2022年2.2直接证明与间接证明学案 .pdf

2.2 直接证明与间接证明学案审核签名：编制：编制时间： 3 月 4 日完成所需时间： 40 分钟班级姓名第小组一 自主测试1. 分析法是从要证的结论出发, 寻求使它成立的条件 . 2. 若 ab 0, 则 a+b1b+a1.( 用“ ”, “” ,“=”填空 ) 3. 要证明3+725， 可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号）. 反证法分析法综合法4. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）有有理数根， 那么 a、b、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 . 假设 a、b、c 都是偶数假设 a、b、c 都不是偶数假设 a、b、c 至多有一个偶数假设 a、b、c 至多有两个偶数5. 设 a、b、c（ 0， +） ，P=a+b- c，Q=b+c- a，R=c+a- b，则“ PQR 0”是“ P 、Q、R同时大于零”的条件 . 二典例分析例 1（ 1）设 a, b, c0, 证明：accbba222a+b+c. （2） 已知 a, b, c 为互不相等的非负数. 求证： a2+b2+c2abc(a+b+c) 例2 （1）求证：372 5。（2）已知 a 0, 求证：221aa-2a+a1-2. 例3 若 x, y 都是正实数，且x+y2, 求证：yx12 与xy1 2中至少有一个成立. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 三巩固练习1. 用反证法证明“如果ab, 那么3a3b”假设内容应是 . 2. 已知 ab0，且 ab=1, 若 0 c1, p=logc222ba, q=logc21ba，则 p, q 的大小关系是 . 3. 设 S是至少含有两个元素的集合. 在 S上定义了一个二元运算“* ” （即对任意的a, bS，对于有序元素对( a, b), 在 S中有唯一确定的元素a*b 与之对应） . 若对任意的a, bS, 有a*( b*a)= b, 则对任意的a, bS，下列恒成立的等式的序号是 . （ a* b）*a=a a*( b* a) *( a*b)= a b*( b*b)=b ( a*b)* b*( a* b) =b4. 如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则A1B1C1是三角形， A2B2C2是三角形 . （用“锐角” 、 “钝角”或“直角”填空）5. 已知三棱锥SABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： BC 平面 SAC ；平面SBC 平面 SAB ； SB AC . 其中正确命题的序号是 . 6. 对于任意实数a, b 定义运算a* b=（a+1）( b+1)-1, 给出以下结论：对于任意实数a, b, c，有 a*( b+c)=( a* b)+( a* c); 对于任意实数a, b, c，有 a*( b*c)=( a* b)* c; 对于任意实数a, 有 a*0=a, 则以上结论正确的是 .（写出你认为正确的结论的所有序号）7. （教材）在ABC中，三个内角A,B,C 的对边分别为a, b, c且 A,B,C成等差数列， a, b, c成等比数列，求证ABC为等边三角形。8. （教材）已知1 tan1,2tan求证3sin24cos29. 已知 a、b、c（ 0，1） ，求证： (1- a) b,(1-b) c,(1-c) a 不能同时大于41. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 参考答案一，自主测试1. 分析法是从要证的结论出发, 寻求使它成立的条件 . 答案充分2. 若 a b 0, 则 a+b1b+a1.( 用“ ”, “”, “=”填空 ) 答案3. 要证明3+725，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号） . 反证法分析法综合法答案4. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理数根，那么a、b、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 . 假设 a、b、 c 都是偶数假设 a、b、 c 都不是偶数假设 a、b、 c 至多有一个偶数假设 a、b、 c 至多有两个偶数答案5. 设 a、 b、c（ 0，+） ，P=a+b- c， Q =b+c- a，R=c+a- b，则“ PQR 0”是“ P、Q 、R同时大于零”的条件 . 答案充要二典例分析例 1设 a, b, c0, 证明：accbba222a+b+c. 证明a, b, c0，根据基本不等式，有ba2+b 2a,cb2+c2b,ac2+a2c. 三式相加：ba2+cb2+ac2+a+b+c2( a+b+c). 即ba2+cb2+ac2a+b+c. 变. 已知 a, b, c 为互不相等的非负数. 求证： a2+b2+c2abc(a+b+c). 证明a2+b2 2ab, b2+c22bc, a2+c22ac. 又 a, b, c 为互不相等的非负数，上面三个式子中都不能取“=” ， a2+b2+c2 ab+bc+ac, ab+bc2cab2, bc+ac22abc, ab+ac2bca2, 又 a, b, c 为互不相等的非负数，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - ab+bc+acabc(a+b+c), a2+b2+c2abc(a+b+c). 例 2（ 1）略（ 2）已知 a0, 求证：221aa-2a+a1-2. 证明要证221aa-2a+a1-2, 只要证221aa+2a+a1+2. 2 分 a0, 故只要证22221aa（ a+a1+2）2, 6 分即 a2+21a+4221aa+4 a2+2+21a+22aa1+2, 8 分从而只要证2221aa2aa1, 10 分只要证 4221aa 2（a2+2+21a）,即 a2+21a2, 而该不等式显然成立，故原不等式成立. 14 分例 3若 x, y 都是正实数，且x+y2, 求证：yx12 与xy12 中至少有一个成立. 证明假设yx12 和xy12 都不成立，则有yx12 和xy12 同时成立，因为 x0 且 y0, 所以 1+x2y，且 1+y 2x，两式相加，得2+x+y 2x+2y，所以 x+y2，这与已知条件x+y2 相矛盾，因此yx12 与xy12 中至少有一个成立. 一、填空题1. （2008南通模拟） 用反证法证明“如果ab, 那么3a3b”假设内容应是 . 答案3a=3b或3a3b名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2. 已知 ab0，且 ab=1, 若 0 c1, p=logc222ba, q=logc21ba，则 p, q 的大小关系是 . 答案p q3. 设 S是至少含有两个元素的集合. 在 S上定义了一个二元运算“* ” （即对任意的a, bS，对于有序元素对( a, b), 在 S中有唯一确定的元素a*b 与之对应） . 若对任意的a, bS, 有a*( b*a)= b, 则对任意的a, bS，下列恒成立的等式的序号是 . （ a* b）*a=a a*( b*a) *( a* b)= a b*( b*b)=b ( a*b)* b*( a* b) =b答案4. 如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则A1B1C1是三角形， A2B2C2是三角形 . （用“锐角” 、 “钝角”或“直角”填空）答案锐角钝角5. 已知三棱锥SABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： BC 平面 SAC ；平面SBC 平面 SAB ； SB AC . 其中正确命题的序号是 . 答案6. 对于任意实数a, b 定义运算a* b=（a+1）( b+1)-1, 给出以下结论：对于任意实数a, b, c，有 a*( b+c)=( a* b)+( a* c); 对于任意实数a, b, c，有 a*( b*c)=( a* b)* c; 对于任意实数a, 有 a*0=a, 则以上结论正确的是 .（ 写出你认为正确的结论的所有序号）答案二、解答题7. 略， 8 略9.已知 a、b、c（ 0，1） ，求证： (1- a) b,(1-b) c,(1- c) a 不能同时大于41. 证明方法一假设三式同时大于41，即 (1- a) b41,(1-b) c41,(1- c) a41, a、b、c(0,1), 三式同向相乘得(1- a) b(1- b) c(1- c)a641. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 又 (1- a) a221aa=41, 同理（ 1- b）b41,(1- c) c41, (1- a) a(1- b) b(1- c) c641, 这与假设矛盾，故原命题正确. 方法二假设三式同时大于41， 0a1, 1- a0, 2)1(baba)1 (41=21, 同理2)1 (cb21,2)1 (ac21, 三式相加得2323, 这是矛盾的，故假设错误，原命题正确. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -