微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)详解.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)详解解析几何中的最值问题专题30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。江苏高考试题结构平稳，题量均匀每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体俗话说：他山之石可以攻玉在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是2 P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为7 3抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是4已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 . 5已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.解：（）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x>0）（）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时A（x0，），B（x0，），2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程中，得：(1k2)x22kbxb220依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则解得|k|>1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b2>2综上可知的最小值为2【典型示例】求抛物线上的点到直线距离的最小值?分析一：设抛物线上任一点坐标为P(,-)，由点到直线的距离公式得P到直线的距离d()=，当=时，d()取得最大值,分析二：设抛物线上点P(,-)到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y( )=-2 =-,=,P(,-),此时d=，.分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l与抛物线相切时l与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由得4x-3x+C=0，=16+12C=0, c=-,此时d=【分类解析】例1:已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；（2）求的最小值和最大值分析：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则，根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。当P到P"位置时，有最大值，最大值为；当P到位置时，有最小值，最小值为.（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）变式:点A（3，2）为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF|取得最小值，求点P的坐标。解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，设P到准线的距离为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF|取得最小值，由图3可知过A点的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）。例2: 已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为L，若在L上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，求椭圆的离心率e的取值范围?解：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM的垂直平分线经过点F，则利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的距离），则有 2，椭圆的离心率e的取值范围椭圆的离心率e的取值范围为变式1: 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,求此双曲线的离心率e的最大值?解：双曲线的离心率e的最大值为变式2: 已知椭圆方程为 ，（）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在为椭圆上的任意一点，且|PF1|=4|PF2|,求此椭圆的离心率e的最小值?解：椭圆的离心率e的最小值为例3: 已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) 将代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，此时【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。变式1: 设P是椭圆+= 1 ( a > 1 ) 短轴的一个端点, Q为椭圆上的一个动点,求| PQ | 的最大值. 解法1: 依题意可设 P (0, 1 ), Q (x , y ), 则| PQ | = . 又因为Q在椭圆上, 所以 = (1) . = (1) + 2y + 1 = (1)2y + 1 + = (1) + 1 + . 因为 | y | 1, a > 1, 若a , 则1, 当y = 时, | PQ | 取最大值; 若1< a <, 则当y = 1时, | PQ | 取最大值2 . 解法2: 设P (0, 1 ), Q (, ), 则 = + = (1)2+ 1 = (1)+ 1. 注意到 | 1, a > 1. 以下的讨论与解法1相同.变式2:已知OFQ的面积为，（1）设，求ÐOFQ正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）， 当 取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设ÐOFQ =q （2）设所求的双曲线方程为，又，当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标是或 ，所求方程为 【精要归纳】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：（1）当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；（2）范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？例2中可以利用方程和垂直平分线性质构建。利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化，回味本题的探究过程，认识解析几何中“形助数”简化运算的途径。（3）.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。（4）利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。【课后训练】1已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值 2给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，则B点的坐标为 。3抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为_，1）4如图，已知A、B是椭圆的两个顶点，C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积的最大值是_ 5如图所示，设点，是的两个焦点，过的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值，并求出此时直线的方程。 解：，设，则设直线的方程为代入椭圆方程得即令，（）利用均值不等式不能区取“”利用（）的单调性易得在时取最小值在即时取最大值为，此时直线的方程为6 P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知与共线，与共线，且。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQMN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），故PQ方程为。代入椭圆方程得设P、Q两点的坐标分别为，则：从而当时，MN的斜率为，同上可推得故四边形面积令，得因为，此时，且S是以u为自变量的增函数，所以。当时，MN为椭圆长轴，综合知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为。-