(t) ( )( )( )()jtfytf th tH je2、任意信号输入时的响应()()()Y jHjFj第五章拉普拉斯变换51 在频域分析中，我们以jte为基本信号，在复频域分析中，我们以ste为基本信号sj，由于当0,sj，j tstee( )( )1( )( )2stbjstbjFsf t edtf tF s e dsj称为双边拉普拉斯变换对；( )bFs称为( )f t的双边拉氏变换（或象函数）；( )f t称为( )bFs的双边拉氏逆变换（或原函数）。（单边）拉普拉斯变换0( )( )stF sf t edt1()2stregts，Re s( )1t，Re s( ) ts，Re s001( )s tetss，0Re Ress52 拉普拉斯变换的性质1 线形1122112212( )( )( )( ),Re max(,)a f ta fta F sa Fss2222sin( ),cos( ),Re 0sttttsss2 尺度变换001( )( ), Re ()(), Re sf tF ssf atFsaaa若则对实常数 a(a0), 有3 时移特性000000( )( ), Re 0() ()( ), Re stf tF sstf tttteF ss若且对实常数则0001( )( ),Re 0() ()(),Re 0,0bsasf tF sstf atbatbFesabaa若且对实常数则其中名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4 复频移特性00( )( ), Re ,( )(), Re as taaaaf tF ssjf t eF sss若且有复常数则 s则+5 时域微分特性0(1)(2)2(1)( )12(1)(1)( )( ),Re ( )( )(0 )( )( )(0 )(0 )( )( )(0 )(0 )(0 )nnnnnf tF ssftsF sffts F ssfffts F ssfsff若则如果( )f t是因果信号，则由于( )(0 )0(0,1,2)nfn有( )0( )( ), Re nnfts F ss6 时域积分定理()()11( )1( )(0 )nnmnn mmF sftfss其 收 敛 域 至 少 是Re 0s和0Re s相重叠的部分。7 卷积定理时域卷积定理1111212222( )( ),Re ( )( )( )( )( )( ),Re f tF ssf tftF sF sftF ss若因果信号则复频域卷积定理121212121( )( )( )(),Re ,Re 2cjcjF tFtFFsdscsj8s 域微分和积分00( )( ),Re ( )( )( )()( ),()( ),( ),Re nnnsf tF ssdF sd F sf tt f ttf tFdsdsdst若则5.3拉普拉斯逆变换,00( )1( )2,0jstjtftFs s dsjt( )()jpijqpkkF smssss()( )1,( ),( )nnttsts2111( ),( ),( )nntttttsss2111( ),( ),( )12ttntetetetsssn名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5.4 复频域分析1 用拉普拉斯变换求系统的零输入响应和零状态响应2( )( )(0 )(0 )y ts Y ssyy( )( )( 0 )yts Ysy( )( )y tY s( )( )( )nnfts F s代 入 ()( )( )( )()nyta ytb ytft中 有()()()()()()MsBsYsFsAsAs( )( )M sA s为零输入响应的象函数( )( )( )B sF sA s为零状态响应的象函数一般题目中有(0 )y和(0 )y的值， 如果只有(0 )y和(0 )y的值，那么先算出( )zsyt的函数，在根据函数( )zsyt，(0 )y，(0 )y计算(0 )y和(0 )y的值，可得出( )ziyt的函数2 系统函数系统零状态响应的象函数与激励的象函数之比，称为系统函数。用( )H s表示。( )( ),( )( )( )B sH sH sh tA s，( )H s仅与系统的结构， 元件参数有关， 而与激励及初始状态无关第六章离散系统的 z 域分析61 ( )( )kkF zf k z0 ,1,2 ,k称为序列f(k) 的双边 z 变换0( )( ) ( )kkF zf kk z称为序列f(k) 的单边 z 变换Z 变换简记为：( )( )f kF z常用序列的z 变换：因果序列： a 为正实数( ),kzakzaza()( ),kzakzaza名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载令 a=1，则单位阶跃序列的z 变换：( ),11zkzz令jae则有( ),1jkjzekzze反因果序列： b 为正实数，(1),kzbkzbzb()(1),kzbkzbzb令 b=1，则有(1),11zkzz6.2 z 变换的性质1 线形若11112222( )( ),( )( ),f kFz azfkFzaz且有任意常数1,2a a则有11221122( )( )( )( )a f ka fka Fza Fz，收敛域至少为1( )Fz和2( )Fz的相交部分2 移位特性若( )( ),f kF z az，且有整数0m，则()( ),mf kmzF z az3 序列乘ka的尺度变换若( )( ),f kF z az，有常数0a，则( )(),kza f kFa aza4 卷积定理若11112222( )( ),( )( ),f kFz azfkFzaz则1212( )( )( )( )fkfkFzFz收 敛 域 至 少 为1( )Fz和2( )Fz的相交部分5 序列乘 k 若( )( ),f kF z az则( )( )dkf kzF zdz，2( )( )ddk f kzzF zdzdz，( )( )mmdk f kzF zdz特例名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载12223323(),1(),1(),1(),(1)()(1)(1)(),1(),2(1)2()(1)(),2()kkkkzzkzakzazzazzkkzakkzazzak kzk ka zkzakzazzakkzakzaza6 序列()km若( )( ),f kF z az，且有整数m，且0km，则1( )( )mmZf kFZdkm()()ZfkFdk7 k 域反转若( )( ),f kF z az则111()(),fkF zza8 部分和若( )( ),f kF z az则( )( )( ), max( ,1)1kizg kf iF zazz第七章系统函数71 系统函数的零点与极点对于连续系统1111011101()( )( )( )()mmjmmjmmnnnniibsb sbsb sbB sH sA ssasa saspjs为零点isp为极点对离散系统1111011101()( )( )( )()mmjmmjmmnnnniibzb zbzb zbB zH zA zzaza zazp零点极点同上。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载系统函数与时域响应结论： 1.H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的。当 t时， 响应趋近于零。极点全部在左半开平面的系统（因果）是稳定的系统。2. H(s)在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变化。H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或右半开平面上的极点，其所对应的响应函数都随t 的增长而增大。当t时，响应趋于无限大。这样的系统是不稳定的。离散系统结论： 1. H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列都是衰减的，当k 趋于无限时，响应趋于零。极点全部在单位圆内的系统(因果）是稳定系统。2. H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应序列的幅度不随k 变化。3. H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上极点或在单位圆外的极点，其所对应的响应序列都随 k 的增大而增大，当 k 趋于无限时， 它们都趋近于无限大。这样的系统是不稳定的。72 系统的稳定性系统因果性因果系统指的是系统的零状态响应( )fy不出现于激励( )f之前的系统。也就是说如果( )0, ()0ftk或系统的零状态响应都有( )0, ()0fytk或就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。连续因果系统的充分和必要条件是：冲激响应( )0,0h tt或者，系统函数( )H s的收敛域为0Re s离散因果系统的充分和必要条件是：( )0,0h kk或者，系统函数( )H z的收敛域为0z系统的稳定性连续（因果）系统的稳定性准则连续因果系统的稳定准则也称为罗斯-霍尔维兹准则连续系统的系统函数( )( )( )B sH sA s，其中1110( )nnnnA sa sasa sa所有的根均在左半开平面的多项式称为霍尔维兹多项式。判断多项式是否为霍尔维兹多项式的步骤：1、 判断多项式( )A s的所有系数(0,1,2,)ia in是否大于 0。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载如果( )A s的任何一个（或多个）系数为零或负值，那么它就不是霍尔维兹多项式，也就不需要进一步研究。但是，即使所有的系数ia都是正数，( )0A s也可能还有右半开平面（或虚轴）上的根，因此还需进一步检验。2、若所有系数ia均大于 0， 用罗斯准则进一步判断。2413513513512341nnnnnnnnnnnnaaaaaacccdddn行罗斯阵列有13121nnnnnnaaaaac15143nnnnnnaaaaac131311nnnnnncccaad151513nnnnnncccaad罗斯准则： 多项式( )A s是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大于零。离散 (因果）系统的稳定性准则-朱里准则（略）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -